Eine Cauchy-Folge oder Fundamentalfolge ist in der Mathematik eine Folge, bei der der Abstand der Folgenglieder im Verlauf der Folge beliebig klein wird. Cauchy-Folgen sind nach dem französischen Mathematiker Augustin-Louis Cauchy benannt und von grundlegender Bedeutung für den Aufbau der Analysis.
Der Grenzwert einer Cauchy-Folge reeller Zahlen ist immer eine reelle Zahl. Der Grenzwert einer Cauchy-Folge rationaler Zahlen kann auch eine irrationale Zahl sein. Allgemein konvergieren genau dann alle Cauchy-Folgen von Elementen eines metrischen Raums, falls der Raum vollständig ist. Jeder unvollständige metrische Raum kann durch die Bildung von Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen vervollständigt werden.
Eine Folge
rationaler oder reeller
Zahlen heißt Cauchy-Folge oder Fundamentalfolge, wenn es zu jedem
einen Index
gibt, so dass ab diesem Index alle Folgenglieder weniger als
voneinander entfernt sind. Formal lässt sich diese Bedingung als
schreiben, wobei
den Betrag
einer Zahl darstellt.
Es gibt Folgen rationaler Zahlen, deren Folgenglieder sich in der beschriebenen Weise häufen, ohne aber einen Grenzwert in der Menge der rationalen Zahlen zu haben. Ein Beispiel hierfür ist die Folge rationaler Zahlen mit der Bildungsvorschrift (Heron-Verfahren)
Diese Folge ist eine Cauchy-Folge, sie besitzt aber als Grenzwert die irrationale
Zahl
und konvergiert daher innerhalb der Menge der rationalen Zahlen nicht. Die
Problematik, dass in der Menge der rationalen Zahlen
viele Grenzwerte von Cauchy-Folgen nicht enthalten sind, führte zu der Idee der
Vervollständigung
des Zahlenbereichs auf die Menge
der reellen Zahlen.
Allgemeiner definiert man den Begriff der Cauchy-Folge für metrische Räume ,
also beliebige Mengen
,
auf denen eine Metrik
gegeben ist. Eine Folge
von Elementen in
heißt dann Cauchy-Folge, wenn
gilt.
Damit gibt es zu jedem reellen
einen Index
,
so dass für alle natürlichen Zahlen
der Abstand der entsprechenden Folgenglieder
ist.
Eine dazu äquivalente geometrische Formulierung ist: Für jedes
gibt es einen Punkt
und einen Index
,
so dass alle Folgenglieder ab
in der offenen
Kugel
um den Punkt
mit Radius
liegen. Diese Version unterscheidet sich nur dadurch von der
Konvergenzdefinition, dass hier der Mittelpunkt
vom Radius
abhängen darf, während bei der Konvergenz der Grenzwert
von
unabhängig sein muss.
Jede konvergente Folge in einem metrischen Raum ist auch eine Cauchy-Folge.
Konvergiert nämlich eine Folge
gegen einen Grenzwert
,
dann gibt es zu jedem
einen Index
,
sodass
für alle
gilt. Mit der Dreiecksungleichung
für metrische Räume folgt dann für alle
und die Folge ist somit eine Cauchy-Folge. Die umgekehrte Richtung muss jedoch nicht notwendigerweise wahr sein, was letztendlich zur Einführung von vollständigen Räumen führte. In einem vollständigen Raum besitzt definitionsgemäß jede Cauchy-Folge einen Grenzwert und der Begriff der konvergenten Folge fällt mit dem Begriff der Cauchy-Folge zusammen. Jeder unvollständige metrische Raum kann jedoch durch die Bildung von Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen vervollständigt werden.