Primzahlsatz

Der Primzahlsatz erlaubt eine Abschätzung der Verteilung der Primzahlen mittels Logarithmen. Der Zusammenhang zwischen Primzahlen und Logarithmen wurde bereits von dem 15-jährigen Carl Friedrich Gauß 1793 und unabhängig von ihm durch Adrien-Marie Legendre 1798 vermutet, aber erst 1896 unabhängig von Jacques Salomon Hadamard und Charles-Jean de La Vallée Poussin bewiesen.

Die Primzahlfunktion

Im Weiteren sei \pi(x) die Primzahlfunktion, die für beliebige reelle Zahlen x definiert ist als die Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als x sind. Formal kann man schreiben:

{\displaystyle \pi (x)=\left|\{p\in \mathbb {P} \mid p\leq x\}\right|}

Dabei bezeichnet das Symbol \mathbb{P} die Menge der Primzahlen, die Schreibweise \left|M\right| steht für die Anzahl der Elemente der Menge M.

Der Primzahlsatz

Der Primzahlsatz besagt:

\lim _{{x\to \infty }}{\frac  {\pi (x)}{{\frac  {x}{\ln(x)}}}}=1

Nennt man zwei reelle Funktionen f und g asymptotisch äquivalent, wenn der Quotient {\tfrac {f(x)}{g(x)}} für x\to\infty gegen 1 konvergiert, so kann man den Primzahlsatz auch so formulieren: Die Funktionen \pi(x) und {\displaystyle {\tfrac {x}{\ln(x)}}} sind asymptotisch äquivalent.

Der Primzahlsatz ist im Wesentlichen äquivalent dazu, dass die riemannsche Zetafunktion keine Nullstellen s mit {\displaystyle \operatorname {Re} (s)\geq 1} hat.

Es gibt verschiedene analytische Beweise. Ein einfacher Beweis, der die Abschätzung der Zetafunktion im Unendlichen nach Hadamard und La Vallée Poussin vermeidet, wurde von Donald Newman gegeben. Ein dritter Weg innerhalb der analytischen Zahlentheorie benutzt die Taubersätze von Wiener-Ikehara, vermeidet ebenfalls die Abschätzung im Unendlichen, benutzt aber tieferliegende Ergebnisse aus der Theorie der Fourier-Transformation. Es gibt auch Beweise ohne Verwendung komplexer Funktionentheorie („elementare“ Beweise nach Paul Erdős und Atle Selberg).

Stärkere Formen des Primzahlsatzes

Darstellung von π(x) (rot), x/ln(x) (grün) und Li(x) (blau)

Bessere Approximationen als {\displaystyle {\tfrac {x}{\ln(x)}}} liefert der Integrallogarithmus

{\mathrm  {Li}}(x):=\int _{2}^{x}{\frac  {{\mathrm  {d}}t}{\ln t}}.

Die Integraldarstellung für {\displaystyle \operatorname {Li} (x)} wird gewählt, weil die Stammfunktionen von {\displaystyle 1/\ln(x)} nicht elementar sind.

Der Integrallogarithmus ist asymptotisch äquivalent zu x/{\ln(x)}, also auch zu \pi (x).

Man kann zeigen:

\pi (x)={\mathrm  {Li}}(x)+O\left(x\cdot \exp(-C(\ln(x))^{{3/5}}(\ln \ln(x))^{{-1/5}})\right)

mit einer positiven Konstanten C. Dabei ist O(\cdot ) ein Landau-Symbol, d.h., es gibt eine Konstante D, sodass

{\displaystyle {\Big |}\pi (x)-\mathrm {Li} (x){\Big |}<D\cdot x\cdot \exp \left(-C(\ln(x))^{3/5}(\ln \ln(x))^{-1/5}\right)}

für alle x gilt. Die Verbesserung des Fehlerterms hängt davon ab zu zeigen, dass die Zetafunktion in immer größeren Bereichen im kritischen Streifen nullstellenfrei ist. Unter Annahme der Riemannschen Vermutung (nach der alle nicht-trivialen Nullstellen auf der Geraden {\displaystyle s={\frac {1}{2}}} liegen), und nur unter dieser, kann man die Fehlerabschätzung zu

\pi (x)={\mathrm  {Li}}(x)+O\left({\sqrt  {x}}\cdot \ln(x)\right)

verbessern (Helge von Koch 1901). Eine nicht-asymptotische Schranke fand Lowell Schoenfeld unter Annahme der Riemann-Vermutung:

{\displaystyle {\big |}\pi (x)-\mathrm {Li} (x){\big |}<{\frac {{\sqrt {x}}\ln x}{8\pi }}}.

Geschichte

Adrien-Marie Legendre veröffentlichte 1798 als erster in seiner Théorie des nombres (Abhandlung über Zahlentheorie) unabhängig von Gauß den vermuteten Zusammenhang zwischen Primzahlen und Logarithmen. In der zweiten Auflage dieses Werks 1808 verbesserte er die Abschätzung von \pi(x) zu ungefähr gleich

{\frac  {x}{\ln(x)-1{,}08366}}

(wo dieser Wert 1,08366 verantwortlich für das Problem der Existenz der Legendre-Konstanten ist). Ein erster Schritt hin zu einem Beweis gelang Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow, der 1851 die folgende schwächere Form des Primzahlsatzes zeigte:

0{,}92929\leq {\frac  {\pi (x)}{{\frac  {x}{\ln(x)}}}}\leq 1{,}1056

für alle hinreichend großen x. Das heißt, dass die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe um nicht mehr als ungefähr 10 % nach oben oder unten von der logarithmischen Funktion x/\ln(x) abweicht.

Der englische Mathematiker James Joseph Sylvester, damals Professor an der amerikanischen Johns Hopkins University in Baltimore, verfeinerte 1892 Tschebyschows Methode und zeigte, dass für die Ungleichung bei hinreichend großem x die untere Grenze 0,95695 und die obere Grenze 1,04423 genügt, die Abweichung also maximal nur mehr ungefähr 5 % beträgt.

In seiner berühmten Arbeit Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe (1859) hat Bernhard Riemann den Zusammenhang zwischen der Verteilung der Primzahlen und den Eigenschaften der Riemannschen Zetafunktion gezeigt. Der deutsche Mathematiker Hans von Mangoldt bewies 1895 das Hauptresultat der Riemannschen Arbeit, dass der Primzahlsatz dem Satz äquivalent ist, dass die Riemannsche Zetafunktion keine Nullstellen mit Realteil 1 hat. Sowohl Hadamard als auch de la Vallée Poussin haben 1896 die Nichtexistenz solcher Nullstellen bewiesen. Ihre Beweise des Primzahlsatzes sind also nicht „elementar“, sondern verwenden funktionentheoretische Methoden. Lange Jahre galt ein elementarer Beweis des Primzahlsatzes für unmöglich, was 1949 durch die von >Atle Selberg und Paul Erdős gefundenen Beweise widerlegt wurde (wobei „elementar“ hier keineswegs „einfach“ bedeutet). Später wurden noch zahlreiche Varianten und Vereinfachungen dieser Beweise gefunden.

Zahlenbeispiele

Die folgende Tabelle zeigt konkrete Werte der Primzahlfunktion im Vergleich mit den Logarithmen, Legendres Formel und dem Integrallogarithmus.

x \pi(x) {\displaystyle {\frac {\pi (x)}{x}}\approx } {\displaystyle {\frac {x}{\ln(x)}}\approx } {\displaystyle \pi (x)-{\frac {x}{\ln(x)}}\approx } {\displaystyle {\frac {\pi (x)}{\frac {x}{\ln(x)}}}\approx } {\displaystyle {\frac {x}{\ln(x)-1{,}08366}}\approx } {\displaystyle \mathrm {Li} (x):=\int _{2}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\ln t}}\approx } {\displaystyle \mathrm {Li} (x)-\pi (x)\approx }
10 4 0,400000 4 0 0,921034 8 6 2
102 25 0,250000 22 3 1,151293 28 30 5
103 168 0,168000 145 23 1,160503 172 178 10
104 1.229 0,122900 1.086 143 1,131951 1.231 1.246 17
105 9.592 0,095920 8.686 906 1,104320 9.588 9.630 38
106 78.498 0,078498 72.382 6.116 1,084490 78.543 78.628 130
107 664.579 0,066458 620.421 44.158 1,071175 665.140 664.918 339
108 5.761.455 0,057615 5.428.681 332.774 1,061299 5.768.004 5.762.209 754
109 50.847.534 0,050848 48.254.942 2.592.592 1,053727 50.917.519 50.849.235 1.701
1010 455.052.511 0,045505 434.294.482 20.758.029 1,047797 455.743.004 455.055.615 3.104
1011 4.118.054.813 0,041181 3.948.131.654 169.923.159 1,043039 4.124.599.869 4.118.066.401 11.588
1012 37.607.912.018 0,037608 36.191.206.825 1.416.705.193 1,039145 37.668.527.415 37.607.950.281 38.263
1013 346.065.536.839 0,034607 334.072.678.387 11.992.858.452 1,035899 346.621.096.885 346.065.645.810 108.971
1014 3.204.941.750.802 0,032049 3.102.103.442.166 102.838.308.636 1,033151 3.210.012.022.164 3.204.942.065.692 314.890
1015 29.844.570.422.669 0,029845 28.952.965.460.217 891.604.962.452 1,030795 29.890.794.226.982 29.844.571.475.288 1.052.619
1016 279.238.341.033.925 0,027924 271.434.051.189.532 7.804.289.844.393 1,028752 279.660.033.612.131 279.238.344.248.557 3.214.632
1017 2.623.557.157.654.233 0,026236 2.554.673.422.960.305 68.883.734.693.281 1,026964 2.627.410.589.445.923 2.623.557.165.610.822 7.956.589
1018 24.739.954.287.740.860 0,024740 24.127.471.216.847.324 612.483.070.893.536 1,025385 24.775.244.142.175.635 24.739.954.309.690.415 21.949.555
1019 234.057.667.276.344.607 0,023406 228.576.043.106.974.646 5.481.624.169.369.960 1,023982 234.381.646.366.460.804 234.057.667.376.222.382 99.877.775
1020 2.220.819.602.560.918.840 0,022208 2.171.472.409.516.259.138 49.347.193.044.659.701 1,022725 2.223.801.523.570.829.204 2.220.819.602.783.663.484 222.744.644
1021 21.127.269.486.018.731.928 0,021127 20.680.689.614.440.563.221 446.579.871.578.168.707 1,021594 21.154.786.057.670.023.133 21.127.269.486.616.126.182 597.394.254
1022 201.467.286.689.315.906.290 0,020147 197.406.582.683.296.285.296 4.060.704.006.019.620.994 1,020570 201.721.849.105.666.574.218 201.467.286.691.248.261.498 1.932.355.208
1023 1.925.320.391.606.803.968.923 0,019253 1.888.236.877.840.225.337.614 37.083.513.766.578.631.309 1,019639 1.927.681.221.597.738.628.080 1.925.320.391.614.054.155.139 7.250.186.216
1024 18.435.599.767.349.200.867.866 0,018436 18.095.603.412.635.492.818.797 339.996.354.713.708.049.069 1,018789 18.457.546.327.619.878.007.916 18.435.599.767.366.347.775.144 17.146.907.278
1025 176.846.309.399.143.769.411.680 0,017685 173.717.792.761.300.731.060.452 3.128.516.637.843.038.351.228 1,018009 177.050.792.039.110.236.839.710 176.846.309.399.198.930.392.619 55.160.980.939
1026 1.699.246.750.872.437.141.327.603 0,016992 1.670.363.391.935.583.952.504.342 28.883.358.936.853.188.823.261 1,017292 1.701.156.120.834.278.630.173.694 1.699.246.750.872.593.033.005.724 155.891.678.121
1027 16.352.460.426.841.680.446.427.399 0,016352 16.084.980.811.231.549.172.264.034 267.479.615.610.131.274.163.365 1,016629 16.370.326.243.373.272.895.062.280 16.352.460.426.842.189.113.085.405 508.666.658.006
OEIS Folge A006880 in OEIS   Folge A057834 in OEIS Folge A057835 in OEIS   Folge A058289 in OEIS Folge A057754 in OEIS Folge A057752 in OEIS

Die Größe \pi (x)/x heißt Primzahldichte.

Vergleicht man {\displaystyle \operatorname {Li} (x)} mit den Werten von \pi(x) in der Tabelle, scheint es so, als ob stets {\displaystyle \operatorname {Li} (x)>\pi (x)} gelten würde. Tatsächlich wechselt die Differenz {\mathrm  {Li}}(x)-\pi (x) bei größer werdendem x das Vorzeichen unendlich oft, wie J. E. Littlewood 1914 zeigen konnte. Die gaußsche Formel unterschätzt also die Anzahl der Primzahlen in einem hinreichend großen Zahlenbereich, den Stanley Skewes 1933 mit der nach ihm benannten Skewes-Zahl nach oben abschätzen konnte. Russell Sherman Lehman stellte 1966 einen wichtigen Satz über die obere Grenze auf und konnte sie auf eine „handhabbare“ Größe von 1,165·101165 drücken. Unter Verwendung des Lehmanschen Satzes gelang es dem niederländischen Mathematiker Herman te Riele 1986 zu zeigen, dass es zwischen 6,627·10370 und 6,687·10370 mehr als 10180 aufeinanderfolgende Zahlen x gibt, für die \pi (x)>{\mathrm  {Li}}(x) gilt. Den derzeit besten untersten Wert, ebenfalls ausgehend von den Ergebnissen Lehmans, ermittelten im Jahr 2000 die beiden Mathematiker Carter Bays und Richard Hudson, die zeigten, dass ein solcher von Littlewood bewiesener Wechsel vor 1,398244·10316 auftritt. Obwohl sie dies nicht beweisen konnten, legen ihre Berechnungen nahe, dass sie tatsächlich den ersten Vorzeichenwechsel gefunden haben. Genauer vermuten sie, dass die Ungleichung \pi (x)<{\mathrm  {Li}}(x) für {\displaystyle x<1{,}398\cdot 10^{316}} immer gilt.

Explizite Formeln zur Primzahlfunktion

Formeln für Primzahlfunktionen gibt es in zwei Arten: arithmetische Formeln und analytische Formeln. Analytische Formeln für die Primzahlenzählung waren die ersten, die verwendet wurden, um den Primzahlsatz zu beweisen. Sie stammen aus der Arbeit von Bernhard Riemann und Hans von Mangoldt und sind allgemein als explizite Formeln bekannt.

Wir haben folgenden Ausdruck für \psi :

{\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}\ln(1-x^{-2})}

wobei

{\displaystyle \psi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\psi (x-\varepsilon )+\psi (x+\varepsilon )}{2}}.}

und \psi (x) der zweiten Tschebyschow-Funktion. Hier sind \rho die Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion im kritischen Streifen, bei dem der Realteil von \rho zwischen Null und Eins liegt. Die Formel gilt für Werte von x größer als eins, d. h. die Region von Interesse. Die Summe über den Wurzeln ist bedingt konvergent und sollte in der Reihenfolge zunehmender Absolutwerte des Imaginärteils genommen werden. Zu beachten ist, dass die gleiche Summe über die trivialen Wurzeln den letzten Subtrahenden in der Formel ergibt.

Ähnlich wie für \psi kann auch für die von Riemann eingeführte Primzahlen abzählende Funktion {\displaystyle \Pi (x)} eine Mittelung an den Sprungstellen {\displaystyle \Pi _{0}(x)} eingeführt werden. Für {\displaystyle \Pi _{0}(x)} haben wir die kompliziertere Formel

{\displaystyle \Pi _{0}(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\ln 2+\int _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t(t^{2}-1)\ln t}}.}

Auch hier gilt die Formel wieder für x>1, während \rho die nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion nach ihrem Absolutwert geordnet sind, und letzteres Integral wiederum mit Minuszeichen genommen ist genau die gleiche Summe, aber über den trivialen Nullstellen. Der erste Ausdruck \operatorname {li}(x) ist die übliche logarithmische Integralfunktion; der Ausdruck {\displaystyle \operatorname {li} (x^{\rho })} im zweiten Term sollte als {\displaystyle \operatorname {Ei} (\rho \ln x)} betrachtet werden, wobei \operatorname {Ei} die analytische Fortsetzung der exponentiellen Integralfunktion von der positiven Realen zur komplexen Ebene mit entlang der negativen Realen Achse geschnittenem Ast ist.

Somit ergibt sich wenn man wie oben eine an den Sprungstellen mittelnde Funktion {\displaystyle \pi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\lim _{\varepsilon \to 0}(\pi (x+\varepsilon )+\pi (x-\varepsilon ))} einführt mit der Möbius-Inversionsformel

{\displaystyle \pi _{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho })-{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\ln x}}}

gültig für x>1, wobei

{\displaystyle \operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} (x^{1/n})=1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{k}}{k!k\zeta (k+1)}}}

die sogenannte Riemannsche R-Funktion ist. Die letztgenannte Reihe dafür ist bekannt als Gram-Reihe und konvergiert für alle positiven x.

Δ-Funktion (rote Linie) auf Log-Skala

Die Summe über nichttriviale Nullstellen der Zetafunktion in der Formel für {\displaystyle \pi _{0}(x)} beschreibt die Schwankungen von {\displaystyle \pi _{0}(x)}, während die restlichen Terme den „glatten“ Teil der Primzahlfunktion ausmachen.

Somit kann man

{\displaystyle \operatorname {R} (x)-{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\ln x}}}

als den besten Fit der \pi(x) für x>1 bezeichnen.

Die Amplitude des „verrauschten“ Teils liegt heuristisch bei ca. {\displaystyle {\sqrt {x}}/\ln x}, womit die Schwankungen der Primzahlenverteilung mit der \Delta -Funktion dargestellt werden können:

{\displaystyle \Delta (x)=\left(\pi _{0}(x)-\operatorname {R} (x)+{\frac {1}{\ln x}}-{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\ln x}}\right){\frac {\ln x}{\sqrt {x}}}.}

Eine umfangreiche Tabelle mit den Werten von {\displaystyle \Delta (x)} steht zur Verfügung.

Primzahlsatz für arithmetische Progressionen, Satz von Siegel-Walfisz

Sei {\displaystyle \pi _{q,a}(x)} die Anzahl der Primzahlen kleiner gleich x in der arithmetischen Progression {\displaystyle a,a+q,a+2q,\cdots }, wobei {\displaystyle a,q} koprim sind ({\displaystyle (a,q)=1}). Peter Gustav Lejeune Dirichlet und Adrien-Marie Legendre vermuteten, dass asymptotisch

{\displaystyle \pi _{q,a}(x)\sim {\frac {1}{\varphi (q)}}\operatorname {Li} (x),}

mit \varphi (q) der Eulerschen Phi-Funktion (der Anzahl zu q teilerfremden Zahlen kleiner als q). Das wurde von Charles-Jean de La Vallée Poussin bewiesen mit ähnlichen Methoden wie beim Beweis des Primzahlsatzes.

Als Beispiel kann man das auf die Verteilung der Primzahlen auf ihre Endziffern im Dezimalsystem anwenden (analog gilt das für jede Basis). Es kommen nur die Ziffern 1, 3, 7, 9 in Betracht (außer für die Primzahlen 5 und 2 selbst) und aus dem Primzahlsatz für arithmetische Progressionen folgt, dass die Primzahlen unter ihren Endziffern gleich verteilt sind. Es gibt allerdings einige Ungleichgewichte, die Gegenstand der Forschung sind. So gibt es numerisch meist mehr Primzahlen der Form {\displaystyle p=3\mod 4} als {\displaystyle p=1\mod 4} unterhalb einer bestimmten Grenze, obwohl die Primzahlen asymptotisch auf beide Klassen gleich verteilt sind (Chebyshev's Bias, auch Primzahl-Rennen, nach Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow). Nach John Edensor Littlewood wechselt {\displaystyle \pi _{4,3}(x)-\pi _{4,1}(x)} auch unendlich oft das Vorzeichen. Ähnliche Phänomene gibt es bei Betrachtung anderer Kongruenzen als solchen mod 4. Wie K. Soundararajan und Oliver 2016 fanden, gibt es auch Abweichungen der Gleichverteilung wenn man die Verteilung der Endziffern bei aufeinanderfolgenden Primzahlen betrachtet.

Genauer wurde die Verteilung in arithmetischen Progressionen durch Arnold Walfisz untersucht im Satz von Siegel und Walfisz (er basiert auf einem Resultat von Carl Ludwig Siegel). Der Satz liefert einen asymptotischen Fehlerterm {\displaystyle O\left(x\exp \left(-{\frac {C_{N}}{2}}(\log x)^{\frac {1}{2}}\right)\right),} für die obige Formel. Dabei ist C_{N} eine Konstante und N eine beliebige Zahl mit {\displaystyle q\leq {(\log x)}^{N}}.

Ursprünglich ist der Satz von Siegel und Walfisz für die Funktion

{\displaystyle \psi (x;q,a)=\sum _{n\leq x \atop n\equiv a{\pmod {q}}}\Lambda (n),}

formuliert mit der Mangoldt-Funktion {\displaystyle \Lambda (n)}. Mit den bereits eingeführten Bezeichnungen (sowie wie oben {\displaystyle (a,q)=1}, {\displaystyle q\leq (\log x)^{N}}) besagt der Satz dann, dass es für jedes N eine Konstante C_{N} gibt so dass:

{\displaystyle \psi (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)}}+O\left(x\exp \left(-C_{N}(\log x)^{\frac {1}{2}}\right)\right)}
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 02.09. 2019