Dirichlet-Funktion

Graphische Darstellung der Dirichlet-Funktion, zwei parallele, durchgezogene Linien. Die blaue (bzw. rote) Linie stellt die in den reellen Zahlen dicht liegenden rationalen (bzw. irrationalen) Zahlen dar. Der Graph enthält entlang der blauen (bzw. roten) Linie überabzählbar (bzw. abzählbar) viele Löcher ohne Ausdehnung, weshalb sie in der Darstellung nicht sichtbar sind.

Die Dirichlet-Funktion (nach dem deutschen Mathematiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet, manchmal auch als Dirichletsche Sprungfunktion bezeichnet) ist eine mathematische Funktion, die üblicherweise mit bezeichnet wird. Sie ist die charakteristische Funktion der rationalen Zahlen und somit definiert als:

$D(x)={\begin{cases}1,&{\mbox{wenn }}x{\mbox{ rational,}}\\0,&{\mbox{wenn }}x{\mbox{ irrational.}}\end{cases}}$

Eigenschaften

Die Dirichlet-Funktion ist ein Beispiel für

eine an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches unstetige Funktion,
eine Funktion der zweiten Klasse in der Klassifikation von Baire:

$D(x)=\lim _{{m\to \infty }}\lim _{{n\to \infty }}\cos ^{{2n}}(m!\pi x)$ ,

eine Lebesgue-integrierbare Funktion, die aber nicht Riemann-integrierbar ist.

Riemann-Integrierbarkeit

Die Dirichlet-Funktion ist in keinem echten Intervall Riemann-integrierbar, da für jede Zerlegung im Teilintervall $\left[x_{{k-1}},x_{k}\right]$ stets sowohl rationale als auch irrationale Zahlen liegen und somit

die Untersumme $U(Z)=\sum _{{k=1}}^{n}(x_{k}-x_{{k-1}})\cdot \inf _{{x_{{k-1}}<x<x_{k}}}f(x)$

stets 0 ist (weil das Infimum stets 0 ist) und

die Obersumme $O(Z)=\sum _{{k=1}}^{n}(x_{k}-x_{{k-1}})\cdot \sup _{{x_{{k-1}}<x<x_{k}}}f(x)$

stets die Länge des Intervalls, über das integriert wird, ist (weil das Supremum immer 1 ist und somit einfach die Länge der einzelnen Teilintervalle addiert wird).

Riemann-Integrierbarkeit verlangt aber gerade die Gleichheit, also dass gilt:

${\begin{matrix}{\text{Oberintegral}}&=&{\text{kl. Obersumme}}&=&{\text{gr. Untersumme}}&=&{\text{Unterintegral}}\\\overline {\int \limits _{a}^{b}}f(x)\,{\mathrm d}x&=&\inf _{Z}O(Z)&=&\sup _{Z}U(Z)&=&\underline {\int \limits _{a}^{b}}f(x)\,{\mathrm d}x\end{matrix}}$

Da aber für jede beliebige Zerlegung die Unter- und Obersummen nicht gegen den gleichen Wert konvergieren, ist auf keinem Intervall Riemann-integrierbar.

Lebesgue-Integrierbarkeit

Da die Dirichlet-Funktion eine einfache Funktion ist, also eine messbare Funktion, die nur endlich viele Werte annimmt, die noch dazu nicht negativ sind, lässt sich das Lebesgue-Integral über ein beliebiges Intervall wie folgt schreiben:

$\int _{{I}}D{{\mathrm d}}\lambda =0\cdot \lambda (I\cap {\mathbb {R}}\setminus {\mathbb {Q}})+1\cdot \lambda (I\cap {\mathbb {Q}})$ ,

wobei $\lambda$ für das Lebesgue-Maß steht.

Bei jedem beliebigen Wert von $\lambda (I\cap {\mathbb {R}}\setminus {\mathbb {Q}})$ ergibt sich aus der Multiplikation mit 0 das Resultat 0. Das gilt aufgrund einer Konvention in der Maßtheorie auch dann, wenn der andere Faktor unendlich ist. Im Gegensatz dazu ist $\lambda (I\cap {\mathbb {Q}})$ stets 0, da die Punktmenge $\mathbb {Q}$ der rationalen Zahlen abzählbar und somit eine $\lambda$ -Nullmenge ist.

Insgesamt ergibt sich damit für die Dirichlet-Funktion in jedem Intervall:

$\int _{{I}}D{{\mathrm d}}\lambda =0$ .

Dirichlet-Funktion

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Riemann-Integrierbarkeit

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