Abelsche Kategorie

Im mathematischen Teilgebiet der Algebra und angrenzenden Gebieten versteht man unter einer abelschen Kategorie eine Kategorie, die sich in einigen wesentlichen Aspekten wie die Kategorie der abelschen Gruppen verhält. In geringerem Umfang gilt dies auch für additive Kategorien.

Definition

Es sei {\mathcal {C}} eine Kategorie zusammen mit der Struktur einer abelschen Gruppe auf jeder Morphismenmenge \operatorname {Hom}_{{{\mathcal  C}}}(X,Y) für Objekte X,Y\in \operatorname {Ob}{\mathcal  C}.

{\mathcal {C}} ist eine präadditive Kategorie, wenn zusätzlich folgende Bedingungen erfüllt sind:

{\mathcal {C}} ist eine additive Kategorie, wenn sie präadditiv ist und zusätzlich die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

{\mathcal {C}} ist eine abelsche Kategorie, wenn sie präadditiv ist und zusätzlich die folgenden (stärkeren) Bedingungen erfüllt sind:

p_{\nu }\circ i_{\nu }=\operatorname {id}_{{X_{\nu }}} und i_{1}\circ p_{1}+i_{2}\circ p_{2}=\operatorname {id}_{{X_{1}\oplus X_{2}}}
gilt und dass X_{1}\oplus X_{2} mit p_{\nu } ein Produkt bildet und mit i_{\nu } ein Koprodukt.

Bedeutung

Abelsche Kategorien sind ein wichtiges Werkzeug, um Aussagen über abelsche Gruppen zu verallgemeinern; so gelten beispielsweise das Fünferlemma oder das Schlangenlemma in jeder abelschen Kategorie. Abelsche Kategorien sind auch der natürliche Kontext für die homologische Algebra.

Eigenschaften

Für abelsche Kategorien gilt:

Beispiele

Additiv ist:

Abelsch sind beispielsweise:

Einbettungssätze

Die enge Verwandtschaft zu den abelschen Gruppen geht so weit, dass man Objekte einer abelschen Kategorie mithilfe eines geeigneten Funktors als spezielle abelsche Gruppen auffassen kann (Einbettungssatz von Mitchell):

Geschichte

Erste Ansätze zur Definition des Begriffes "abelsche Kategorie" stammen von Samuel Eilenberg und Saunders Mac Lane aus den frühen 1950er. Der Durchbruch gelang jedoch erst mit Alexander Grothendieck epochemachendem Artikel Sur quelques points d'algèbre homologique aus dem Jahre 1957.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 08.11. 2020