Ein Hausdorff-Raum (auch hausdorffscher Raum) (nach Felix Hausdorff) oder
separierter Raum ist ein topologischer
Raum ,
in dem das Trennungsaxiom
(auch Hausdorffeigenschaft oder Hausdorff'sches Trennungsaxiom
genannt) gilt.
Ein topologischer
Raum
hat die Hausdorffeigenschaft, wenn für alle
mit
disjunkte
offene Umgebungen
und
existieren.
Mit anderen Worten: Alle paarweise verschiedenen Punkte
und
aus
werden durch Umgebungen getrennt. Ein topologischer Raum, der die
Hausdorffeigenschaft erfüllt, wird Hausdorff-Raum genannt.
Ein Hausdorff-Raum
lässt sich durch jede der folgenden zur Hausdorffeigenschaft äquivalenten
Eigenschaften charakterisieren:
Insbesondere sind in Hausdorff-Räumen Grenzwerte von Folgen – anders als
in allgemeinen topologischen Räumen – eindeutig. Dabei konvergiere eine Folge
in einem topologischen Raum
gegen einen Punkt
,
wenn zu jeder Umgebung
von
ein
existiert, sodass
für alle
gilt.
Unterräume von Hausdorff-Räumen bilden wiederum Hausdorff-Räume. Ebenso überträgt sich die Hausdorffeigenschaft auf beliebige Produkte von Hausdorff-Räumen.
Nach Definition besitzt jeder Hausdorff-Raum die T1-Trennungseigenschaft und ist damit auch ein T0-Raum.
Ein topologischer Raum ist genau dann ein Hausdorff-Raum, wenn er präregulär (R1) ist:
und die Kolmogoroff-Eigenschaft (T0) besitzt:
Topologisch unterscheidbar heißen zwei Punkte
und
genau dann, wenn es eine offene
Menge gibt, die den einen Punkt enthält, den anderen aber nicht. "Durch
Umgebungen getrennt" werden die Punkte
per Definition dann, wenn es offene Umgebungen
mit
gibt.
Beweis:
Ein Hausdorff-Raum, der zusätzlich noch normal ist, wird als T4-Raum bezeichnet.
So gut wie alle in der Analysis betrachteten Räume sind Hausdorff-Räume. Insbesondere ist jeder metrische Raum ein Hausdorff-Raum.
Im Gegensatz zur Filterkonvergenz ist die Eindeutigkeit von Folgengrenzwerten nur eine notwendige Bedingung für die Hausdorffeigenschaft. Stattet man z.B. eine überabzählbare Menge wie die reellen Zahlen mit der koabzählbaren Topologie aus, so erhält man einen nicht Hausdorffschen Raum, in dem konvergente Folgen genau einen Grenzwert besitzen.
Ein Beispiel für einen Hausdorff-Raum, der kein metrischer Raum ist, ist die Menge der abzählbaren Ordinalzahlen mit der gewöhnlichen Ordnungstopologie.
Wird das Spektrum eines Ringes mit der Zariski-Topologie versehen, erhält man einen nüchternen topologischen Raum, der meist nicht präregulär, geschweige denn hausdorffsch ist.
Viele Beispiele nicht-Hausdorffscher Räume erhält man als Quotientenräume von Mannigfaltigkeiten bzgl. mancher Gruppenwirkungen oder allgemeinerer Äquivalenzrelationen. Zum Beispiel ist der Blattraum der Reeb-Blätterung (also der Quotientenraum bzgl. der Äquivalenzrelation: zwei Punkte sind äquivalent gdw. sie zum selben Blatt gehören) nicht Hausdorffsch.
Lokaleuklidische Räume müssen nicht Hausdorffsch sein. Der aus zwei Kopien
von
durch Identifizierung eines offenen Intervalls entstehende Raum ist lokal
homöomorph zum
,
aber nicht Hausdorffsch.