Kategorientheorie

Die Kategorientheorie oder die kategorielle Algebra ist ein Zweig der Mathematik, der Anfang der 1940er Jahre zuerst im Rahmen der Topologie entwickelt wurde; Saunders MacLane nennt seine 1945 in Zusammenarbeit mit Samuel Eilenberg entstandene „General Theory of Natural Equivalences“ (in Trans. Amer. Math. Soc. 58, 1945) die erste explizit kategorientheoretische Arbeit. Die Grundbegriffe dieser Theorie sind Kategorie, Funktor und natürliche Transformation. Um den letzteren Begriff zu präzisieren, wurden die ersten beiden ursprünglich eingeführt.

Die Kategorientheorie lässt sich, ähnlich wie die universelle Algebra, als allgemeine Theorie mathematischer Strukturen auffassen (klassische Strukturen sind z. B. Gruppen, Ringe, Moduln und topologische Räume). Dabei werden Eigenschaften mathematischer Strukturen allerdings nicht über Relationen zwischen Elementen der Trägermenge(n) definiert, sondern mittels Morphismen und Funktoren quasi über Vergleiche sowohl innerhalb von als auch zwischen Kategorien.

Bedeutung

Diese Art der Abstraktion führt nicht nur zu einer Klärung grundlegender, theorieübergreifender Begriffe, sie ermöglicht es auch, erfolgreiche Methoden und Konzepte einer speziellen mathematischen Theorie auf andere Bereiche und Objektklassen zu übertragen.
Ein illustratives Beispiel liefert die Geschichte der homologischen Algebra, deren Methoden zuerst auf abelsche Gruppen beschränkt waren, dann auf Moduln über Ringen verallgemeinert wurden und schließlich, als Theorie der abelschen Kategorien, auf abelsche Garben übertragen wurden.

Die Kategorientheorie ist ebenso für Grundlagenfragen relevant. So bilden Topoi, kategorientheoretische Extrakte der Kategorie der Mengen, in der wichtige Eigenschaften von Mengen rein pfeiltheoretisch (d. h. über Morphismen) formuliert werden, eine Alternative zum axiomatischen mengentheoretischen Aufbau der Mathematik. Darüber hinaus spielt die Kategorientheorie in der Logik, der Theoretischen Informatik (Semantik von Programmiersprachen, Bereichstheorie, Graphgrammatiken) und der mathematischen Physik (topologische Quantenfeldtheorie) eine Rolle.

Aufgrund ihres hohen Grades an Abstraktion wird die Kategorientheorie gelegentlich – selbst von den Mathematikern, die sie entwickelten – als allgemeiner Unsinn bezeichnet.

Definitionen

Kategorie

Eine Kategorie {\mathcal {C}} besteht aus folgendem:

\operatorname {Mor}_{{{\mathcal  C}}}(Y,Z)\times \operatorname {Mor}_{{{\mathcal  C}}}(X,Y)\to \operatorname {Mor}_{{{\mathcal  C}}}(X,Z),\;(g,f)\mapsto g\circ f,
die im offensichtlichen Sinne assoziativ sind:
(h\circ g)\circ f = h\circ(g\circ f), sofern \operatorname{cod}(f) = \operatorname{dom}(g) und \operatorname{cod}(g) = \operatorname{dom}(h).
(Gelegentlich wird das \circ weggelassen und h\circ g als hg angeschrieben.)

Die Klasse aller Morphismen wird auch mit \operatorname{Ar}(\mathcal C), \operatorname{Fl}(\mathcal C) oder \operatorname{Pf}(\mathcal C) bezeichnet (von englisch arrow, französisch flèche, deutsch Pfeil).

Unterkategorie

Eine Unterkategorie einer Kategorie {\mathcal {C}} ist eine Kategorie \mathcal D, so dass \operatorname{Ob}(\mathcal D) eine Teilklasse von \operatorname{Ob}(\mathcal C) ist und für je zwei Objekte X und Y in D die Morphismenmenge \operatorname{Mor}_{\mathcal D}(X, Y) Teilmenge von \operatorname{Mor}_{\mathcal C}(X, Y) ist. Sind die Morphismenmengen von \mathcal D gleich denen von {\mathcal {C}}, ist \mathcal D eine volle Unterkategorie. Eine volle Unterkategorie ist schon durch die Angabe der Objekte bestimmt.

Duale Kategorie

Die duale Kategorie \mathcal C^{\mathrm{op}} zu einer Kategorie {\mathcal {C}} ist die Kategorie mit \operatorname{Ob}(\mathcal C^{\mathrm{op}}) = \operatorname{Ob}(\mathcal C) und

\operatorname{Mor}_{\mathcal{C}^{\mathrm{op}}}(X,Y) = \operatorname{Mor}_\mathcal{C}(Y,X).

Die Verknüpfungsabbildungen und Identitätsmorphismen sind dieselben wie in {\mathcal {C}}. Anschaulich gesagt, zeigen in \mathcal C^{\mathrm{op}} alle Pfeile in die andere Richtung. Die Kategorie (\mathcal{C}^\mathrm{op})^\mathrm{op} ist gleich {\mathcal {C}}.

Produktkategorie

Die Produktkategorie \mathcal C\times\mathcal D zu zwei Kategorien {\mathcal {C}} und \mathcal D ist die Kategorie, deren Objekte genau die Paare (X,Y) mit X\in\operatorname{Ob}(\mathcal C) und Y\in\operatorname{Ob}(\mathcal D) sind und deren Morphismen gegeben sind durch

\operatorname{Mor}_{\mathcal{C}\times\mathcal{D}}\bigl((X,Y),(X',Y')\bigr) = \operatorname{Mor}_\mathcal{C}(X,X')\times \operatorname{Mor}_\mathcal{D}(Y,Y').

Die Verknüpfung von Morphismen geschieht komponentenweise, d.h. (f,g)\circ(f',g') = (f\circ f',g\circ g'), und es ist \operatorname{id}_{(X,Y)}=(\operatorname{id}_{X},\operatorname{id}_{Y}).

Funktor

Hauptartikel: Funktor (Mathematik)

Ein (kovarianter) Funktor ist eine strukturverträgliche Abbildung zwischen Kategorien. Ein Funktor F von einer Kategorie {\mathcal {C}} in eine Kategorie \mathcal D besteht aus den folgenden Daten:

Die Abbildungen zwischen den Morphismenmengen müssen folgende Eigenschaften haben:

Ein kontravarianter Funktor (oder Kofunktor) von {\mathcal {C}} nach \mathcal D ist ein Funktor \mathcal{C}^{\operatorname{op}} \to \mathcal{D}. Äquivalent dazu ist die Beschreibung wie oben, mit den folgenden Unterschieden:

Ein Funktor F\colon \mathcal C \to \mathcal C von einer Kategorie in sie selbst heißt Endofunktor.

Sind \mathcal{C}, \mathcal{D}, \mathcal{E} Kategorien und F\colon \mathcal{C}\to\mathcal{D} sowie G\colon\mathcal{D}\to\mathcal{E} ko- oder kontravariante Funktoren, so ist die Verkettung GF, die formal durch

(G\circ F)(X)=G(F(X)),\quad (G\circ F)(f)=G(F(f))

für Objekte X und Morphismen f definiert ist, ein Funktor \mathcal{C} \to \mathcal{E}. GF ist genau dann kovariant, wenn F und G beide ko- oder beide kontravariant sind, andernfalls kontravariant.

Natürliche Transformation

Natürliche Transformationen sind eine Art Abbildung zwischen „parallelen“ Funktoren. Es wird von Funktoren F und G ausgegangen, die beide von derselben Kategorie {\mathcal {C}} in dieselbe Kategorie \mathcal D gehen. Eine natürliche Transformation t von F nach G enthält für jedes Objekt X von {\mathcal {C}} einen Morphismus t_X\colon F(X)\to G(X), genannt Komponente von t bei X. Dabei muss für jeden Morphismus f\colon X\to Y zwischen Objekten von {\mathcal {C}} das folgende Diagramm kommutieren:

\begin{array}{rcl} F(X)&\xrightarrow[]{F(f)}&F(Y)\\ t_X\!\downarrow&&\downarrow\!t_Y\\ G(X)&\xrightarrow[G(f)]{}&G(Y)\\ \end{array}

Als Formel bedeutet das: t_Y\circ F(f) = G(f)\circ t_X.

Natürlich äquivalent sind zwei Funktoren F und G von {\mathcal {C}} nach \mathcal D, wenn es natürliche Transformationen t\colon F\to G und u\colon G\to F gibt, so dass tu und ut jeweils die Identität sind. Anders formuliert: natürliche Äquivalenz ist der Isomorphiebegriff in der Funktorkategorie. Eine natürliche Transformation t ist eine natürliche Äquivalenz genau dann, wenn jede Komponente t_X ein Isomorphismus ist.

Äquivalenz von Kategorien: Ein Funktor F\colon \mathcal C \to \mathcal D heißt eine Äquivalenz von Kategorien, wenn es einen Funktor G\colon \mathcal D \to \mathcal C gibt, so dass FG und GF jeweils natürlich äquivalent zur Identität von \mathcal D bzw. {\mathcal {C}} sind. Man kann zeigen, dass Äquivalenzen von Kategorien genau die volltreuen, wesentlich surjektiven Funktoren sind.

Beispiele

Kategorien

Hinweis: Die Bezeichnungen für spezielle Kategorien sind in der Literatur extrem uneinheitlich. Oft wird eine Beschreibung der Kategorie in runde oder geschweifte Klammern gesetzt, z. B. (Gruppen), oder unterstrichen.

  • Ist hierbei X leer, ergibt sich eine Kategorie ganz ohne Objekte und Morphismen. Sie wird mit \mathbf {0} bezeichnet und heißt die initiale oder leere Kategorie. Die Benennung rührt daher, dass \mathbf {0} initiales Objekt in Cat ist.
  • Ist dagegen X einelementig, ergibt sich eine Kategorie \mathbf{1}, die aus genau einem Objekt und dessen Identitätsmorphismus besteht. Sie wird finale oder terminale Kategorie genannt, was dadurch motiviert ist, dass \mathbf{1} finales Objekt in Cat ist.

Die meisten der oben genannten Beispiele sind so geartet (oder lassen sich leicht dahingehend anpassen), dass die Objekte Mengen zusammen mit einer Zusatzstruktur sind, die Morphismen Abbildungen, die mit dieser Struktur verträglich sind, und die Verknüpfung von Morphismen die Hintereinanderausführung von Abbildungen ist. Man spricht in diesem Fall von einer konkreten Kategorie. Es ist jedoch nicht jede Kategorie konkret oder auch nur äquivalent zu einer konkreten Kategorie (d. h. konkretisierbar). Nicht konkretisierbar sind beispielsweise (ohne Beweis):

Funktoren

Meist gibt man für Funktoren nur die Zuordnung der Objekte an, wenn die Abbildungen auf den Morphismenmengen daraus leicht zu ersehen sind.

X\mapsto \operatorname {Mor}_{{{\mathcal  C}}}(T,X)
ein (kovarianter) Funktor {{\mathcal  C}}\mapsto {\mathbf  {Set}}. Der Funktor
X\mapsto \operatorname {Mor}_{{{\mathcal  C}}}(X,T)
ist kontravariant. Hierzu siehe auch Hom-Funktor.
D\colon\mathrm{Vekt}_K\to\mathrm{Vekt}_K
wie folgt definiert:
  • Für ein Objekt V ist D(V)=V^*=\mathrm{Hom}_K(V,K) der Dualraum von V.
  • Für eine lineare Abbildung f\colon V\to W ist
D(f)\colon W^*\to V^*,\quad\lambda\mapsto\lambda\circ f.
Man überprüft leicht, dass D(f\circ g)=D(g)\circ D(f) und D(\mathrm{id}_V)=\mathrm{id}_{V^*} gilt.

Natürliche Transformationen

\tau_V\colon V\to V^{**},\quad v\mapsto(\lambda\mapsto\lambda(v))
eines Vektorraumes in seinen Bidualraum bilden eine natürliche Transformation
\tau\colon\mathrm{id}_{\mathrm{Vekt}_K}\to D\circ D.
Auf der vollen Unterkategorie der endlichdimensionalen Vektorräume ist \tau eine natürliche Äquivalenz.
\pi_k(X)\to H_k(X,\mathbb Z)
G\to G^{\mathrm ab}:=G/[G,G]

Yoneda-Lemma und universelle Konstruktionen

Universelle Konstruktionen übertragen einfache Begriffe aus der Kategorie der Mengen auf beliebige Kategorien.

Das Yoneda-Lemma

Es sei {\mathcal {C}} eine Kategorie. Der Funktor

h\colon {\mathcal  {C}}\to {\mathbf  {Mor}}({\mathcal  {C}}^{{{\mathrm  {op}}}},{\mathbf  {Set}}),

der einem Objekt X den Funktor

h_{X}\colon T\mapsto {\mathrm  {Mor}}_{{\mathcal  {C}}}(T,X)

zuordnet, ist volltreu. Allgemeiner gilt für Objekte X von {\mathcal {C}} und F von {\mathrm  {Mor}}({\mathcal  {C}}^{{{\mathrm  {op}}}},{\mathrm  {Set}}):

{\mathrm  {Mor}}_{{{\mathbf  {Mor}}({\mathcal  {C}}^{{{\mathrm  {op}}}},{\mathbf  {Set}})}}(h_{X},F)=F(X);

einer natürlichen Transformation t\colon h_{X}\mapsto F wird dabei t_{X}(\operatorname {id}_{X}) zugeordnet (man beachte h_{X}(X)={\mathrm  {Mor}}_{{\mathcal  {C}}}(X,X)).

Strukturtransfer

Das Yoneda-Lemma erlaubt es, Begriffe, die aus der Kategorie der Mengen geläufig sind, auf beliebige Kategorien zu übertragen. Beispielsweise kann man ein Produkt von Objekten X_{i} definieren als ein Objekt P, für das h(P) objektweise das kartesische Produkt der h(X_{i}) ist, d. h. dass

\mathrm{Mor}(T,P) \cong \prod\mathrm{Mor}(T,X_i)

gilt; dabei meint \cong eine natürliche Äquivalenz von Funktoren in T. Diese Äquivalenz liefert für T=P als Entsprechung von \operatorname {id}_{P} auch Morphismen \operatorname {pr}_{i}\colon P\to X_{i}. Das Yoneda-Lemma zeigt dann, dass P bis auf kanonische Isomorphie eindeutig bestimmt ist: sind {\mathrm  {Mor}}(\_,P) und {\mathrm  {Mor}}(\_,Q) via t natürlich äquivalente Funktoren, so sind P und Q via t_{P}(\operatorname {id}_{P}) isomorph.

„Universell“ ist dieses kategorielle Produkt in dem folgenden Sinn: wann immer man Abbildungen f_{i}\colon T\to X_{i} gegeben hat, kommen diese von den universellen Abbildungen \operatorname {pr}_{i}\colon P\to X_{i} her, d. h. es gibt eine Abbildung c\colon T\to P, so dass f_{i}=\operatorname {pr}_{i}~c gilt.

Außerdem kann man zu jeder derart gewonnenen Konstruktion die duale Konstruktion bilden (meist durch eine Vorsilbe „Ko“ gekennzeichnet), indem man zur dualen Kategorie übergeht. Beispielsweise ist das Koprodukt von Objekten X_{i} in einer Kategorie {\mathcal {C}} dasselbe wie das Produkt derselben Objekte X_{i} in der dualen Kategorie {\mathcal  {C}}^{{{\mathrm  {op}}}}.

Entsprechend können auch Eigenschaften von Mengenabbildungen auf beliebige Kategorien übertragen werden: beispielsweise ist ein Morphismus X \to Y ein Monomorphismus, wenn h(X)\to h(Y) objektweise injektiv ist.

Spezielle universelle Konstruktionen bzw. Begriffe

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 04.10. 2019