Zahlentheoretische Funktion

Eine zahlentheoretische oder arithmetische Funktion ist eine Funktion, die jeder positiven natürlichen Zahl eine komplexe Zahl zuordnet. Diese Funktionen dienen in der Zahlentheorie dazu, Eigenschaften von natürlichen Zahlen, besonders deren Teilbarkeit, zu beschreiben und zu untersuchen.

Spezielle zahlentheoretische Funktionen

Beispiele

Die ersten Werte einiger zahlentheoretischen Funktionen
n = φ(n) ω(n) Ω(n) λ(n) μ(n) Λ(n) π(n) σ0(n) σ1(n) σ2(n) r2(n) r3(n) r4(n)
1 1 1 0 0 1 1 0.00 0 1 1 1 4 6 8
2 2 1 1 1 -1 -1 0.69 1 2 3 5 4 12 24
3 3 2 1 1 -1 -1 1.10 2 2 4 10 0 8 32
4 22 2 1 2 1 0 0.69 2 3 7 21 4 6 24
5 5 4 1 1 -1 -1 1.61 3 2 6 26 8 24 48
6 2‧3 2 2 2 1 1 0.00 3 4 12 50 0 24 96
7 7 6 1 1 -1 -1 1.95 4 2 8 50 0 0 64
8 23 4 1 3 -1 0 0.69 4 4 15 85 4 12 24
9 32 6 1 2 1 0 1.10 4 3 13 91 4 30 104
10 2‧5 4 2 2 1 1 0.00 4 4 18 130 8 24 144
11 11 10 1 1 -1 -1 2.40 5 2 12 122 0 24 96
12 22‧3 4 2 3 -1 0 0.00 5 6 28 210 0 8 96
13 13 12 1 1 -1 -1 2.56 6 2 14 170 8 24 112
14 2‧7 6 2 2 1 1 0.00 6 4 24 250 0 48 192
15 3‧5 8 2 2 1 1 0.00 6 4 24 260 0 0 192
16 24 8 1 4 1 0 0.69 6 5 31 341 4 6 24
17 17 16 1 1 -1 -1 2.83 7 2 18 290 8 48 144
18 2‧32 6 2 3 -1 0 0.00 7 6 39 455 4 36 312
19 19 18 1 1 -1 -1 2.94 8 2 20 362 0 24 160
20 22‧5 8 2 3 -1 0 0.00 8 6 42 546 8 24 144
21 3‧7 12 2 2 1 1 0.00 8 4 32 500 0 48 256
22 2‧11 10 2 2 1 1 0.00 8 4 36 610 0 24 288
23 23 22 1 1 -1 -1 3.14 9 2 24 530 0 0 192
24 23‧3 8 2 4 1 0 0.00 9 8 60 850 0 24 96
25 52 20 1 2 1 0 1.61 9 3 31 651 12 30 248
26 2‧13 12 2 2 1 1 0.00 9 4 42 850 8 72 336
27 33 18 1 3 -1 0 1.10 9 4 40 820 0 32 320
28 22‧7 12 2 3 -1 0 0.00 9 6 56 1050 0 0 192
29 29 28 1 1 -1 -1 3.37 10 2 30 842 8 72 240
30 2‧3‧5 8 3 3 -1 -1 0.00 10 8 72 1300 0 48 576
31 31 30 1 1 -1 -1 3.43 11 2 32 962 0 0 256
32 25 16 1 5 -1 0 0.69 11 6 63 1365 4 12 24
33 3‧11 20 2 2 1 1 0.00 11 4 48 1220 0 48 384
34 2‧17 16 2 2 1 1 0.00 11 4 54 1450 8 48 432
35 5‧7 24 2 2 1 1 0.00 11 4 48 1300 0 48 384
36 22‧32 12 2 4 1 0 0.00 11 9 91 1911 4 30 312
37 37 36 1 1 -1 -1 3.61 12 2 38 1370 8 24 304
38 2‧19 18 2 2 1 1 0.00 12 4 60 1810 0 72 480
39 3‧13 24 2 2 1 1 0.00 12 4 56 1700 0 0 448
40 23‧5 16 2 4 1 0 0.00 12 8 90 2210 8 24 144

Wichtige arithmetische Funktionen sind

{\displaystyle \qquad \sigma _{k}(n):=\sum _{d|n}d^{k},} speziell {\displaystyle \sigma (n):=\sigma _{1}(n)=\sum _{d|n}d},
die die Summe aller Teiler bzw. der k-ten Potenzen aller Teiler einer Zahl n angeben und

Multiplikative Funktionen

Eine zahlentheoretische Funktion heißt multiplikativ, wenn für teilerfremde Zahlen a und b stets f(ab)=f(a)\cdot f(b) gilt und f(1) nicht verschwindet, was äquivalent zu f(1)=1 ist. Sie heißt vollständig multiplikativ, auch strikt oder streng multiplikativ, wenn dies auch für nicht teilerfremde Zahlen gilt. Jede vollständig multiplikative Funktion ist also multiplikativ. Eine multiplikative Funktion lässt sich darstellen als

f(n)=\prod _{{p\in {\mathbb  {P}}}}f\left(p^{{\nu _{p}(n)}}\right),

d.h. eine multiplikative Funktion ist vollständig durch die Werte bestimmt, die sie für Primzahlpotenzen annimmt.

Additive Funktionen

Eine zahlentheoretische Funktion heißt additiv, wenn für teilerfremde Zahlen a und b stets {\displaystyle f(ab)=f(a)+f(b)} gilt. Sie heißt vollständig additiv, auch strikt oder streng additiv, wenn dies auch für nicht teilerfremde Zahlen gilt.

Ein Beispiel für eine additive Funktion ist die p-adische Exponentenbewertung. Aus jeder multiplikativen Funktion, die nirgends verschwindet, lässt sich eine additive Funktion konstruieren, indem man das Ergebnis logarithmiert. Präziser: Wenn f (vollständig) multiplikativ und stets f(n)\neq 0 ist, dann ist \log(|f|) eine (vollständig) additive Funktion. Gelegentlich wird auch ein (komplexer) Logarithmus einer nirgends verschwindenden zahlentheoretische Funktion \operatorname {Log}(f) (ohne Betrag) gebildet. Dabei ist jedoch wegen der verschiedenen Zweige des komplexen Logarithmus Vorsicht geboten.

Faltung

Die Faltung von zahlentheoretischen Funktionen wird nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet auch als Dirichlet-Faltung bezeichnet. Zu anderen Bedeutungen des Wortes in der Mathematik siehe den Artikel Faltung (Mathematik).

Definition

Die Dirichlet-Faltung zweier zahlentheoretischer Funktionen ist definiert durch

(f*g)(n):=\sum _{{d\mid n}}f\!\left({\frac  {n}{d}}\right)g(d),\quad n\in {\mathbb  {N}},

wobei sich die Summe über alle (echten und unechten, positiven) Teiler von n erstreckt.

Die summatorische Funktion einer zahlentheoretischen Funktion f ist definiert durch F:=f*I^{0}, wobei I^{0} die konstante Funktion mit dem Funktionswert 1 bezeichnet, also

F(n)=(f*I^{0})(n)=\sum _{{d\mid n}}f(d),\quad n\in {\mathbb  {N}}.

Man kann zeigen, dass I^{0} bzgl. der Faltungsoperation invertierbar ist; ihr Inverses ist die (multiplikative) Möbiusfunktion \mu . Das führt zur Möbiusschen Umkehrformel, mit der man eine zahlentheoretische Funktion aus ihrer summatorischen Funktion zurückgewinnen kann.

Eigenschaften der Faltung

Algebraische Struktur

Abgrenzung vom Raum der komplexen Zahlenfolgen

Mit der komplexen Skalarmultiplikation, der komponentenweisen Addition und – anstelle der Faltung – der komponentenweisen Multiplikation bildet die Menge der zahlentheoretischen Funktionen ebenfalls eine kommutative C-Algebra, die Algebra der formalen (nicht notwendig konvergenten) komplexen Zahlenfolgen. Diese kanonische Struktur als Abbildungsraum ist in der Zahlentheorie jedoch kaum von Interesse.

Als komplexer Vektorraum (also ohne innere Multiplikation) ist dieser Folgenraum mit dem Raum der zahlentheoretischen Funktionen identisch.

Zusammenhang mit Dirichletreihen

Jeder zahlentheoretischen Funktion kann eine formale Dirichletreihe zugeordnet werden. Die Faltung wird dann zur Multiplikation von Reihen. Diese Konstruktion wird im Artikel über Dirichletreihen näher beschrieben.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 21.04. 2020