Topologischer Ring

In der Mathematik ist ein topologischer Ring ein Ring, welcher bezüglich der Addition eine topologische Gruppe ist und dessen Multiplikation in der gegebenen Topologie ebenfalls stetig ist. Ist R sogar ein Körper, und ist auch die multiplikative Inversenbildung stetig, dann spricht man von einem topologischen Körper. Entsprechend kann man einen topologischen Schiefkörper definieren. Im Gegensatz zu den nichtkommutativen topologischen Ringen (wie den Endomorphismenringen s. u.) sind „echte“ topologische Schiefkörper von geringem Interesse. Wo in diesem Artikel nicht ausdrücklich darauf hingewiesen wird, gelten die über Körper gemachten Aussagen auch für Schiefkörper.

Lokale Charakterisierung der Stetigkeit

Die Stetigkeit der Multiplikation bzw. der Inversenbildung kann man in einem Ring R, der bezüglich seiner Addition eine topologische Gruppe ist, allein mit Nullumgebungen charakterisieren. Sei dazu B(0) eine Umgebungsbasis von 0:
Die Linksmultiplikation mit einem festen Element c ist auf R genau dann stetig, wenn

für jede Umgebung U in B(0) eine Umgebung V in B(0) existiert, so dass  c\cdot V\subseteq U gilt.

Entsprechend lässt sich die Stetigkeit der Rechtsmultiplikation mit c charakterisieren. Im Fall eines kommutativen Ringes sind die beiden Bedingungen gleichwertig. Ist die Links- und Rechtsmultiplikation mit jedem Element c stetig und gilt dann noch

für alle U in B(0) existiert V in B(0), so dass  V\cdot V\subseteq U gilt,

dann ist die Multiplikation stetig und R ein topologischer Ring.
Die Inversenbildung ist genau dann stetig im invertierbaren Element x\in R^\times, wenn zu jedem U in B(0) ein V in B(0) existiert, so dass die Inversen von x+V alle in x^{-1}+U liegen. Ist R also ein Körper und trifft dies für alle seine Elemente x\neq 0 zu, dann ist R ein topologischer Körper.

Eigenschaften, Vervollständigung

Beispiele

Topologische Körper

Endomorphismenringe

 ||F||_A:=\sup_{x \in V,\, ||x||_V=1}\; ||Fx||_V

Beachte: Die vollen Endomorphismenringe sind, von Trivialfällen abgesehen, nicht kommutativ und auch keine Schiefkörper. Häufig sind Unterringe von Interesse, die gelegentlich eine dieser Eigenschaften haben:

Funktionenräume

Siehe auch: Funktionenraum
vollständige topologische Ringe in der Funktionalanalysis:
topologische Ringe in der Funktionentheorie:
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 04.07. 2019