Differenzkern

Ein Differenzkern, auch Egalisator oder nach der englischsprachigen Bezeichnung Equalizer genannt, ist eine Verallgemeinerung des mathematischen Begriffes Kern auf beliebige Kategorien.

Definition

In einer Kategorie seien zwei Morphismen f,g:X\rightarrow Y gegeben. Ein Differenzkern von f und g ist ein Morphismus {\displaystyle i:Z\rightarrow X} mit folgenden Eigenschaften:

{\displaystyle {\begin{array}{ccccc}Z'&&&&\\\downarrow ^{c}&\searrow ^{i'}&&&\\Z&{\xrightarrow[{i}]{}}&X&{\underset {f}{\overset {g}{\rightrightarrows }}}&Y\\\end{array}}}

Beispiele

{\displaystyle i:\{x\in X\mid f(x)=g(x)\}\hookrightarrow X}
ein Differenzkern. Insbesondere in der zuletzt genannten Kategorie ist
{\displaystyle \{x\in X\mid f(x)=g(x)\}=\{x\in X\mid (f-g)(x)=0\}}
automatisch ein Untermodul, der mit dem Kern der Differenz f-g zusammenfällt, was die Bezeichnung Differenzkern erklärt.

Bemerkungen

Äquivalente Beschreibung

Ein Differenzkern zweier Morphismen {\displaystyle f,g\colon X\to Y} in einer beliebigen Kategorie kann auch als das durch die folgenden äquivalenten Eigenschaften charakterisierte Unterobjekt {\displaystyle i\colon \ker(f,g)\to X} von X beschrieben werden:

{\displaystyle \operatorname {Hom} (T,\ker(f,g))\cong \ker(\operatorname {Hom} (T,f),\operatorname {Hom} (T,g))}

wobei

{\displaystyle \operatorname {Hom} (T,f):\operatorname {Hom} (T,X)\to \operatorname {Hom} (T,Y)}
{\displaystyle \operatorname {Hom} (T,f)(t):=ft}

und der Differenzkern auf der rechten Seite der oben beschriebene Differenzkern in der Kategorie der Mengen ist, nicht der in der betrachteten Kategorie.

Des Weiteren soll der Isomorphismus in Punkt 2 natürlich in T sein, das heißt: Nennen wir die Familie von Isomorphismen

{\displaystyle \varphi _{T}:\operatorname {Hom} (T,\ker(f,g))\to \ker(\operatorname {Hom} (T,f),\operatorname {Hom} (T,g))}

dann gilt für alle {\displaystyle a\colon T_{0}\to T} und alle t für die der folgende Ausdruck definiert ist, dass

{\displaystyle \varphi _{T_{0}}(ta)=\varphi _{T}(t)a}
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 12.09. 2019