Abgeschlossene Hülle

In der Topologie und der Analysis ist die abgeschlossene Hülle (auch Abschließung oder Abschluss) einer Teilmenge eines topologischen oder metrischen Raums die kleinste abgeschlossene Obermenge von .

Definition

Ist ein topologischer Raum, so ist die abgeschlossene Hülle oder der Abschluss ${\overline {U}}$ einer Teilmenge $U\subseteq X$ der Durchschnitt aller abgeschlossenen Teilmengen von , die beinhalten. Die Menge ${\overline {U}}$ ist selbst abgeschlossen, also ist sie die kleinste abgeschlossene Obermenge von .

Ein Punkt $b\in X$ heißt Berührpunkt oder Adhärenzpunkt von , wenn in jeder Umgebung von mindestens ein Element von enthalten ist. ${\overline {U}}$ besteht genau aus den Berührpunkten von .

Der Abschluss als Menge von Grenzwerten

Erfüllt das erste Abzählbarkeitsaxiom (dies gilt beispielsweise dann, wenn ein metrischer Raum ist), so ist ${\overline {U}}$ die Menge aller Grenzwerte von konvergenten Folgen, deren Glieder in liegen.

Ist ein beliebiger topologischer Raum, so ist der Abschluss einer Teilmenge $U\subseteq X$ die Menge der Grenzwerte konvergenter Netze, deren Glieder in liegen.

Abschluss von Kugeln in metrischen Räumen

Es sei ein metrischer Raum mit Metrik . Man beachte, dass im Allgemeinen die abgeschlossene Hülle $\overline {B(x,r)}$ einer offenen Kugel

$B(x,r)=\{y\in X\mid d(x,y)<r\}$

mit Radius und Mittelpunkt $x\in X$ nicht dasselbe ist wie die abgeschlossene Kugel

$\overline {B}(x,r)=\{y\in X\mid d(x,y)\leq r\}.$

Da die abgeschlossene Kugel eine abgeschlossene Menge ist, die die offene Kugel enthält, enthält sie auch ihren Abschluss:

$\overline {B(x,r)}\subseteq \overline {B}(x,r)$

Um ein Beispiel zu geben, in dem diese Inklusion echt ist, sei X eine Menge (mit mindestens zwei Elementen), auf der eine Metrik durch

$d(x,y)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mathrm {f{\ddot u}r}}\ x\not =y\\0&{\mathrm {f{\ddot u}r}}\ x=y\end{matrix}}\right.$

definiert ist. Dann gilt für jedes $x\in X$ :

$\{x\}=B(x,1)=\overline {B(x,1)}\subsetneq \overline {B}(x,1)=X.$

Darüber hinaus gibt es auch metrische Räume, in denen für einen Punkt x und einen Radius r beide Inklusionen gleichzeitig echt sind:

$B(x,r)\subsetneq {\overline {B(x,r)}}\subsetneq {\overline {B}}(x,r).$

Ein Beispiel ist die Menge $X=\{(a,0)|a\in {\mathbb {R}},-1\leq a\leq 1\}\cup \{(0,1)\}$ mit der vom euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{2}$ induzierten Metrik. Hier erfüllt x=(0,0),r=1 die angegebene Inklusionsbedingung:

$B(0,1)=\{(a,0)\mid a\in \mathbb {R} ,-1<a<1\}\subsetneq$

${\overline {B(0,1)}}=\{(a,0)\mid a\in \mathbb {R} ,-1\leq a\leq 1\}\subsetneq$

${\overline {B}}(0,1)=\{(a,0)\mid a\in \mathbb {R} ,-1\leq a\leq 1\}\cup \{(0,1)\}=X$

Literatur

Gabriele Castellini: Categorical Closure Operators. Birkhäuser, Boston MA u. a. 2003, ISBN 0-8176-4250-1.

Basierend auf einem Artikel in:

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