Linearer Operator

Der Begriff linearer Operator wurde in der Funktionalanalysis (einem Teilgebiet der Mathematik) eingeführt und ist synonym zum Begriff der linearen Abbildung. Eine lineare Abbildung ist eine strukturerhaltende Abbildung zwischen Vektorräumen über einem gemeinsamen Körper. Werden Vektorräume über dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen betrachtet und sind diese mit einer Topologie versehen (lokalkonvexe Räume, normierte Räume, Banachräume), so spricht man vorzugsweise von linearen Operatoren.

Im Gegensatz zu endlichdimensionalen Räumen, wo lineare Operatoren stets beschränkt sind, tauchen bei unendlichdimensionalen Räumen auch unbeschränkte lineare Operatoren auf.

Definition

Linearer Operator

Es seien X und Y reelle oder komplexe Vektorräume. Eine Abbildung T von X nach Y heißt linearer Operator, wenn für alle x, y \in X und \lambda \in \R (bzw. \lambda \in \mathbb C) die folgenden Bedingungen gelten:

  1. T ist homogen: T (\lambda x) = \lambda T(x)
  2. T ist additiv: T (x + y) = T(x) + T(y).

Antilinearer Operator

Seien X und Y komplexe Vektorräume. Ein Operator T von X in Y heißt antilinearer Operator, wenn für alle x,y \in X und \lambda \in \mathbb C die folgenden Bedingungen gelten:

  1. T ist antihomogen: T (\lambda x) = \overline{\lambda}T(x)
  2. T ist additiv: T (x + y) = T(x) + T(y).

Beispiele

Lineare Operatoren

Antilinearer Operator

Bedeutung und Anwendungen

Die Bedeutung linearer Operatoren besteht darin, dass sie die lineare Struktur des unterliegenden Raumes respektieren, d.h. sie sind Homomorphismen zwischen Vektorräumen.

Anwendungen linearer Operatoren sind:

Beschränkte lineare Operatoren

Definitionen

Seien V und W zwei normierte Vektorräume und A\colon V\to W ein linearer Operator. Die Operatornorm von A ist definiert durch:

 \|A\| := \sup_{x \in V, \; x \neq 0} \frac{\|Ax\|_W}{\|x\|_V} = \sup_{\|x\|_V = 1} \|Ax\|_W .

Ist die Operatornorm endlich, so heißt der Operator beschränkt, andernfalls unbeschränkt.

Die Menge aller beschränkten linearen Operatoren vom normierten Raum V in den normierten Raum W nennt man \mathfrak{L}(V,W). Mit der Operatornorm ist dieser selbst ein normierter Vektorraum. (sogar ein Banachraum, falls W vollständig ist) Falls V mit W identisch ist, wird auch abkürzend \mathfrak{L}(V) geschrieben. Die beschränkten linearen Operatoren lassen sich wie folgt charakterisieren:

Ist T ein linearer Operator von V nach W, dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

  1. T ist beschränkt, d.h. in \mathfrak{L}(V,W) enthalten.
  2. T ist stetig in jedem Punkt von V.
  3. T ist stetig in einem Punkt von V.

Beispiele beschränkter linearer Operatoren

Anwendungen

Unbeschränkte lineare Operatoren

Bei der Betrachtung unbeschränkter linearer Operatoren lässt man oft auch Operatoren zu, deren Definitionsbereich (Domäne) lediglich ein Unterraum des betrachteten Raumes ist, spricht man etwa von unbeschränkten linearen Operatoren auf Hilberträumen, so lässt man als Definitionsbereich auch einen Prähilbertraum als Teilraum eines Hilbertraums zu, präziser spricht man dann von dicht definierten unbeschränkten linearen Operatoren (s.u.). Der Operator wird als partielle Abbildung aufgefasst.

Ein Operator heißt dicht definiert, wenn seine Domäne eine dichte Teilmenge des Ausgangsraumes ist. Das Interesse an unbeschränkten Operatoren ist durch die Untersuchung von Differentialoperatoren und deren Eigenwertspektrum und Observablenalgebren begründet.

Eine große Klasse unbeschränkter linearer Operatoren bilden die abgeschlossenen Operatoren. Das sind Operatoren A \colon V \rightarrow W, deren Graph \Gamma (A) := \{ (\phi , A \phi) : \phi \in D  \} in der Produkttopologie von V \times W abgeschlossen ist. Für abgeschlossene Operatoren kann z. B. das Spektrum definiert werden.

Die Theorie der unbeschränkten Operatoren wurde von John von Neumann 1929 begründet. Im Jahr 1932 unabhängig von von Neumann entwickelte Marshall Harvey Stone die Theorie der unbeschränkten Operatoren.

Beispiel

Betrachte den Differentialoperator A f := f'\, auf dem Banachraum C[a, b] der stetigen Funktion auf dem Intervall [a, b]. Wählt man als Definitionsbereich \mathcal{D}(A) die einmal stetig differenzierbaren Funktionen \mathcal{D}(A):=C^{1}[a, b], dann ist A ein abgeschlossener Operator, der nicht beschränkt ist.

Anwendungen

Konvergenzbegriffe/Topologien auf Operatorräumen

Hauptartikel: Operatortopologie

Ist der zugrundeliegende Vektorraum endlichdimensional mit Dimension n, so ist L(V) ein Vektorraum der Dimension n^2. In diesem Fall sind alle Normen äquivalent. d.h. sie liefern den gleichen Konvergenzbegriff und die gleiche Topologie.

Im Unendlichdimensionalen gibt es dagegen verschiedene nicht-äquivalente Topologien. Seien nun E und F Banachräume und (T_i)_{i \in I} eine Folge (oder auch ein Netz) in L(E,F).

Normtopologie

T_i konvergiert in der Normtopologie gegen T genau dann wenn:

\lim_i \|T-T_i\| = 0

Die Normtopologie ist die Topologie, die durch die offenen Kugeln erzeugt wird.

Starke Operatortopologie

T_i konvergiert in der starken Operatortopologie (kurz stop) gegen T genau dann wenn es punktweise konvergiert:

\lim_i T_i x = Tx \quad \forall x \in E

oder anders ausgedrückt:

0=\lim_i \| T_i x - Tx \| = \lim_i \|(T_i-T)x\| \quad \forall x \in E

Die zugehörige Topologie ist die Initialtopologie, die durch die Menge von linearen Abbildungen

\left\lbrace\left. \begin{matrix} L(E,F) & \to & F \\ T & \mapsto & Tx \end{matrix} \,\right|\, x \in E \right\rbrace

erzeugt wird. Dies ist die kleinste Topologie, in der all diese Abbildungen stetig sind. L(E,F) mit der starken Operatortopologie ist also ein lokalkonvexer Raum.

Alternativ ausgedrückt: Die starke Operatortopologie ist die Produkttopologie aller Funktionen von E nach F eingeschränkt auf die (evtl. beschränkten) linearen Operatoren.

Schwache Operatortopologie

T_i konvergiert in der schwachen Operatortopologie gegen T genau dann wenn:

\lim_i \varphi(T_i x) = \varphi(Tx) \quad \forall x \in E, \varphi \in F^*

oder anders ausgedrückt:

\lim_i | \varphi(T_i x - Tx) | = 0 \quad \forall x \in E, \varphi \in F^*

(Hierbei bezeichnet F^* den stetigen Dualraum von F)

Die zugehörige Topologie ist die Initialtopologie, die durch die Menge von linearen Funktionalen

\left\lbrace \left. \begin{matrix} L(E,F) & \to & \mathbb{C} \\ T & \mapsto & \varphi(Tx) \end{matrix} \,\right| x \in E, \varphi \in F^* \right\rbrace

erzeugt wird. Dies ist die kleinste Topologie, in der all diese Funktionale stetig sind. L(E,F) mit der schwachen Operatortopologie ist also ebenfalls ein lokalkonvexer Raum.



Basierend auf einem Artikel in: externer Link Wikipedia.de
 
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 12.12. 2017