Trennungsaxiom

In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik betrachtet man oft nicht alle topologischen Räume, sondern stellt bestimmte Bedingungen, die von den interessierenden Räumen erfüllt werden sollen. Einige dieser Bedingungen nennt man Trennungsaxiome oder Trennungseigenschaften. Sie werden nach Andrei Nikolajewitsch Tichonow manchmal auch als Tichonow-Trennungsaxiome (bzw. in älterer Transkription Tychonoff-Trennungsaxiome) bezeichnet.

Die Trennungsaxiome sind Axiome in dem Sinn, dass man bei der Definition eines topologischen Raums einige dieser Bedingungen zusätzlich fordern kann, um einen stärker eingeschränkten Begriff des topologischen Raums zu erhalten. Die moderne Herangehensweise besteht darin, die Axiome des topologischen Raums ein für alle Mal zu fixieren (wie sie im Artikel topologischer Raum gegeben sind) und dann von bestimmten Arten topologischer Räume zu sprechen. Der Name „Trennungsaxiom“ für diese Bedingungen hat sich aber bis heute erhalten. Viele Trennungsaxiome werden mit dem Buchstaben „T“ (für „Trennung“) bezeichnet.

Die genaue Bedeutung der Begriffe, die in den Trennungsaxiomen vorkommen, hat sich im Laufe der Zeit verändert. Beim Lesen älterer Literatur sollte man also darauf achten, die vom Autor verwendete Definition zu kennen.

Zur Formulierung der Trennungsaxiome benötigen wir einige Begriffe, die im Folgenden definiert werden.

Getrennte Mengen und topologisch unterscheidbare Punkte

Die Trennungsaxiome machen Aussagen darüber, wie Punkte und Mengen mit topologischen Mitteln unterschieden werden können. Es reicht oft nicht, dass zwei Punkte eines topologischen Raums verschieden sind; man will sie topologisch unterscheiden können. Ebenso ist es oft nicht ausreichend, dass zwei Mengen disjunkt sind; wir wollen sie (auf verschiedenste Weisen) topologisch trennen können. Alle Trennungsaxiome fordern, dass Punkte oder Mengen, die in einem bestimmten schwachen Sinne unterscheidbar sind, auch in einem stärkeren Sinne unterscheidbar sind.

Sei X ein topologischer Raum. Zwei Teilmengen A und B von X heißen getrennt, wenn jede der beiden disjunkt zur abgeschlossenen Hülle der anderen ist. Getrennte Mengen sind immer disjunkt.

Es gibt noch andere, stärkere Formen der Separiertheit von Mengen: getrennt durch Umgebungen; getrennt durch abgeschlossene Umgebungen; getrennt durch eine Funktion; scharf getrennt durch eine Funktion..

Wenn man die Terminologie von getrennten Mengen auf Punkte x und y anwendet, meint man die einelementigen Mengen {\displaystyle \left\{x\right\},\left\{y\right\}}. Sind A und B offene disjunkte Mengen, dann sind sie durch Umgebungen getrennt: Nimm {\displaystyle U=A} und V=B als Umgebungen. Aus diesem Grund wendet man viele Trennungsaxiome speziell auf abgeschlossene Mengen an.

Zwei Punkte x und y heißen topologisch unterscheidbar, wenn sie nicht genau dieselben Umgebungen haben. Zwei topologisch unterscheidbare Punkte sind notwendig verschieden. Sind x und y getrennt (das heißt \left\{x\right\} und {\displaystyle \left\{y\right\}} sind getrennte Mengen), dann sind sie topologisch unterscheidbar.

Definition der Trennungsaxiome

Viele der Namen haben im Laufe der Zeit ihre Bedeutung verändert, auch haben viele dieser Konzepte mehrere Namen. In dieser Enzyklopädie werden meist noch keine dieser Namen bevorzugt, die Reihenfolge ist also willkürlich (und aus dem englischen Artikel übernommen).

Die meisten der Axiome kann man auf verschiedene Weisen mit derselben Bedeutung definieren, die hier gegebene bezieht sich zuerst auf die Separiertheits-Begriffe des vorigen Abschnitts.

Sei im Folgenden X stets ein topologischer Raum.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 16.11. 2017