Angeordnete Gruppe

In der Gruppentheorie, einer Teildisziplin der Mathematik, ist eine angeordnete Gruppe (engl. left-orderable group) eine Gruppe zusammen mit einer totalen Ordnung<“, die mit der durch die Multiplikation gegebenen Linkstranslation verträglich ist. Bekannte Beispiele sind die Gruppen der ganzen und reellen Zahlen.

Definition

Sei G eine Gruppe. Eine links-invariante Anordnung auf G ist eine totale Ordnung, so dass für alle {\displaystyle a,b,c\in G} gilt:

{\displaystyle a<b\Longleftrightarrow ca<cb}.

Eine angeordnete Gruppe ist eine Gruppe mit einer links-invarianten Ordnung.

Äquivalent kann man eine links-invariante Ordnung charakterisieren durch eine disjunkte Zerlegung

{\displaystyle G=P\cup N\cup \left\{Id\right\}}

mit {\displaystyle P\cdot P\subset P} und {\displaystyle P^{-1}=N}.

Die Anordnung ergibt sich aus der Zerlegung via

{\displaystyle a<b\Longleftrightarrow a^{-1}b\in P}.

Beispiele

{\displaystyle 0\rightarrow K\rightarrow G\rightarrow H\rightarrow 0}
eine kurze exakte Sequenz ist, dann besitzt G eine links-invariante Anordnung, die mit der von K kompatibel ist und für die die Abbildung G\rightarrow H monoton ist.

Bi-invariante Anordnungen

Eine rechts-invariante Anordnung auf einer Gruppe G ist eine totale Ordnung, so dass für alle {\displaystyle a,b,c\in G} gilt:

{\displaystyle a<b\Longleftrightarrow ac<bc}.

Jede angeordnete Gruppe besitzt auch eine rechts-invariante Anordnung, die aber im Allgemeinen nicht mit der links-invarianten Anordnung übereinstimmt.

Eine bi-invariante Anordnung ist eine Anordnung, die gleichzeitig links- und rechts-invariant ist. Zum Beispiel besitzen torsionsfreie abelsche Gruppen oder die reine Zopfgruppe eine bi-invariante Anordnung.

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 29.08. 2022