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Verträglichkeit (Mathematik)

In der Mathematik ist eine Abbildung zwischen zwei Mengen, die nicht verschieden sein müssen und die Strukturen der gleichen Art besitzen, dann mit deren Strukturen verträglich, ein Homomorphismus oder ein (konkreter) Morphismus dieser Strukturart, wenn sie die Elemente aus der einen Menge so in die andere Menge abbildet, dass sich ihre Bilder dort hinsichtlich der Relationen sowie Abbildungen der Struktur ebenso verhalten, wie sich deren Urbilder in der Ausgangsstruktur verhalten.

Ein wichtiger Sonderfall hierfür sind die Distributivgesetze als Charakterisierung von zweistelligen Verknüpfungen, die linksverträglich bzw. rechtsverträglich mit anderen Verknüpfungen sind.

Definition

Gegeben seien zwei nichtleere Mengen A und B sowie beliebige nichtleere Indexmengen I,J,K und J_i für jedes i \in I, die im Folgenden immer auch unendlich sein können.

Weiterhin seien {\displaystyle R\subseteq A^{J}} und {\displaystyle S\subseteq B^{J}} zwei Relationen [1] mit gleichen Eigenschaften sowie {\displaystyle (F_{i})_{i\in I}} und {\displaystyle (G_{i})_{i\in I}} zwei Familien von Relationen {\displaystyle F_{i}\subseteq A^{J_{i}}} und {\displaystyle G_{i}\subseteq B^{J_{i}},} die für jeden Index i\in I jeweils gleiche Eigenschaften haben, sodass {\displaystyle (A,(F_{i})_{i\in I})} und {\displaystyle (B,(G_{i})_{i\in I})} zwei Strukturen der gleichen Art sind.

Eine Relation {\displaystyle \varrho \in A\times B} heißt dann verträglich mit den Relationen R und S, wenn für alle {\displaystyle (a_{j},b_{j})\in \varrho ,\;j\in J,} gilt:

{\displaystyle (a_{j})_{j\in J}\in R\implies (b_{j})_{j\in J}\in S.}

Demnach ist insbesondere eine Abbildung \varphi \colon \,A\to B,\,a\mapsto \varphi (a), verträglich mit den Relationen R und S, wenn gilt:

{\displaystyle \alpha \in R\implies \varphi \circ \alpha \in S.}

\varphi ist verträglich mit den Strukturen {\displaystyle (A,(F_{i})_{i\in I})} und {\displaystyle (B,(G_{i})_{i\in I}),} [2] wenn für jeden Index i\in I die Abbildung \varphi verträglich ist mit F_{i} und {\displaystyle G_{i}.} Man nennt dann \varphi auch einen Homomorphismus oder kurz Morphismus dieser Strukturart.

Nun sei \chi \colon \,A^{K}\to A eine innere Verknüpfung auf A (K darf auch unendlich sein) und {\displaystyle R\subseteq A^{J},} sodass auf A^{K} komponentenweise die Relation {\displaystyle S:={\bigl \{}\alpha {\bigr |}\,{\hat {\alpha }}(k)\in R\,{\text{ für alle }}\,k\in K\,{\bigl \}}\subseteq {\bigl (}A^{K}{\bigr )}{\bigr .}^{J}} auf A gegeben ist. \chi heißt dann verträglich mit R, wenn \chi verträglich ist mit S und R.

Hierbei (und auch im Folgenden, für beliebige {\displaystyle A,K,J,\alpha }) sei für {\displaystyle \alpha \in {\bigl (}A^{K}{\bigr )}^{J}} das {\displaystyle {\hat {\alpha }}\in {\bigl (}A^{J}{\bigr )}^{K}} definiert per {\displaystyle {\hat {\alpha }}(k)(j):=\alpha (j)(k)}.

Eigenschaften

{\displaystyle \varphi \left(f_{A}(\alpha )\right)=f_{B}\left(\varphi \circ \alpha \right)}   für alle {\displaystyle \alpha \in A^{I}.}
\varphi (f_{A}())=f_{B}().
{\displaystyle \chi \left(f_{A}\circ {\hat {\alpha }}\right)=f_{A}\left(\chi \circ \alpha \right)}   für alle {\displaystyle \alpha \in {\bigl (}A^{K}{\bigr )}^{I}.}

Distributivität

Sei nun zusätzlich eine nichtleere Menge C gegeben. Man nennt dann eine zweistellige Verknüpfung \star \colon \,C\times A\to B,\,(c,a)\mapsto c\star a, linksverträglich mit R_{A} und R_{B}, wenn für jedes c \in C die Linkstransformation

\tau _{{c\star }}\colon \,A\to B,\,a\mapsto \tau _{{c\star }}(a):=c\star a,

nach obiger Definition mit R_{A} und R_{B} verträglich ist. Ebenso nennt man eine zweistellige Verknüpfung *\colon \,A\times C\to B,\,(a,c)\mapsto a*c, rechtsverträglich mit R_{A} und R_{B}, wenn für jedes c \in C die Rechtstransformation

\tau _{{*c}}\colon \,A\to B,\,a\mapsto \tau _{{*c}}(a):=a*c,

mit R_{A} und R_{B} verträglich ist.

Falls \star linksverträglich ist sowie * rechtsverträglich ist mit Abbildungen f_{A}\colon \,A^{I}\to A und f_{B}\colon \,B^{I}\to B, dann sagt man auch, dass \star linksdistributiv ist bzw. * rechtsdistributiv ist über f_A und f_{B}\colon

c\star f_{A}(a_{i})_{{i\in I}}=f_{B}(c\star a_{i})_{{i\in I}}   bzw.   f_{A}(a_{i})_{{i\in I}}*c=f_{B}(a_{i}*c)_{{i\in I}}   für alle c \in C und für alle (a_{i})_{{i\in I}}\in A^{I}.

Eine innere zweistellige Verknüpfung \cdot \colon \,A\times A\to A auf A heißt distributiv über f_{A}, wenn \cdot links- und rechtsdistributiv über f_A ist.

Beispiele

a_{1}\leq a_{2}\implies \varphi (a_{1})\sqsubseteq \varphi (a_{2})   für alle a_{1},a_{2}\in A.
Mit der gemeinsamen topologischen Struktur zweier topologischer Räume (X,{\mathcal  O}) und (Y,{\mathcal  P}) ist daher eine Abbildung \varphi \colon \,X\to Y genau dann verträglich oder stetig, falls sie für jeden Punkt x\in X mit allen gegen x konvergenten Netzen verträglich ist:
(x_{i})_{{i\in I}}\longrightarrow _{X}x\implies \left(\varphi (x_{i})\right)_{{i\in I}}\longrightarrow _{Y}\varphi (x)   für alle Netze (x_{i})_{i\in I} mit x_i \in X für alle i\in I.

Anmerkungen

  1. Die Menge {\displaystyle A^{J}} aller Familien in A mit Indexmenge J wird, falls J endlich ist und genau n Elemente enthält, ebenso mit A^{n}=\{(a_{0},\ldots ,a_{{n-1}})\mid a_{0},\ldots ,a_{{n-1}}\in A\} oder für \underline n:=\{1,\ldots ,n\} mit A^{{\underline n}} identifiziert, wobei man zwischen A^{n} und A^{{\underline n}} in der Regel nicht unterscheidet.
  2. Eine Struktur ((A_{k})_{{k\in K}},(R_{i})_{{i\in I}}) mit einem Tupel bzw. einer Familie von mehreren Trägermengen A_{k} und mit Relationen R_{i} in (auch verschiedenen) kartesischen Produkten dieser Trägermengen lässt sich als eine Struktur mit der Trägermenge A:=\bigcup (A_{k})_{{k\in K}} auffassen, da stets jede Relation R_{i} auch Teilmenge eines kartesischen Produkts von A ist.
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 12.06. 2020