Produkttopologie

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie ist die Produkttopologie die „natürlichste“ Topologie, die ein kartesisches Produkt von topologischen Räumen selbst zu einem topologischen Raum macht.

Definition

Für jedes i aus einer (möglicherweise unendlichen) Indexmenge I sei X_{i} ein topologischer Raum. Sei X=\textstyle \prod _{i\in I}X_{i} das kartesische Produkt der Mengen X_{i}. Für jeden Index i\in I bezeichne p_{i}\colon X\to X_{i} die kanonische Projektion. Dann ist die Produkttopologie auf X definiert als die gröbste Topologie (die Topologie mit den wenigsten offenen Mengen), bezüglich der alle Projektionen p_{i} stetig sind. Man nennt X mit dieser Topologie den Produktraum der X_{i}.

Explizite Beschreibung

Man kann die Topologie auf X explizit beschreiben. Die Urbilder offener Mengen der Faktorräume X_{i} unter den kanonischen Projektionen p_{i}\colon X\to X_{i} bilden eine Subbasis der Produkttopologie, d.h. eine Teilmenge Y\subset X ist offen genau dann, wenn sie die Vereinigung von (möglicherweise unendlich vielen) Mengen Y^{(\alpha )} ist, die jeweils als endliche Durchschnitte von Mengen Y_{i,k}^{(\alpha )}:=p_{i}^{-1}(Y_{k}^{(\alpha )}) dargestellt werden können. Dabei liegt i in I und Y_{k}^{(\alpha )} sind offene Teilmengen von X_{i}. Daraus folgt, dass im Allgemeinen nicht alle kartesischen Produkte offener Teilmengen offen sein müssen. Dies gilt nur, wenn I endlich ist.

Universelle Eigenschaft

Der Produktraum X zusammen mit den kanonischen Projektionen p_{i} wird durch die folgende universelle Eigenschaft charakterisiert: Ist Y ein topologischer Raum und für jedes i\in I ist f_i\colon Y \to X_i stetig, dann gibt es genau eine stetige Funktion f\colon Y \to X, so dass p_i\circ f = f_i für alle i\in I gilt. Damit ist das kartesische Produkt mit der Produkttopologie das Produkt in der Kategorie der topologischen Räume.

Beispiele

d((p_1,p_2),(q_1,q_2)):=\sqrt{d_1(p_1,q_1)^2+d_2(p_2,q_2)^2}.

Eigenschaften

Die Produkttopologie heißt auch Topologie der punktweisen Konvergenz aufgrund der folgenden Eigenschaft: Eine Folge in X konvergiert genau dann, wenn alle Projektionen auf die X_{i} konvergieren. Insbesondere ist für den Raum \R^I aller Funktionen von I nach \mathbb {R} die Konvergenz in der Produkttopologie gleichbedeutend mit der punktweisen Konvergenz.

Um zu prüfen, ob eine gegebene Funktion f\colon Y \to X stetig ist, kann man das folgende Kriterium benutzen: f ist stetig genau dann, wenn alle p_i\circ f stetig sind. Die Überprüfung, ob eine Funktion g\colon X \to Z stetig ist, ist meist schwieriger; man versucht dann irgendwie die Stetigkeit der p_{i} auszunutzen.

Ein wichtiger Satz über die Produkttopologie ist der Satz von Tichonow: Jedes Produkt kompakter Räume ist kompakt. Dies ist leicht für endliche Produkte zu zeigen, aber die Aussage ist überraschenderweise auch wahr für unendliche Produkte, zu deren Beweis man dann aber das Auswahlaxiom benötigt.

Wesentliche Teile der Theorie der Produkttopologie wurden von A. N. Tichonow entwickelt.

Sonstiges

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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 08.10. 2018