Zweistellige Verknüpfung

Eine zweistellige Verknüpfung, auch binäre Verknüpfung genannt, ist in der Mathematik eine Verknüpfung, die genau zwei Operanden besitzt. Zweistellige Verknüpfungen treten insbesondere in der Algebra sehr häufig auf und man spricht dort abkürzend auch von Verknüpfung ohne den Zusatz zweistellig. Es gibt aber auch Verknüpfungen mit anderer Stelligkeit, die zum Beispiel drei oder mehr Operanden miteinander verknüpfen.

Definition

Eine zweistellige Verknüpfung ist eine Abbildung f\colon A \times B \to C vom kartesischen Produkt zweier Mengen A und B nach einer dritten Menge C. Eine solche Verknüpfung f ordnet jedem geordneten Paar (a,b) von Elementen a \in A und b \in B als den zwei Operanden mit f(a,b)=c ein Element c \in C zu als das Resultat oder Ergebnis der Verknüpfung. Wenn die Mengen A, B und C gleich sind, wird die Verknüpfung auch innere Verknüpfung genannt; andernfalls spricht man von einer äußeren Verknüpfung.

Schreibweisen

Zweistellige Verknüpfungen f schreibt man oft in Infixnotation a\,f\,b anstelle der gewöhnlichen Präfixnotation f(a,b). Zum Beispiel schreibt man eine Addition als a+b anstelle von {+}(a,b). Eine Multiplikation \cdot wird oft ganz ohne Symbol geschrieben, also a b = a \cdot b = \cdot(a, b). Die bekannteste Postfixnotation ist die umgekehrte polnische Notation, die ohne Klammern auskommt. Die gewählte Schreibweise, ob Präfix, Infix, oder Postfix, richtet sich im Wesentlichen nach der Nützlichkeit im gegebenen Kontext und den jeweiligen Traditionen.

Beispiele

Innere zweistellige Verknüpfung

Eine innere zweistellige Verknüpfung oder zweistellige Operation auf einer Menge A ist eine zweistellige Verknüpfung f \colon A \times A \to A, die also jedem geordneten Paar aus A ein Element von A zuordnet. Dies entspricht der obigen allgemeinen Definition im Spezialfall A=B=C. Das zusätzliche Attribut innere drückt aus, dass alle Operanden aus der Menge A sind und die Verknüpfung nicht aus A hinausführt. Man sagt dazu auch, A ist abgeschlossen bezüglich f.

Innere zweistellige Verknüpfungen sind ein wichtiger Bestandteil von algebraischen Strukturen, die in der abstrakten Algebra untersucht werden. Sie treten auf bei Halbgruppen, Monoiden, Gruppen, Ringen und anderen mathematischen Strukturen.

Ganz allgemein nennt man eine Menge A mit einer beliebigen inneren Verknüpfung * \colon A \times A \to A auch Magma. Oft haben solche Verknüpfungen noch weitere Eigenschaften, zum Beispiel sind sie assoziativ oder kommutativ. Viele haben auch ein neutrales Element und invertierbare Elemente.

Beispiele

Äußere zweistellige Verknüpfungen erster Art

Eine äußere zweistellige Verknüpfungen erster Art ist eine zweistellige Verknüpfung f\colon\, A \times B \to A, die man Rechtsoperation von B auf A nennt, bzw. f\colon\, B \times A \to A, die man Linksoperation von B auf A nennt. Sie unterscheiden sich von inneren zweistelligen Verknüpfungen dadurch, dass die als Operatorenbereich bezeichnete Menge B, deren Elemente Operatoren genannt werden, nicht notwendig eine Teilmenge von A ist, also von außerhalb kommen kann. Man sagt dann B operiert von rechts bzw. von links auf A, und die Elemente von B heißen Rechts- bzw. Linksoperatoren.

Durch jeden Operator \beta \in B ist genau eine Abbildung \vartheta_{f \beta}\colon A \to A,\, a \mapsto \vartheta_{f \beta}(a) := a \,f\, \beta, bzw. \vartheta_{\beta f}\colon A \to A,\, a \mapsto \vartheta_{\beta f}(a) := \beta \,f\, a, definiert, die auch die Transformation zu \beta genannt wird. Bei einer Multiplikation f schreibt man statt a \,f\, \beta bzw. \beta \,f\, a auch kurz a \beta bzw. \beta a und es wird in der Regel zwischen dem Operator \beta und der zugehörigen Transformation \vartheta_\beta\colon a \mapsto a \beta oder \vartheta_\beta\colon a \mapsto \beta a nicht mehr unterschieden. Man schreibt dann in der sogenannten Operatorenschreibweise: \beta\colon A \to A,\, a \mapsto a \beta, bzw. \beta\colon A \to A,\, a \mapsto \beta a.

Beispiele

Bemerkung

Der Begriff Operation bzw. Operator wird, z.B. in der Funktionalanalysis, auch für allgemeine zweistellige Verknüpfungen f\colon\, A \times B \to C bzw. f\colon\, B \times A \to C gebraucht. Hierbei sind A, C Mengen mit gleicher (meist algebraischer) Struktur, und oft soll die Transformation \vartheta_{f \beta}\colon A \to C bzw. \vartheta_{\beta f}\colon A \to C mit der Struktur auf A und C verträglich sein.

Äußere zweistellige Verknüpfungen zweiter Art

Eine äußere zweistellige Verknüpfung zweiter Art ist eine Abbildung f\colon A \times A \to C, das heißt f ist eine zweistellige Verknüpfung auf einer Menge A, aber A muss bezüglich f nicht abgeschlossen sein, es darf also auch C \nsubseteq A gelten.

Beispiele

Siehe auch

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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 15.10. 2018