Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt

Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt sind Begriffe aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie.

Die folgenden Bezeichnungen sind ebenfalls üblich: initiales Objekt für Anfangsobjekt, terminales oder finales Objekt für Endobjekt.

Ein Anfangsobjekt ist ein spezieller Fall des Koprodukts, ein Endobjekt ein spezieller Fall des Produkts in Kategorien.

Definitionen

Eigenschaften

Die in all diesen Fällen auftretenden Isomorphismen sind jeweils eindeutig bestimmt. Zusammenfassend bedeutet dies:

Anfangs-, End- und Nullobjekte sind (sofern sie existieren) jeweils eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus.

Beispiele

Kategorien mit Nullobjekten

Gibt es in einer Kategorie ein Nullobjekt {\displaystyle 0}, so gibt es zu je zwei Objekten X und Y stets einen kanonischen so genannten Nullmorphismus {\displaystyle 0\colon X\to Y}, der die Verkettung von

X\to 0\to Y

ist. Genauer schreibt man 0_{{X,Y}}, um die Abhängigkeit von X und Y auszudrücken. Da die Morphismenmengen einer Kategorie definitionsgemäß paarweise disjunkt sind, gilt 0_{{X,Y}}=0_{{X',Y'}} nur für X=X' und Y=Y'.

Nullmorphismen {\displaystyle 0\colon X\to Y} in konkreten Kategorien sind in der Regel solche, die alle Elemente aus X auf ein Nullelement oder neutrales Element (je nach Kategorie) von Y abbilden. Beispiele sind:

In Kategorien mit Nullobjekten gibt es damit den Begriff des Kerns eines Morphismus f, dieser ist als Differenzkern des Paares (f,0) definiert.

Nullmorphismen erlauben auch die Konstruktion eines kanonischen Pfeils aus einem Koprodukt in das entsprechende Produkt.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 24.02. 2020