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Messbare Funktion

Eine messbare Funktion ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilbereich der Mathematik, der sich mit der Verallgemeinerung von Längen- und Volumenbegriffen beschäftigt. Von messbaren Funktionen wird verlangt, dass das Urbild gewisser Mengen wieder in einem bestimmten Mengensystem liegt. Messbare Funktionen spielen eine wichtige Rolle in der Stochastik und der Maßtheorie, da durch sie Zufallsvariablen und Bildmaße konstruiert werden können.

Definition

Gegeben seien zwei Messräume (X_{1},{\mathcal  {A}}_{1}) und (X_{2},{\mathcal  {A}}_{2}), das heißt je eine Grundmenge und eine σ-Algebra auf dieser Menge, sowie eine Funktion

f\colon X_{1}\to X_{2}.

Die Funktion f heißt nun eine messbare Funktion, wenn das Urbild jeder messbaren Menge A_{2}\in {\mathcal  {A}}_{2} unter der Funktion f eine messbare Menge in (X_{1},{\mathcal  {A}}_{1}) ist, also ein Element aus {\mathcal  {A}}_{1} ist. Formalisiert lautet diese Bedingung:

{\displaystyle f^{-1}(A_{2})\in {\mathcal {A}}_{1}}, für alle {\displaystyle A_{2}\in {\mathcal {A}}_{2}}.

Eine solche Funktion wird auch als \mathcal{A}_1-\mathcal{A}_2-messbar bezeichnet. Eine Funktion heißt Borel-messbar (Lebesgue-messbar), wenn sie bezüglich zweier Borelscher σ-Algebren (Lebesguescher σ-Algebren) messbar ist. Teilweise werden auch Mischformen (Lebesgue-Borel-messbar oder Borel-Lebesgue-messbar) verwendet. Zu beachten ist, dass kein Maß definiert sein muss, um eine messbare Funktion zu definieren.

Elementare Beispiele

f^{{-1}}(A)={\begin{cases}X_{1}&{\text{ falls }}c\in A\\\emptyset &{\text{ falls }}c\notin A\end{cases}}
Da die Grundmenge und die leere Menge in jeder beliebigen σ-Algebra enthalten sind, sind sie insbesondere in {\mathcal  {A}}_{1} enthalten und die Funktion ist messbar.

Einordnung

Urbild einer messbaren Menge

Der Begriff der Messbarkeit wird durch die Definition der Integration von Henri Lebesgue motiviert: Für die Lebesgue-Integration einer Funktion f\colon {\mathbb  R}\rightarrow {\mathbb  R} bezüglich des Lebesgue-Maßes muss Mengen der Form f^{{-1}}([a,b]) ein Maß zugeordnet sein. Beispiele für Funktionen, für die dies nicht möglich ist, sind Indikatorfunktionen von Vitali-Mengen. Die Definition der Lebesgue-Integration für beliebige Maßräume führt dann zu obiger Definition der messbaren Funktion.

Der Begriff der messbaren Funktion hat Parallelen zur Definition der stetigen Funktion. Eine Funktion zwischen topologischen Räumen X_{1} und X_{2} ist stetig, wenn die Urbilder offener Mengen von X_{2} wiederum offene Mengen von X_{1} sind. Die von den offenen Mengen erzeugte σ-Algebra ist die borelsche σ-Algebra. Eine stetige Funktion ist also messbar bezüglich der Borel-σ-Algebren von X_{1} und X_{2}, kurz borel-messbar. Eine gewisse Umkehrung dieser Aussage ist der Satz von Lusin.

Messbare Funktionen spielen als Zufallsvariablen eine wichtige Rolle in der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Eigenschaften

Messbare Funktionen und Erzeugendensysteme

Oftmals ist eine σ-Algebra viel zu groß, um jede Menge aus ihr direkt angeben zu können oder das Urbild jeder Menge zu überprüfen. Die Überprüfung einer Funktion auf Messbarkeit wird aber dadurch erleichtert, dass man dies nur auf den Urbildern eines Erzeugers machen muss. Ist also {\mathcal  {E}}_{2} ein Erzeuger von {\mathcal  {A}}_{2}, sprich ist \sigma ({\mathcal  {E}}_{2})={\mathcal  A}_{2}, so ist die Funktion f genau dann messbar, wenn

{\displaystyle f^{-1}(E)\in {\mathcal {A}}_{1}}

für alle E\in {\mathcal  {E}}_{2} gilt.

Daraus folgt direkt, dass stetige Funktionen zwischen topologischen Räumen, die mit der Borelsche σ-Algebra versehen sind, immer messbar sind, da Urbilder offener Mengen immer offen sind. Da die Borelsche σ-Algebra aber von den offenen Mengen erzeugt wird und demnach die Urbilder des Erzeugers wieder im Erzeuger liegen, folgt die Messbarkeit.

Initial-σ-Algebra

Zu jeder Abbildung f\colon X_{1}\to X_{2}, wobei X_{2} mit der σ-Algebra {\mathcal  A}_{2} versehen ist, lässt sich eine kleinste σ-Algebra angeben, bezüglich derer die Funktion f messbar ist. Diese σ-Algebra nennt man dann die Initial-σ-Algebra der Funktion und bezeichnet sie mit \sigma (f) oder mit {\mathcal  I}(f). Sie lässt sich auch für beliebige Familien von Funktionen (f_{i})_{{i\in I}} definieren. Sie ist dann die kleinste σ-Algebra, bezüglich derer alle f_{i} messbar sind, und wird dann mit \sigma (f_{i}\colon i\in I) oder {\mathcal  I}(f_{i}\colon i\in I) bezeichnet. Für eine einzelne Funktion f ist aufgrund der Operationsstabilität der Urbildes bereits f^{{-1}}({\mathcal  A}_{2}) die Initial-σ-Algebra.

Verkettungen messbarer Funktionen

Sind (X_{1},{\mathcal  {A}}_{1}), (X_{2},{\mathcal  {A}}_{2}) und (X_{3},{\mathcal  {A}}_{3}) Messräume und ist f \mathcal{A}_1-\mathcal{A}_2-messbar und g \mathcal{A}_2-{\mathcal  {A}}_{3}-messbar, so ist die Funktion h(x)=g(f(x)) \mathcal{A}_1-{\mathcal  {A}}_{3}-messbar. Unter Umständen kann auch aus der Messbarkeit von verknüpften Funktionen auf die Messbarkeit ihrer Teilfunktionen geschlossen werden: Sind f_{i} Funktionen von (X_{2},{\mathcal  A}_{2}) nach (X_{i},{\mathcal  A}_{i}) und ist {\mathcal  A}_{2}={\mathcal  I}(f_{i}) die Initial-σ-Algebra, dann ist eine Funktion f von (X_{1},{\mathcal  A}_{1}) nach (X_{2},{\mathcal  A}_{2}) genau dann messbar, wenn f_{i}\circ f für alle  i \in I A_{1}-A_i -messbar ist.

Faktorisierungslemma

Das Faktorisierungslemma ist ein maßtheoretischer Hilfssatz über die Messbarkeit von Funktionen, der bei einigen weitreichenden stochastischen Konstruktionen und Sätzen der mathematischen Statistik verwendet wird. Das Lemma wird beispielsweise bei der Konstruktion der faktorisierten bedingten Erwartung eingesetzt, die ein Schritt auf dem Weg zur regulären bedingten Verteilung ist. Das Lemma besagt, dass wenn eine Abbildung

{\displaystyle f\colon \Omega _{1}\to \Omega _{2}}

gegeben ist, dann ist die Abbildung

{\displaystyle g\colon \Omega _{1}\to {\overline {\mathbb {R} }}}

genau dann {\displaystyle \sigma (f)-{\mathcal {B}}({\overline {\mathbb {R} }})}-messbar, wenn eine Funktion \varphi existiert, so dass

{\displaystyle \varphi \colon (\Omega _{2},{\mathcal {A}}_{2})\to ({\overline {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\overline {\mathbb {R} }}))}

messbar ist und

{\displaystyle g=\varphi \circ f}

gilt. Dabei ist {\mathcal  A}_{2} eine σ-Algebra auf \Omega _{2} und {\displaystyle \sigma (f)} die von f erzeugte σ-Algebra.

Messbarkeit reellwertiger Funktionen

Überprüfung

Für eine Abbildung f von einem Messraum (X,\mathcal{A}) nach ({\mathbb  {R}},{\mathcal  B}(\mathbb{R} )) gilt, dass f genau dann messbar ist, wenn eines der Mengensysteme

in {\mathcal {A}} liegt. Dabei ist \{f\leq a\} etc. als Abkürzung für \{x\in X|f(x)\leq a\}=f^{{-1}}((-\infty ,a]) zu verstehen. Es würde auch ausreichen, wenn a nur alle rationalen Zahlen durchläuft, denn die angegebenen Intervalle bilden immer ein Erzeugendensystem der Borelschen σ-Algebra.

Messbare Funktionen

Die folgenden Funktionen {\displaystyle g\colon (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} sind beispielsweise messbar:

g(x)=\max(0,x):=x^{+}
g(x)=\min(0,x):=x^{-}
g(x)=|x|
g(x)=\operatorname {sgn}(x)

Ist außerdem eine Funktion {\displaystyle f\colon (X_{1},{\mathcal {A}}_{1})\to (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))} gegeben, so ist sie genau dann messbar, wenn jede ihrer Komponentenfunktionen f_{i} {\mathcal  A}-{\mathcal  B}(\mathbb{R} )-messbar ist.

Sind f,g messbare Funktionen von (X_{1},{\mathcal  A}_{1}) nach (\mathbb{R} ^{n},{\mathcal  B}(\mathbb{R} ^{n})), so ist auch f+g und f-g messbar. Ist h messbar von (X_{1},{\mathcal  A}_{1}) nach (\mathbb{R} ,{\mathcal  B}(\mathbb{R} )), so ist f\cdot h messbar. Vereinbart man die Konvention {\tfrac  {x}{0}}=0, so ist sogar {\tfrac  {f}{h}} messbar.

Ist eine Funktionenfolge (X_{1},{\mathcal  A}_{1})-(\overline {\mathbb{R} },{\mathcal  B}(\overline {\mathbb{R} }))-messbarer Funktionen (f_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} gegeben, so ist auch das Infimum, das Supremum sowie der Limes inferior und der Limes superior dieser Folge wieder messbar.

Approximation

Jede positive messbare Funktion lässt sich durch eine monoton wachsende Funktionenfolge von einfachen Funktionen (also Linearkombinationen von Indikatorfunktionen von messbaren Mengen) approximieren. Eine Funktionenfolge, die das leistet, ist beispielsweise

{\displaystyle f_{n}(x)=\min(2^{-n}\lfloor 2^{n}f(x)\rfloor ;n)}.

Diese Approximationseigenschaft wird bei der Konstruktion des Lebesgue-Integrals genutzt, welches zuerst nur für einfache Funktionen definiert wird und dann auf alle messbaren Funktionen fortgesetzt wird.

Lebesgue- und Borelmessbare Funktionen

Eine (reelle) Lebesgue-Borel-messbare Funktion ist nicht unbedingt Borel-Borel-messbar. Auch ist eine Lebesgue-Borel-messbare Funktion nicht unbedingt Lebesgue-Lebesgue-messbar. Die Verkettung zweier Lebesgue-Borel-messbarer Funktionen ist also nicht zwangsläufig wiederum Lebesgue-Borel-messbar.

Starke Messbarkeit

Ist eine Funktion in einem metrischen Raum punktweiser Limes von Elementarfunktionen, d.h. messbaren Funktionen mit endlichem Bild, so heißt sie „stark messbar“.

Starke Messbarkeit und Messbarkeit unterscheiden sich nur voneinander, wenn der Zielraum nicht-separabel ist. Dies ist beispielsweise bei der Definition von verallgemeinerten Integralen wie dem Bochner-Integral der Fall.

Abgrenzung

Eine Teilmenge eines Messraums heißt messbar, wenn sie Element der σ-Algebra des Messraums ist und ihr somit potentiell ein Maß zugeordnet werden kann. Des Weiteren existiert noch die Messbarkeit nach Carathéodory von Mengen bezüglich eines äußeren Maßes. Hier wird nur ein äußeres Maß benötigt.

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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 14.11. 2020