Abelsche Gruppe

Eine abelsche Gruppe ist eine Gruppe, für die zusätzlich das Kommutativgesetz gilt.

Der mathematische Begriff abelsche Gruppe, auch kommutative Gruppe genannt, verallgemeinert das Rechnen mit Zahlen. Addition rationaler Zahlen und die Multiplikation rationaler Zahlen {\displaystyle \neq 0} erfüllen eine Reihe gemeinsamer Gesetze. Diese Regeln kommen oft in Geometrie und Algebra vor. So zum Beispiel bei Verschiebungen, Drehungen der Ebene um einen Punkt, Addition von Funktionen. Ornamente in Kunst und Natur zeichnen die Spuren abelscher Gruppen. Deswegen wird von der speziellen Bedeutung des Additionszeichens + und des Multiplikationszeichens  \cdot abstrahiert und der Begriff der kommutativen oder abelschen Gruppe geschaffen. Der Name ist zu Ehren des norwegischen Mathematikers Niels Henrik Abel gewählt worden.

Definition

Sei G eine Menge. Jedem Paar {\displaystyle (a,b)\in G\times G} sei genau ein Element {\displaystyle a*b\in G} zugeordnet. Das Paar (G,*) heißt abelsche Gruppe, wenn die Verknüpfung {\displaystyle *\colon \,G\times G\to G,(a,b)\mapsto a*b} die folgenden Gesetze erfüllt:

  1. Assoziativgesetz:     Für alle {\displaystyle a,b,c\in G} gilt: {\displaystyle a*(b*c)=(a*b)*c}.
  2. Kommutativgesetz:  Für alle a, b \in G gilt: a * b = b * a.
  3. Neutrales Element:  Es gibt ein Element e \in G, so dass für alle a\in G gilt: {\displaystyle a*e=a}.
  4. Inverses Element:    Zu jedem a\in G gibt es ein a^{-1} \in G mit {\displaystyle a*a^{-1}=e}.

Eine Gruppe (G,*) heißt nichtabelsch, wenn in ihr mindestens ein Paar (a, b) existiert mit {\displaystyle a*b\neq b*a}.

Erläuterungen

Beispiele

  1. {\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)} ist die wichtigste abelsche Gruppe. Dabei ist  \Z die Menge der ganzen Zahlen und + die gewöhnliche Addition.
  2. {\displaystyle (\mathbb {Q} ^{*},\cdot )} ist eine abelsche Gruppe. Dabei ist {\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}} die Menge der rationalen Zahlen ohne die {\displaystyle  0 } und  \cdot ist die gewöhnliche Multiplikation.
  3. Die Menge der endlichen Dezimalzahlen sind bezüglich der Multiplikation keine abelsche Gruppe. Zum Beispiel hat die Zahl {\displaystyle 3} kein Inverses bezüglich der Multiplikation. {\displaystyle {\frac {1}{3}}} lässt sich nicht als endlicher Dezimalbruch schreiben. Bezüglich der normalen Addition bilden die endlichen Dezimalbrüche eine abelsche Gruppe.
  4. Die Menge der Verschiebungen in der euklidischen Ebene bilden eine abelsche Gruppe. Die Verknüpfung ist die Hintereinanderausführung der Verschiebungen.
    Ein Dreieck wird um den Verschiebungsvektor {\vec {v}} verschoben
  5. Die Menge der Drehungen in einer Ebene um einen Punkt bilden eine abelsche Gruppe. Die Verknüpfung ist die Hintereinanderausführung der Drehungen.
  6. Die Menge der Drehstreckungen in einer Ebene bilden eine abelsche Gruppe.
  7. Von genügend kleinen Gruppen lässt sich die Verknüpfungstafel aufschreiben. {\displaystyle {\begin{matrix}*|&e|&a|&b|\\\hline \hline e|&e|&a|&b|\\\hline a|&a|&b|&e|\\\hline b|&b|&e|&a|\\\hline \end{matrix}}}. Ist es die Tafel einer abelschen Gruppe, so ist die Tafel symmetrisch zur Hauptdiagonale. Diese Tafel ergibt sich beispielsweise, wenn man die Drehungen eines gleichseitigen Dreiecks um den Schwerpunkt betrachtet, die das Dreieck in sich überführen. e ist die Drehung um {\displaystyle 0^{\circ }}, a ist die Drehung um {\displaystyle 120^{\circ }} und b ist die Drehung um {\displaystyle 240^{\circ }}.
  8. Sind  A,B abelsche Gruppen, so wird {\displaystyle A\times B=\{(a,b)|a\in A,\ b\in B\}} zu einer abelschen Gruppe durch {\displaystyle (a,b)+(a',b'):=(a+a',b+b')}.
  9. Ist I eine Menge und A eine abelsche Gruppe, so ist {\displaystyle A^{I}:=\{f|f\colon I\to A\}} eine Gruppe, wenn definiert wird: {\displaystyle (f+g)(i):=f(i)+g(i)}. Es heißt {\displaystyle f(i)} die ite Komponente von f. Oft wird f als Vektor geschrieben der Form  (a_i) . Dabei ist {\displaystyle a_{i}=f(i)}. Ist {\displaystyle I=\mathbb {N} }, so ist {\displaystyle A^{\mathbb {N} }} die Menge der Folgen, wobei die Folgenglieder Elemente aus A sind. Ist {\displaystyle I=\{1,\dots ,n\}}, so ist {\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}=\{(a_{1},\dots ,a_{n})|{\text{ mit }}a_{i}\in \mathbb {Z} \}}.
  10. Die reellen Zahlen bilden mit der Addition eine abelsche Gruppe; ohne die Null bilden sie mit der Multiplikation eine abelsche Gruppe.
  11. Allgemeiner liefert jeder Körper (K, +, \cdot) in derselben Weise zwei abelsche Gruppen \left(K, +\right) und (K\setminus\{0\}, \cdot).
  12. Hingegen ist die Gruppe (\mathrm{GL}_n(K), \cdot) der invertierbaren {\displaystyle (n\times n)}-Matrizen über einem Körper K für n>1 ein Beispiel für eine nichtabelsche Gruppe. Die kleinste nichtabelsche Gruppe ist übrigens die symmetrische Gruppe S3 mit sechs Elementen.

Untergruppen

Eine nicht leere Teilmenge  U der abelschen Gruppe A heißt Untergruppe, wenn sie bezüglich der Gruppenoperation selber eine Gruppe ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn für alle {\displaystyle a,b\in U} gilt: {\displaystyle a-b\in U} In diesem Artikel wird die folgende Bezeichnung gewählt: {\displaystyle U\hookrightarrow A}.

  1.  \Z ist Untergruppe von  \Q .
  2. Der Durchschnitt von Untergruppen ist eine Untergruppe.
  3. Jede Teilmenge {\displaystyle U\subset A} ist enthalten in einer kleinsten Untergruppe, die  U enthält. Diese Untergruppe heißt die von  U erzeugte Untergruppe von A. Sie wird mit {\displaystyle \left\langle U\right\rangle } bezeichnet.
  4. Sind U,V Untergruppen von A, so ist die Menge {\displaystyle U+V:=\{u+v\vert u\in U,v\in V\}} eine Untergruppe von A. Allgemeiner: Ist {\displaystyle (U_{i}|i\in I)} eine Familie von Untergruppen, so ist {\displaystyle \sum \limits _{i\in I}U_{i}:=\{\sum _{i\in I}u_{i}\vert u_{i}\in U_{i}\}} eine Untergruppe von A. Sie heißt die Summe der Untergruppen .
  5. Ist {\displaystyle U\subset A}, so ist die von  U erzeugte Untergruppe {\displaystyle \left\langle U\right\rangle =\sum _{u\in U}\left\langle u\right\rangle }. Ist {\displaystyle \left\langle U\right\rangle =A} so heißt  U ein Erzeugendensystem von A.
  6. Eine abelsche Gruppe A heißt endlich erzeugt , wenn es eine endliche Teilmenge {\displaystyle U\subset A} gibt, so dass {\displaystyle \left\langle U\right\rangle =A} gilt. Ist A von einem Element  a \in A erzeugt, so heißt A zyklisch. Es wird {\displaystyle A=a\cdot \mathbb {Z} } geschrieben.
    1. Jede Untergruppe von  \Z ist zyklisch.
    2. Das heißt beispielsweise: Die Summe zweier zyklischer Untergruppen von  \Z ist wieder zyklisch. Es gilt {\displaystyle a\cdot \mathbb {Z} +b\cdot \mathbb {Z} =\operatorname {ggT} (a,b)\cdot \mathbb {Z} }. Dabei ist {\displaystyle \operatorname {ggT} (a,b)} der größte gemeinsamer Teiler von a,b. z.B. {\displaystyle 6\cdot \mathbb {Z} +9\cdot \mathbb {Z} =3\cdot \mathbb {Z} }.
    3. Sind {\displaystyle a\cdot \mathbb {Z} ,b\cdot \mathbb {Z} } Untergruppen von  \Z , dann ist {\displaystyle a\cdot \mathbb {Z} \cap b\cdot \mathbb {Z} =\operatorname {kgV} (a,b)\cdot \mathbb {Z} }. Dabei ist {\displaystyle \operatorname {kgV} (a,b)} das kleinste gemeinsame Vielfache von a,b. Zum Beispiel {\displaystyle 3\mathbb {Z} \cap 5\mathbb {Z} =15\mathbb {Z} }.
    4. {\displaystyle (\mathbb {Q} ,+)} ist nicht endlich erzeugt. Genauer: Ist  U ein Erzeugendensystem von {\displaystyle (\mathbb {Q} ,+)} und ist {\displaystyle u\in U}, so ist auch noch {\displaystyle U\setminus \{u\}} ein Erzeugendensystem.

Faktorgruppen

Ist {\displaystyle U\hookrightarrow A} eine Untergruppe, so definiert {\displaystyle a\sim a'\iff a-a'\in U} eine Äquivalenzrelation. Sind {\displaystyle a,a',b,b'\in A} und sind {\displaystyle a\sim a',b\sim b'} so ist {\displaystyle a+b\sim a'+b'}. Die Äquivalenzrelation heißt verträglich mit der Addition. Sei {\displaystyle A/U:=\{a+U|a\in A\}=} Menge der Äquivalenzklassen. Auf {\displaystyle A/U} wird eine Addition erklärt.

{\displaystyle (a+U)+(b+U)\colon =(a+b)+U}.

Wollen wir tatsächlich in {\displaystyle A/U} rechnen, so genügt es sich auf ein Repräsentantensystem von {\displaystyle A/U} zu beschränken. Denn jede Äquivalenzklasse ist durch ein Element aus der Äquivalenzklasse eindeutig bestimmt. Es ist {\displaystyle a\sim a'\iff a+U=a'+U}.

Homomorphismen

Definition

Sind  A,B abelsche Gruppen, so heißt eine Abbildung {\displaystyle f\colon A\rightarrow B} Homomorphismus , wenn für alle {\displaystyle a,b\in A} gilt: {\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}.

Beispiele für Homomorphismen

Universelle Eigenschaft der ganzen Zahlen

{\displaystyle \Phi _{a}(z)=\left\{{\begin{matrix}\underbrace {a+a+\ldots +a} _{z\ \mathrm {mal} }&{\text{falls }}&z\geq 0,\\-(\Phi _{a}(|z|))&{\text{ falls }}&z<0.\\\end{matrix}}\right.}.

Es ist (\Z,+) eine freie abelsche Gruppe mit Basis \{1\}.

  1. {\displaystyle a\cdot 0=0}. (Achtung! Es kann verwirren, dass auf beiden Seiten der Gleichung das gleiche Zeichen {\displaystyle 0} verwendet wird. Auf der linken Seite der Gleichung steht das neutrale Element in \mathbb {Z} . Auf der rechten Seite der Gleichung steht das neutrale Element in A. Beide Male sind die verschiedenen neutralen Elemente mit {\displaystyle 0} geschrieben.)
  2. Für alle a\in A ist {\displaystyle a\cdot 1=a}.
  3. Für alle {\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {Z} } und alle a\in A ist {\displaystyle a\cdot (z_{1}\cdot z_{2})=(a\cdot z_{1})\cdot z_{2}}.
  4. Für alle {\displaystyle a\in A} und alle {\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {Z} } ist {\displaystyle a\cdot (z_{1}+z_{2})=a\cdot z_{1}+a\cdot z_{2}}.
  5. Für alle {\displaystyle a_{1},a_{2}\in A} und alle z \in \Z ist {\displaystyle (a_{1}+a_{2})\cdot z=a_{1}\cdot z+a_{2}\cdot z}.
  1. Für alle q\in Q ist {\displaystyle q^{0}=1}.
  2. Für alle {\displaystyle q\in Q,z_{1},z_{2}\in Z} ist {\displaystyle q^{(z_{1}\cdot z_{2})}=(q^{z_{1}})^{z_{2}}}.
  3. Für alle {\displaystyle q\in Q,z_{1},z_{2}\in Z} ist {\displaystyle q^{z_{1}+z_{2}}=q^{z_{1}}\cdot q^{z_{2}}}.
  4. Für alle {\displaystyle q_{1},q_{2}\in Q,z\in Z} ist {\displaystyle (q_{1}\cdot q_{2})^{z}=q_{1}^{z}\cdot q_{2}^{z}}. Wird für Q die Menge der rationalen oder reellen Zahlen \neq 0 eingesetzt, so ergeben sich die aus der Schule bekannten Gesetze für das Rechnen mit Exponenten.

Eigenschaften von Homomorphismen

Ist {\displaystyle \alpha \colon A\to B} ein Homomorphismus, und sind {\displaystyle U\hookrightarrow A} beziehungsweise {\displaystyle V\hookrightarrow B} Untergruppen, so sind {\displaystyle \alpha ^{-1}(V)\hookrightarrow A} und {\displaystyle \alpha (U)\hookrightarrow B} Untergruppen. Insbesondere sind {\displaystyle \operatorname {Kern} (\alpha ):=\{a|a\in A,\alpha (a)=0\}} und {\displaystyle \alpha (A):=\operatorname {Bild} (\alpha )=\{\alpha (a)|a\in A\}} Untergruppen. Hieraus folgt:

Injektive Homomorphismen

  1. \alpha ist als Abbildung injektiv.
  2. {\displaystyle \operatorname {Kern} (\alpha )=0}.
  3. Für alle abelschen Gruppen C und alle Homomorphismen {\displaystyle f,g\colon C\to A} mit {\displaystyle \alpha \circ f=\alpha \circ g} ist {\displaystyle f=g}. Es ist \alpha links kürzbar.

Surjektive Homomorphismen

Ist {\displaystyle \alpha \colon A\to B} ein Homomorphismus, so sind die folgenden Aussagen äquivalent. Dann heißt \alpha Epimorphismus.

  1. \alpha ist als Abbildung surjektiv.
  2. {\displaystyle B/\alpha (A)=0}.
  3. Für alle Gruppen C und alle {\displaystyle f,g\colon B\to C} gilt: Ist {\displaystyle f\alpha =g\alpha }, so ist {\displaystyle f=g}. Es ist \alpha auf der rechten Seite kürzbar.

Isomorphismus, Isomorphiesätze

Ein bijektiver Homomorphismus {\displaystyle f\colon A\rightarrow B} heißt Isomorphismus. Dies ist genau dann der Fall, wenn er monomorph und epimorph ist. Es gelten die folgenden Sätze.

Der Homomorphiesatz gilt allgemein für Gruppen.

Der Funktor Hom(A, –)

Verallgemeinerungen, Weiterführendes

Die Theorie der abelschen Gruppen ist reichhaltig. Hier sei auf einige grundlegende Begriffe hingewiesen. Manchmal gibt es zu einem Teilaspekt einen Eintrag in der Wikipedia. Meist nicht.

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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 30.07. 2019