Kubische Gleichung

Graph einer Funktion 3. Grades; die Nullstellen (y=0) sind dort, wo der Graph die x-Achse schneidet. Dieser Graph hat drei reelle Nullstellen.

Kubische Gleichungen sind Polynomgleichungen dritten Grades, also algebraische Gleichungen der Form

$A \cdot x^3 + B \cdot x^2 + C \cdot x + D = 0 \quad \text{mit} \quad A, B, C, D \in \mathbb{C} \quad \text{und} \quad A \ne 0$ .

Eine kubische Gleichung hat nach dem Fundamentalsatz der Algebra stets drei komplexe Lösungen x_1, x_2, x_3 , die auch zusammenfallen können. Mit ihrer Hilfe lässt sich die Gleichung in faktorisierter Form darstellen:

$A \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) \cdot (x - x_3) = 0\,.$

Im Falle reeller Koeffizienten beschreibt die linke Seite der kubischen Gleichung geometrisch eine kubische Parabel in der --Ebene, also den Graph einer kubischen Funktion. Dessen Nullstellen, also seine Schnittpunkte mit der -Achse, sind die reellen Lösungen der kubischen Gleichung. Der Funktionsgraph hat nach dem Zwischenwertsatz stets mindestens eine reelle Nullstelle, jedoch höchstens drei.

Lösungsansätze

Raten einer Lösung

Kennt man eine Lösung x_1 exakt, so kann man das kubische Polynom mit Hilfe der Polynomdivision oder des Horner-Schemas durch (x - x_1) dividieren und erhält so eine quadratische Gleichung. Diese kann man mit Hilfe einer Lösungsformel lösen und erhält so die restlichen Lösungen der kubischen Gleichung. Dieses Verfahren ist aber nur für eine rationale Lösung x_1 praktikabel. Bereits bei der irreduziblen Gleichung x^3-6x-6=0 ist das Verfahren mit der noch relativ einfachen Lösung $x=\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$ nicht mehr praktikabel, da die Koeffizienten der verbleibenden quadratischen Gleichung sehr kompliziert werden. In diesen Fällen lassen sich die Lösungen mit der unten genannten Cardanischen Formel leichter bestimmen.

Sind alle Koeffizienten der kubischen Gleichung ganzzahlig, so kann man versuchen, eine rationale Lösung zu raten, das heißt, durch Probieren zu finden. Ist der führende Koeffizient A vom Betrag gleich 1, so kann man die ganzzahligen Teiler des letzten Koeffizienten D durchprobieren (auch negative Werte!). Ist A von eins verschieden, so müssen alle Brüche, deren Zähler ein Teiler von D und deren Nenner ein Teiler von A ist, durchprobiert werden. Der Satz über rationale Nullstellen garantiert, dass man mit diesem endlichen Aufwand eine rationale Nullstelle findet, falls eine solche existiert. Sind die Koeffizienten rational, so kann man ganzzahlige Koeffizienten erreichen, indem man die Gleichung mit dem Hauptnenner aller Koeffizienten multipliziert.

Beispiel

Als rationale Lösungen der kubischen Gleichung

kommen nur die ganzzahligen Teiler $\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$ des letzten Koeffizienten sowie $\pm \tfrac{1}{3}, \pm \tfrac{2}{3}, \pm \tfrac{5}{3}, \pm \tfrac{10}{3}$ in Frage. In der Tat ist $x_1 = \tfrac{2}{3}$ eine Lösung, wovon man sich durch Einsetzen überzeugt. Polynomdivision liefert

$(3x^3 - 8 x^2 - 11x + 10) : \left(x - \tfrac{2}{3}\right) = 3x^2 - 6x - 15$

und mit der quadratischen Lösungsformel ergeben sich als weitere Lösungen $x_{2,3} = 1 \pm \sqrt{6}$ .

Reduktion der Gleichung auf eine Normalform

Es gibt eine Reihe äquivalenter Umformungen der kubischen Gleichung durch Lineartransformation des Arguments, die es erlauben, diese für das nachfolgende Lösungsverfahren zu vereinfachen (Tschirnhaus-Transformation). Durch Division durch $A \ne 0$ kann das Polynom zunächst normiert werden.

$x^3 + a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0 \quad \text{mit} \quad a=\frac{B}{A},\; b=\frac{C}{A} \;\text{und}\; c=\frac{D}{A}$

Durch Lineartransformation des Arguments mit Hilfe der Substitution $x = \alpha \cdot z + \beta$ ergibt sich folgender Term:

$z^3 + \frac{3\beta+a}{\alpha} \cdot z^2 + \frac{3\beta^2+2a\beta+b}{\alpha^2} \cdot z + \frac{\beta^3+a\beta^2+b\beta +c}{\alpha^3}=0$

Durch die Wahl von $\beta=-\tfrac{a}{3}$ lässt sich das quadratische Glied beseitigen und man erhält die reduzierte Form der kubischen Gleichung:

$z^3 +\frac{p}{\alpha^2} \cdot z + \frac{q}{\alpha^3}=0 \quad \text{mit} \quad p= b - \frac{a^2}{3} \quad \text{und} \quad q=\frac{2 a^3}{27} - \frac{ab}{3} + c$

Die reduzierte Form mit $\alpha=1$ kann nun mit Hilfe der Cardanischen Formeln aufgelöst und durch anschließende Rücksubstitution können die Lösungen der ursprünglichen Gleichung bestimmt werden. Hierdurch ist die Gesamtheit der reellen und komplexen Lösungen zugänglich.

Analytische Bestimmung der reellen Lösungen der reellen Gleichung

Im Fall, dass das ursprüngliche Polynom nur reelle Koeffizienten hat, kann mithilfe der Diskriminante $\Delta$ überprüft werden, ob ausschließlich reelle Lösungen vorliegen:

$\Delta:=\left(\frac{q}2\right)^2 + \left(\frac{p}3\right)^3$

Ist $\Delta \le 0$ , so sind alle Lösungen reell. Andernfalls gibt es genau eine reelle Lösung, die andern beiden sind komplex nicht-reell und konjugiert zueinander.

Der Fall p = 0

Fall 1: p=0

Hier wählt man $\alpha=\tfrac{1}{3} \sqrt[3]{a^3-27c}$ und erhält z^3=1

. Nach Rücksubstitution ergibt sich eine einzige reelle Lösung zu $x=\tfrac{1}{3}(\sqrt[3]{a^3-27c}-a)$ .

Unterfall 1a: p=0 und q=0

Die einzige reelle Lösung z=0

und $x=-\tfrac a 3$ hat die Vielfachheit 3.

Die Fälle mit p ≠ 0

Eine Lösungsstrategie für die verbleibenden Lösungen, die ohne die Verwendung komplexer Zahlen auskommt, ist die folgende:
Die reduzierte Form wird durch Substitution mit Hilfe einer geeigneten trigonometrischen oder hyperbolischen Funktion so umgeformt, dass sie auf bekannte Additionstheoreme zurückgeführt werden kann.

Geeignete Funktionen sind:

Funktion	Wertebereich	Additionstheorem	$\sigma$	kubische Gleichung	Fall
$\cos$	$\|f(\eta)\| \leq 1$	$\cos(3\eta) = 4 \cos^3(\eta) -3 \cos(\eta)$		$f(\eta)^3+\tfrac34 \sigma f(\eta) = \tfrac14 f(3\eta)$	2
$\cosh$	$f(\eta)\geq 1$	$\cosh(3\eta) = 4 \cosh^3(\eta)-3 \cosh(\eta)$		$f(\eta)^3+\tfrac34 \sigma f(\eta) = \tfrac14 f(3\eta)$	3
$-\cosh$	$f(\eta)\leq -1$	$\scriptstyle (-\cosh)(3\eta) \; = \; 4 (-\cosh)^3(\eta)-3 (-\cosh)(\eta)$		$f(\eta)^3+\tfrac34 \sigma f(\eta) = \tfrac14 f(3\eta)$	3
$\sinh$	beliebig reell	$\sinh(3\eta) = 4 \sinh^3(\eta) \, +3 \sinh(\eta)$		$f(\eta)^3+\tfrac34 \sigma f(\eta) = \tfrac14 f(3\eta)$	4

Die aufgeführten Additionstheoreme sind so parametrisiert, dass sie sich in dieselbe kubische Gleichung überführen lassen, die sich mit der reduzierten Form der gegebenen Gleichung

$f(\eta)^3+\tfrac{p}{\alpha^2} \cdot f(\eta) + \tfrac{q}{\alpha^3}=0$

zur Deckung bringen lässt. Mithilfe der Setzung $\sigma := \sgn(p)$ erhält man durch Koeffizientenvergleich sofort

$\tfrac{3}{4}\sigma=\tfrac{p}{\alpha^2} \; \Longleftrightarrow \; \alpha=2 \sqrt{\tfrac{|p|}{3}}$ und $-\tfrac{1}{4}f(3\eta)=\tfrac{q}{\alpha^3}=q \tfrac{3\sigma}{4p} \tfrac12\sqrt{\tfrac{3}{|p|}} = \tfrac{q}8\sqrt{\tfrac{27}{|p^3|}}.$

Somit lässt sich $\eta$ durch die ursprünglichen Koeffizienten und ausdrücken:

$f(3\eta)=\Gamma \; \Longleftrightarrow \; \eta=\tfrac13 f^{\langle-1\rangle}\left(\Gamma\right),$

wobei $\Gamma := -\tfrac{q}2\sqrt{\tfrac{27}{|p^3|}} = -\sgn(q) \sqrt{\left|\tfrac{27\Delta}{p^3}-1\right|}$ gesetzt ist und $f^{\langle-1\rangle}$ eine zugehörige Arkus- oder Areafunktion bezeichnet. Durch Rücksubstitution kann dann die endgültige Lösung der kubischen Gleichung ermittelt werden. Aus $\alpha=2 \sqrt{\tfrac{|p|}{3}}=\tfrac 2 3 \sqrt{|a^2-3b|},$ $\beta=-\tfrac{a}{3}$ und $z=f(\eta)$ erhält man somit

$x=\alpha z + \beta=\tfrac13 \left(2 \sqrt{|a^2-3b|} \cdot f(\eta) - a \right).$

Als erstes bestimmt das Vorzeichen von die Wahl der Substitutionsfunktion , in zweiter Linie $\Gamma$ , das im reellen Wertebereich von liegen muss.

Fall 2: $\Delta \leq 0$ (woraus p < 0 und $\left|\Gamma\right| \leq 1$ folgt):

Substitution mit $z:=\cos{\eta}$ , entspricht $\cos{3\eta}=\Gamma.$

Es ergeben sich drei mögliche Lösungen zu

$x_k=\tfrac13 \left(2 \sqrt{a^2-3b} \cdot \cos{\eta_k} - a \right)$ mit $\eta_k=\tfrac13 \left(\arccos{\left(\Gamma\right)} + 2 k \pi\right)$ und $k \in \{0; 1; 2\}$

Unterfall 2a: $\Delta=0$ (woraus $\left|\Gamma\right| = 1$ folgt):

Es gibt nur zwei Lösungen. Die reduzierte Form vereinfacht sich zu $0=z^3-\tfrac{3}{4}z \mp\tfrac{1}{4}=(z\mp 1)(z\pm\tfrac 1 2)^2$ . Aus den Linearfaktoren lassen sich nun direkt die zwei Lösungen $z_1=\pm1$ und $z_2=\mp\tfrac 1 2$ ablesen. Zum selben Ergebnis führt $3\eta=\pm\operatorname{arccos}(\pm 1)\in\{0,\pi\}$ , also $\eta\in\{0,\pm\tfrac{2\pi}3\}$ bzw. $\eta\in\{\pi,\pm\tfrac{\pi}3\}$ . Entsprechend ist $x_1=\tfrac13 (2\sqrt{a^2-3b}-a)$ und $x_2=-\tfrac13 (\sqrt{a^2-3b}+a)$ . Die letztere Lösung hat die Vielfachheit 2.

Fall 3: $\Delta > 0$ und p < 0 (woraus $|\Gamma| > 1$ und $q \ne 0$ folgt):

Substitution mit $z:=\left(-\sgn(q) \cosh\right)(\eta)$ , entspricht $\left(-\sgn(q) \cosh\right)(3\eta)=\Gamma = -\tfrac{q}2\sqrt{\tfrac{27}{|p^3|}}$ , also $\cosh(3\eta)=|\Gamma|.$

Zunächst hat man zwei Lösungen $3\eta=\pm\operatorname{arcosh}\left(|\Gamma|\right)$ , die wegen $\cosh (\pm \eta) = \cosh \eta$ wieder in eins geworfen werden. Also: $x=-\tfrac13 \left(2 \sqrt{a^2-3b} \cdot \sgn(q) \cosh{\eta} + a \right)$ mit $\eta=\tfrac13 \operatorname{arcosh}\left(\left|\Gamma\right|\right).$

Grenzfall 3a: $\Delta = 0$ und p < 0 (woraus $\Gamma = \pm 1$ folgt):

$3\eta=\pm\operatorname{arcosh}\left(1\right) = 0$ , also $\eta=0$ und $x_1=\tfrac13 (2\sqrt{a^2-3b}-a)$ .
Bemerkung:
Die zwei anderen (rein-imaginären) Lösungen $3\eta = \pm 2\pi\mathrm i$ von $\cosh(3\eta) = 1$ werden durch die Anwendung von $\cosh$ wieder ins Reelle zurück geworfen: $\cosh(\eta)=\cosh(\pm\tfrac{2\pi\mathrm i}3)=-\tfrac12$ . Das Ergebnis ist wie im Unterfall 2a: $z_1=-\sgn(q)\cosh(0)=-\sgn(q)$ und $z_2=-\sgn(q)\cosh(\pm\tfrac{2\pi\mathrm i}3)=\tfrac{\sgn(q)}2.$

Fall 4: $\Delta > 0$ und p > 0 :

Substitution mit $z:=\sinh{\eta}$ , entspricht $\sinh{3\eta}=\Gamma.$

Als Ergebnis folgt:

$x=\tfrac13 \left(2 \sqrt{3b-a^2} \cdot \sinh{\eta} - a \right)$ mit $\eta=\tfrac13 \operatorname{arsinh}{\left(\Gamma\right)}$

Es ergibt sich eine reelle Lösung.

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in Wikipedia.de