In der mathematischen Topologie gibt es verschiedene Begriffe, die die Art und Weise des Zusammenhangs eines topologischen Raumes beschreiben. Im Allgemeinen heißt ein topologischer Raum X zusammenhängend, falls es nicht möglich ist, ihn in zwei disjunkte, nichtleere, offene Teilmengen aufzuteilen. Ein Teilraum eines topologischen Raumes heißt zusammenhängend, wenn er unter der induzierten Topologie zusammenhängend ist.
Eine maximale zusammenhängende Teilmenge eines topologischen Raumes heißt Zusammenhangskomponente.
Für einen topologischen
Raum
sind folgende Aussagen äquivalent:
Eine Teilmenge eines topologischen Raumes nennt man zusammenhängend, wenn sie in der Teilraumtopologie zusammenhängend ist; siehe im Beispiel:
Sei .
In Worten ist
also die disjunkte Vereinigung von zwei Intervallen. Diese Menge ist wie üblich
mit der von
induzierten Topologie (Teilraumtopologie,
Spurtopologie) versehen. Dies bedeutet, dass die in X offenen
Mengen gerade die Mengen von der Form
sind, wobei
eine in
offene Menge ist. Eine Menge ist also genau dann in X offen, wenn sie
sich als Schnitt einer in
offenen Menge mit X schreiben lässt.
Das Intervall
ist in
offen. Also ist der Schnitt von
mit
in X offen. Dies ergibt gerade
.
Also ist die Menge
in X offen, obwohl
natürlich nicht in
offen ist.
Ebenso ist das Intervall
in
offen. Also ist der Schnitt von
mit unserem Raum
in X offen. Dieser Schnitt ist nun gerade die Menge
.
Also ist
eine offene Teilmenge des Raumes
.
Damit kann man den Raum
als disjunkte Vereinigung
von zwei in X offenen Teilmengen schreiben, die
beide nicht leer sind. Also ist
nicht zusammenhängend.
Dies lässt sich alternativ auch folgendermaßen sehen: Das Intervall
ist in
abgeschlossen. Also ist
in X abgeschlossen. Dieser Schnitt ist die Menge
,
also ist
in X abgeschlossen, obwohl
nicht in
abgeschlossen ist.
Da wie oben erläutert
in X auch offen ist, existiert mit
eine Teilmenge von
,
die gleichzeitig sowohl offen als auch abgeschlossen (in X) ist, aber nicht leer
ist und auch nicht ganz
.
Also kann
nicht zusammenhängend sein.
Die folgenden Begriffe beziehen sich immer auf den ganzen Raum, sind also globale Eigenschaften:
Ein Raum ist total unzusammenhängend, falls er keine zusammenhängende
Teilmenge mit mehr als einem Punkt besitzt, wenn also alle
Zusammenhangskomponenten einpunktig sind. Jeder diskrete topologische Raum ist
total unzusammenhängend. In diesem Fall sind die (einpunktigen)
Zusammenhangskomponenten offen. Ein Beispiel für einen nicht diskreten total
unzusammenhängenden Raum ist die Menge der rationalen Zahlen
mit der von
induzierten Topologie.
Ein topologischer Raum
ist wegzusammenhängend (oder pfad-zusammenhängend oder kurvenweise
zusammenhängend), falls es für jedes Paar von Punkten
,
aus
einen Weg
von
nach
gibt, d.h. eine stetige Abbildung
mit
und
.
Wegzusammenhängende Räume sind immer zusammenhängend. Etwas überraschend ist auf den ersten Blick jedoch vielleicht, dass es Räume gibt, die zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend sind. Ein Beispiel ist die Vereinigung des Graphen von
mit einem Abschnitt der -Achse
zwischen −1 und 1, mit der von
induzierten Topologie. Da in jeder Umgebung der Null auch ein Stück des Graphen
liegt, kann man die
-Achse
nicht vom Graphen als eine offene Teilmenge abtrennen; die Menge ist also
zusammenhängend. Andererseits gibt es keinen Weg von einem Punkt auf dem Graphen
zu einem Punkt auf der
-Achse,
also ist diese Vereinigung nicht wegzusammenhängend.
Ein Raum ist einfach zusammenhängend, falls er wegzusammenhängend ist und sich jeder geschlossene Weg auf einen Punkt zusammenziehen lässt, d.h. nullhomotop ist. Die zweite Bedingung ist dazu äquivalent, dass die Fundamentalgruppe trivial ist.
So sind in der nebenstehenden Abbildung sowohl der pinkfarbene Raum C als auch sein weißes Komplement „einfach zusammenhängend“, ersterer allerdings erst dadurch, dass eine Trennlinie die Umrundung des weiß gezeichneten Komplements verhindert. Im unteren Teilbild dagegen sind weder der orangefarbene Raum D noch sein weiß gezeichnetes Komplement „einfach zusammenhängend“ – interpretiert man D als Darstellung der Topologie einer „Kugel mit vier Henkeln“, wären das Komplement die vier „Löcher“ der Henkelkugel.
Im Unterschied zu Teilräumen des ,
die, sobald sie einen oder mehrere nicht zu dem Raum gehörende Punkte („Löcher“)
enthalten, dadurch auch nicht mehr „einfach zusammenhängend“ sind, gilt dies für
Teilräume des
zunächst einmal nicht: Ein Raum mit der Topologie eines (ganzen) Schweizer Käses
etwa bleibt dennoch (und unabhängig von der Zahl der Löcher in seinem Inneren)
„einfach zusammenhängend“, weil jeder geschlossene Weg in einem solchen Raum
sich unter Umgehung der Löcher zu einem Punkt zusammenziehen lässt. Wird der
Raum dagegen von einer Kurve, z.B. einer Geraden, komplett
durchquert, deren Punkte allesamt nicht zu dem Raum gehören, entsteht die
Situation des Volltorus:
Ein sich um die Gerade schließender Weg kann damit nicht mehr auf einen
einzelnen Punkt zusammengezogen werden.
Ist
eine nichtnegative ganze Zahl, so heißt ein topologischer Raum
-zusammenhängend,
falls alle Homotopiegruppen
für
trivial sind. "0-zusammenhängend" ist also ein Synonym für "wegzusammenhängend",
und "1-zusammenhängend" bedeutet dasselbe wie "einfach zusammenhängend" im oben
definierten Sinne.
Ein Raum X ist zusammenziehbar, falls er homotopieäquivalent zu einem
Punkt ist, das heißt die Identität
auf X homotop zu einer konstanten
Abbildung ist. Zusammenziehbare Räume haben daher aus topologischer Sicht
ähnliche Eigenschaften wie ein Punkt, insbesondere sind sie immer einfach
zusammenhängend. Aber die Umkehrung gilt nicht: n-Sphären mit festem Radius
sind nicht zusammenziehbar, obwohl sie für
einfach zusammenhängend sind.
Die folgenden Begriffe sind lokale Eigenschaften, sie machen also Aussagen über das Verhalten in Umgebungen von Punkten:
Ein Raum ist lokal zusammenhängend, falls es zu jeder Umgebung eines Punktes eine zusammenhängende kleinere Umgebung dieses Punktes gibt. Jeder Punkt besitzt dann eine Umgebungsbasis aus zusammenhängenden Mengen.
Ein lokal zusammenhängender Raum kann durchaus aus mehreren
Zusammenhangskomponenten bestehen. Aber auch ein zusammenhängender Raum muss
nicht unbedingt lokal zusammenhängend sein: Der „Kamm“, bestehend aus der
Vereinigung der Intervalle ,
und
,
ist zusammenhängend, doch jede genügend kleine Umgebung des Punktes
enthält unendlich viele nicht zusammenhängende Intervalle.
Ein Raum ist lokal wegzusammenhängend, falls jeder Punkt eine lokale Umgebungsbasis bestehend aus wegzusammenhängenden Mengen besitzt. Ein lokal wegzusammenhängender Raum ist wegzusammenhängend genau dann, wenn er zusammenhängend ist. Das oben gegebene Beispiel mit dem Graphen von sin(1/x) und der y-Achse ist daher nicht lokal wegzusammenhängend. Fügt man auch noch die x-Achse hinzu bekommt man einen zusammenhängenden, wegzusammenhängenden, aber nicht lokal wegzusammenhängenden Raum ("Warschauer Kreis"). Weiterhin ist das „Buch“ wegzusammenhängend, aber nicht lokal wegzusammenhängend für alle Punkte auf der Mittelsenkrechten mit Ausnahme des Schnittpunktes aller Geradenstücke.
Ein Raum ist lokal einfach zusammenhängend, wenn jede Umgebung eines Punktes eine evtl. kleinere, einfach zusammenhängende Umgebung enthält.
Mannigfaltigkeiten sind lokal einfach zusammenhängend.
Ein Beispiel für einen nicht lokal einfach zusammenhängenden Raum sind die Hawaiischen
Ohrringe: Die Vereinigung von Kreisen mit Radien
als Teilmenge des
,
so dass sich alle Kreise in einem Punkt berühren. Dann enthält jede Umgebung um
den Berührpunkt einen geschlossenen Kreis, und ist daher nicht einfach
zusammenhängend.
Ein Raum X ist semilokal einfach zusammenhängend, falls jeder Punkt eine Umgebung U besitzt, so dass sich jede Schleife in U in X zusammenziehen lässt (in U muss sie nicht notwendigerweise zusammenziehbar sein, daher nur semilokal).
Semilokal einfach zusammenhängend ist eine schwächere Bedingung als lokal einfach zusammenhängend: Ein Kegel über den Hawaiischen Ohrringen ist semilokal einfach zusammenhängend, da sich jede Schleife über die Kegelspitze zusammenziehen lässt. Er ist aber (aus dem gleichen Grund wie die Hawaiischen Ohrringe selbst) nicht lokal einfach zusammenhängend.