Kubische Gleichungen sind Polynomgleichungen dritten Grades, also algebraische Gleichungen der Form
Eine kubische Gleichung hat nach dem Fundamentalsatz
der Algebra stets drei komplexe
Lösungen ,
die auch zusammenfallen können. Mit ihrer Hilfe lässt sich die Gleichung in
faktorisierter
Form darstellen:
Im Falle reeller Koeffizienten beschreibt die linke Seite der
kubischen Gleichung geometrisch eine kubische Parabel in der -
-Ebene,
also den Graph einer kubischen
Funktion. Dessen Nullstellen,
also seine Schnittpunkte mit der
-Achse,
sind die reellen Lösungen der kubischen Gleichung. Der Funktionsgraph hat nach
dem Zwischenwertsatz
stets mindestens eine reelle Nullstelle, jedoch höchstens drei.
Kennt man eine Lösung
exakt, so kann man das kubische Polynom mit Hilfe der Polynomdivision oder
des Horner-Schemas durch
dividieren und erhält so eine quadratische
Gleichung. Diese kann man mit Hilfe einer Lösungsformel lösen und
erhält so die restlichen Lösungen der kubischen Gleichung. Dieses Verfahren ist
aber nur für eine rationale
Lösung
praktikabel. Bereits bei der irreduziblen
Gleichung
ist das Verfahren mit der noch relativ einfachen Lösung
nicht mehr praktikabel, da die Koeffizienten der verbleibenden quadratischen
Gleichung sehr kompliziert werden. In diesen Fällen lassen sich die Lösungen mit
der unten genannten Cardanischen
Formel leichter bestimmen.
Sind alle Koeffizienten der kubischen Gleichung ganzzahlig, so kann man versuchen, eine rationale Lösung zu raten, das heißt, durch Probieren zu finden. Ist der führende Koeffizient A vom Betrag gleich 1, so kann man die ganzzahligen Teiler des letzten Koeffizienten D durchprobieren (auch negative Werte!). Ist A von eins verschieden, so müssen alle Brüche, deren Zähler ein Teiler von D und deren Nenner ein Teiler von A ist, durchprobiert werden. Der Satz über rationale Nullstellen garantiert, dass man mit diesem endlichen Aufwand eine rationale Nullstelle findet, falls eine solche existiert. Sind die Koeffizienten rational, so kann man ganzzahlige Koeffizienten erreichen, indem man die Gleichung mit dem Hauptnenner aller Koeffizienten multipliziert.
Als rationale Lösungen der kubischen Gleichung
kommen nur die ganzzahligen Teiler
des letzten Koeffizienten sowie
in Frage. In der Tat ist
eine Lösung, wovon man sich durch Einsetzen überzeugt. Polynomdivision
liefert
und mit der quadratischen Lösungsformel ergeben sich als weitere Lösungen
.
Es gibt eine Reihe äquivalenter Umformungen der kubischen Gleichung durch Lineartransformation
des Arguments, die es erlauben, diese für das nachfolgende Lösungsverfahren zu
vereinfachen (Tschirnhaus-Transformation).
Durch Division durch
kann das Polynom zunächst normiert
werden.
Durch Lineartransformation des Arguments mit Hilfe der Substitution
ergibt sich folgender Term:
Durch die Wahl von
lässt sich das quadratische Glied beseitigen und man erhält die reduzierte
Form der kubischen Gleichung:
Die reduzierte Form mit
kann nun mit Hilfe der Cardanischen
Formeln aufgelöst und durch anschließende Rücksubstitution können die
Lösungen der ursprünglichen Gleichung bestimmt werden. Hierdurch ist die
Gesamtheit der reellen und komplexen Lösungen zugänglich.
Im Fall, dass das ursprüngliche Polynom nur reelle Koeffizienten hat, kann
mithilfe der Diskriminante
überprüft werden, ob ausschließlich reelle Lösungen vorliegen:
Ist ,
so sind alle Lösungen reell. Andernfalls gibt es genau eine reelle Lösung, die
andern beiden sind komplex nicht-reell und konjugiert zueinander.
Fall 1:
Unterfall 1a:
und
Eine Lösungsstrategie für die verbleibenden Lösungen, die ohne die Verwendung
komplexer Zahlen auskommt, ist die folgende:
Die reduzierte Form wird durch
Substitution mit Hilfe einer geeigneten trigonometrischen
oder hyperbolischen
Funktion so umgeformt, dass sie auf bekannte
Additionstheoreme
zurückgeführt werden kann.
Geeignete Funktionen sind:
Funktion ![]() |
Wertebereich | Additionstheorem | ![]() |
kubische Gleichung | Fall |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
2 |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
3 |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
3 |
![]() |
beliebig reell | ![]() |
![]() |
![]() |
4 |
Die aufgeführten Additionstheoreme sind so parametrisiert, dass sie sich in dieselbe kubische Gleichung überführen lassen, die sich mit der reduzierten Form der gegebenen Gleichung
zur Deckung bringen lässt. Mithilfe der Setzung
erhält man durch Koeffizientenvergleich
sofort
Somit lässt sich
durch die ursprünglichen Koeffizienten
und
ausdrücken:
wobei
gesetzt ist und
eine zugehörige Arkus-
oder Areafunktion bezeichnet.
Durch Rücksubstitution kann dann die endgültige Lösung der kubischen Gleichung
ermittelt werden. Aus
und
erhält man somit
Als erstes bestimmt das Vorzeichen von
die Wahl der Substitutionsfunktion
,
in zweiter Linie
,
das im reellen Wertebereich von
liegen muss.
Fall 2:
(woraus
und
folgt):
Unterfall 2a:
(woraus
folgt):
Fall 3:
und
(woraus
und
folgt):
Grenzfall 3a:
und
(woraus
folgt):
Fall 4:
und
: