Abzählbarkeitsaxiom

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie gibt es zwei Endlichkeitsbedingungen an die betrachteten Räume, die als erstes bzw. zweites Abzählbarkeitsaxiom bezeichnet werden. Räume, die ein Abzählbarkeitsaxiom erfüllen, können aus topologischer Sicht als „klein“ gelten.

Eingeführt wurden diese beiden Abzählbarkeitseigenschaften von Felix Hausdorff in seiner Monografie Grundzüge der Mengenlehre aus dem Jahr 1914.

Erstes Abzählbarkeitsaxiom

Das erste Abzählbarkeitsaxiom besagt:

Jeder Punkt hat eine höchstens abzählbare Umgebungsbasis.

Das bedeutet: Ist X ein topologischer Raum und x\in X ein Punkt, so gibt es eine höchstens abzählbare Menge \{U_{1},U_{2},\ldots \} von Umgebungen von x, so dass es zu jeder Umgebung V von x einen Index k gibt, so dass U_{k}\subseteq V gilt. Ein Raum, der das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, wird erstabzählbar genannt.

Eigenschaften

Das erste Abzählbarkeitsaxiom ist eine lokale Forderung, d.h., ist \{V_{i}\} eine offene Überdeckung von X, so dass die Räume V_{i} mit der Teilraumtopologie das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllen, dann gilt das erste Abzählbarkeitsaxiom auch für X.

Konvergente Folgen sind in Räumen, die das erste Abzählbarkeitsaxiom nicht erfüllen, sehr viel weniger nützlich. Beispielsweise ist in derartigen Räumen ein Punkt des Abschlusses einer Teilmenge U nicht notwendigerweise Grenzwert einer Folge von Elementen aus U. Um abgeschlossene Mengen durch Grenzwerte zu beschreiben, müssen in solchen Räumen Moore-Smith-Folgen (Netze) oder Filter betrachtet werden.

Zweites Abzählbarkeitsaxiom

Das zweite Abzählbarkeitsaxiom besagt:

Der Raum hat eine höchstens abzählbare Basis der Topologie.

Das bedeutet: Ist X ein topologischer Raum, der das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, so gibt es eine höchstens abzählbare Menge \{U_{1},U_{2},\ldots \} von offenen Teilmengen, die zu jedem Punkt eine Umgebungsbasis enthält, d.h., zu jedem Punkt x\in X und jeder Umgebung V von x gibt es einen Index k, so dass x\in U_{k}\subseteq V gilt. Ein Raum, der das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, wird zweitabzählbar genannt.

Eigenschaften

Beispiele

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 11.10. 2018