Drehimpulsoperator

Drehimpulsoperator ist ein Begriff der Quantenmechanik. Es handelt sich um einen hermiteschen Vektoroperator $\hat{\mathbf{J}}=(\hat{J}_x,\hat{J}_y,\hat{J}_z)$ , dessen Komponenten der folgenden Kommutatorrelation genügen:

$[\hat{J}_a,\hat{J}_b]=i\hbar \varepsilon_{abc}\hat{J}_c$

$\varepsilon_{abc}$ ist dabei der Epsilon-Tensor. Das Quadrat des Drehimpulsoperators ist definiert als die Summe der Quadrate seiner Komponenten:

${\hat {\mathbf {J} }}^{2}={\hat {J}}_{x}^{2}+{\hat {J}}_{y}^{2}+{\hat {J}}_{z}^{2}$ .

Der Drehimpulsoperator spielt eine zentrale Rolle beim Verständnis von Atomen und anderen quantenmechanischen Problemen mit Rotationssymmetrie. Der Bahndrehimpulsoperator $\hat{\mathbf{L}}$ ist das quantenmechanische Analogon zum klassischen Drehimpuls. Außerdem gibt es den Spinoperator $\hat{\mathbf{S}}$ , der ebenfalls ein Drehimpulsoperator ist, aber kein klassisches Analogon besitzt.

Eigenschaften

In der Folge wird die einsteinsche Summenkonvention verwendet, das heißt, über doppelt auftretende Indizes wird summiert.

Aus der Kommutatorrelation $[\hat{J}_a,\hat{J}_b]=i\hbar\varepsilon_{abc}\hat{J}_c$ folgt automatisch:

$[\hat{J}_a,\hat{\mathbf{J}}^2]=0$

Da die Komponenten des Drehimpulsoperators per Definition nicht vertauschen, geht man häufig zu den gemeinsamen Eigenvektoren von $\hat{\mathbf{J}}^2$ und einer beliebigen Drehimpulskomponente (üblicherweise $\hat{J}_z$ ) über. $| jm \rangle$ bezeichnen die Eigenvektoren der gemeinsamen Basis von $\hat{\mathbf{J}}^2$ und $\hat{J}_z$ und es gelten folgende Eigenwertgleichungen:

$\hat{\mathbf{J}}^2 | jm \rangle = \hbar^2 j (j+1)| jm \rangle$

$\hat{J}_z | jm \rangle = \hbar m | jm \rangle$

Die Quantenzahl kann die Werte $j=\frac{n}{2},\ n\in \mathbb N_0$ und die Quantenzahl die Werte $m=-j, -j+1, \dots , j$ annehmen. Somit ist gleich (2j+1) -fach entartet.

Die Indizes und entsprechen beim Bahndrehimpuls $\hat{\mathbf{L}}$ der Nebenquantenzahl ( ganzzahlig) bzw. der magnetischen Quantenzahl des Bahndrehimpulses und analog beim Spin $\hat{\mathbf{S}}$ den beiden Spinquantenzahlen ( halbzahlig) und $m_{s}$ .

Man definiert Leiteroperatoren, mit denen das -Spektrum zu gegebenen durchlaufen werden kann:

Aufsteigeoperator: $\hat{J}_{+}=\hat{J}_{x}+i\hat{J}_{y}$

$\hat{J}_{+}|j,m\rangle=\hbar\sqrt{(j-m)(j+m+1)}|j,m+1\rangle=\hbar\sqrt{j(j+1)-m(m+1)}|j,m+1\rangle$

Absteigeoperator: $\hat{J}_{-}=\hat{J}_{x}-i\hat{J}_{y}$

$\hat{J}_{-}|j,m\rangle=\hbar\sqrt{(j+m)(j-m+1)}|j,m-1\rangle=\hbar\sqrt{j(j+1)-m(m-1)}|j,m-1\rangle$

Details zu den Quantenzahlen j und m

Aus $\hat{\mathbf{J}}^2 | j,m \rangle = \hbar^2 j (j+1)| j,m \rangle$ und $\hat{J}_z | j,m \rangle = \hbar m | j,m \rangle$ werden mittels Leiteroperatoren die möglichen Eigenwerte und ermittelt. Zuerst werden verschiedene Kommutatoren mit Leiteroperatoren $\hat{J}_{\pm}=\hat{J}_{x}\pm i\hat{J}_{y}$ bestimmt, die sich auf $[\hat{J}_a,\hat{J}_b]=i\hbar\varepsilon_{abc}\hat{J}_c$ zurückführen lassen:

$[\hat{J}_{+},\hat{J}_{-}]=2\hbar\hat{J}_{z}\ ,\quad [\hat{\mathbf{J}}^{2},\hat{J}_{\pm}]=0 \ ,\quad [\hat{J}_{z},\hat{J}_{\pm}]=\pm\hbar\hat{J}_{\pm}$

Nun soll die Wirkung der Leiteroperatoren auf den Zustand $| j,m \rangle$ untersucht werden:

${\hat {\mathbf {J} }}^{2}{\hat {J}}_{\pm }|j,m\rangle ={\hat {J}}_{\pm }{\hat {\mathbf {J} }}^{2}|j,m\rangle =\hbar ^{2}j(j+1){\hat {J}}_{\pm }|j,m\rangle \quad \Rightarrow \quad {\hat {J}}_{\pm }|j,m\rangle =c_{\pm }|j,m'\rangle$

${\begin{aligned}{\hat {J}}_{z}{\hat {J}}_{\pm }|j,m\rangle &=\left({\hat {J}}_{\pm }{\hat {J}}_{z}+[{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{\pm }]\right)|j,m\rangle =\left(\hbar m{\hat {J}}_{\pm }\pm \hbar {\hat {J}}_{\pm }\right)|j,m\rangle \\&=\hbar (m\pm 1){\hat {J}}_{\pm }|j,m\rangle \quad \Rightarrow \quad {\hat {J}}_{\pm }|j,m\rangle =c_{\pm }|j,m\pm 1\rangle \end{aligned}}$

Bei Anwendung eines Leiteroperators verändert sich nicht, aber wird um 1 erhöht oder erniedrigt (deshalb sind die Bezeichnungen Auf- und Absteigeoperator gerechtfertigt). Im nächsten Schritt wird die Konstante $c_\pm$ bestimmt. Dazu werden zunächst Produkte aus Leiteroperatoren auf $\hat{\mathbf{J}}^{2}$ und $\hat{J}_{z}$ zurückgeführt:

$\hat{\mathbf{J}}^{2}=\hat{J}_{x}^{2}+\hat{J}_{y}^{2}+\hat{J}_{z}^{2}=\left[\tfrac{1}{2}(\hat{J}_{+}+\hat{J}_{-})\right]^{2}+\left[\tfrac{1}{2i}(\hat{J}_{+}-\hat{J}_{-})\right]^{2}+\hat{J}_{z}^{2}=\tfrac{1}{2}\left(\hat{J}_{+}\hat{J}_{-}+\hat{J}_{-}\hat{J}_{+}\right)+\hat{J}_{z}^{2}$

Der Kommutator $[\hat{J}_{+},\hat{J}_{-}]=2\hbar\hat{J}_{z}$ führt auf $\hat{J}_{+}\hat{J}_{-}=\hat{J}_{-}\hat{J}_{+}+2\hbar\hat{J}_{z}$ sowie $\hat{J}_{-}\hat{J}_{+}=\hat{J}_{+}\hat{J}_{-}-2\hbar\hat{J}_{z}$ . Einsetzen liefert:

$\hat{J}_{+}\hat{J}_{-}=\hat{\mathbf{J}}^{2}-\hat{J}_{z}^{2}+\hbar\hat{J}_{z}\ ,\quad\hat{J}_{-}\hat{J}_{+}=\hat{\mathbf{J}}^{2}-\hat{J}_{z}^{2}-\hbar\hat{J}_{z}$

Da alle Eigenzustände normiert sein sollen, ist $c_\pm$ die Länge des Vektors $\hat{J}_{\pm}|j,m\rangle$ und lässt sich über das Normquadrat bestimmen; dabei wird ausgenutzt, dass Auf- und Absteigeoperator adjungiert zueinander sind $\hat{J}_{+}^{\dagger}=\hat{J}_{-}$ :

${\begin{aligned}|c_{\pm }|^{2}&=\|c_{\pm }|j,m\pm 1\rangle \|^{2}=\|{\hat {J}}_{\pm }|j,m\rangle \|^{2}=\langle j,m|{\hat {J}}_{\pm }^{\dagger }{\hat {J}}_{\pm }|j,m\rangle =\langle j,m|{\hat {J}}_{\mp }{\hat {J}}_{\pm }|j,m\rangle \\&=\langle j,m|{\hat {\mathbf {J} }}^{2}-{\hat {J}}_{z}^{2}\mp \hbar {\hat {J}}_{z}|j,m\rangle =\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}\mp \hbar ^{2}m\end{aligned}}$

$|c_{\pm}|^{2}=\hbar^{2}(j\mp m)(j\pm m+1)\quad\Rightarrow\quad c_{\pm}=\hbar\sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)}$

Da die Norm eines Vektors nicht-negativ ist, muss $(j\mp m)(j\pm m+1)\geq 0$ gelten. Daraus folgt:

$-j\leq m\leq j$

Wendet man den Aufsteigeoperator auf den höchsten Zustand m=j an, wird $c_{+}=0$ ; wendet man den Absteigeoperator auf m=-j an wird $c_{-}=0$ . In beiden Fällen bricht die Leiter ab und man erhält den Nullvektor:

$\hat{J}_{+}|j,j\rangle =0\quad ,\quad \hat{J}_{-}|j,-j\rangle =0$

Durch -faches Anwenden ( $n\in\mathbb{N}_{0}$ ) des Aufsteigeoperators auf den Zustand mit m=-j gelangt man zu m=j :

$-j+n=j\quad\Rightarrow\quad j=\frac{n}{2}\quad\text{mit}\quad n\in\mathbb{N}_{0}$

Deshalb müssen die möglichen Quantenzahlen nichtnegativ ganzzahlig oder halbzahlig sein.

Bahndrehimpulsoperator

Eine spezielle Realisierung eines Drehimpulses stellt der Bahndrehimpulsoperator $\hat{\mathbf{L}}=(\hat{L}_x,\hat{L}_y,\hat{L}_z)$ dar. Dieser ist wie folgt definiert:

$\hat{\mathbf{L}}= \hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{p}}= \mathbf{e}_i\varepsilon_{ijk}\hat{r}_j \hat{p}_k$

Dabei ist $\hat{\mathbf{r}}$ der Ortsoperator, $\hat{\mathbf{p}}$ der Impulsoperator und $\mathbf{e}_i$ der -te Einheitsvektor. Die Quantenzahl wird üblicherweise nicht mit , sondern mit bezeichnet. Es gilt $\hat{\mathbf{L}}\cdot \hat{\mathbf{r}} = \hat{\mathbf{L}}\cdot \hat{\mathbf{p}} = 0$ („der Bahndrehimpuls steht senkrecht auf dem Ortsvektor und dem Impulsvektor“). Daraus folgt, dass die Quantenzahlen ganzzahlig sind: $l=0,1,2,\ldots\ .$

Die Eigenvektoren lassen sich in Ortsdarstellung mit den Kugelflächenfunktionen $Y_{lm} (\varphi, \vartheta) = \langle \varphi, \vartheta | lm \rangle$ identifizieren (siehe unten).

Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses in kartesischen Koordinaten

Für den Impulsoperator und Ortsoperator gelten in Ortsdarstellung $\hat{\mathbf{p}}= {\hbar \over i} \nabla$ bzw. $\hat{\mathbf{r}}= \mathbf{r}$ . Dies in $\hat{\mathbf{L}}= \hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{p}}$ eingesetzt, ergibt mit $\nabla =\left({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right)$ :

$\hat{L}_x = {\hbar \over i} \left(y {\partial \over \partial z} - z {\partial \over \partial y} \right)$

$\hat{L}_y = {\hbar \over i} \left(z {\partial \over \partial x} - x {\partial \over \partial z} \right)$

$\hat{L}_z = {\hbar \over i} \left(x {\partial \over \partial y} - y {\partial \over \partial x} \right)$

Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses in sphärischen Koordinaten

Mit dem Nabla-Operator bzw. dem Gradienten in Kugelkoordinaten erhält man nach Ausführen der Kreuzprodukte zunächst

${\hat {\mathbf {L} }}={\frac {\hbar }{i}}\left(\mathbf {e} _{\varphi }{\frac {\partial }{\partial \theta }}-{\frac {\mathbf {e} _{\theta }}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\right)$

Die kartesischen Komponenten von $\hat{\mathbf{L}}$ lassen sich nun an den kartesischen Komponenten der Einheitsvektoren $\mathbf{e}_\varphi$ und $\mathbf{e}_\theta\!\,$ ablesen:

$\hat{L}_{x}=i\hbar\left(\sin\varphi\frac{\partial}{\partial\theta}+\cot\theta\cos\varphi\frac{\partial}{\partial\varphi}\right)$

$\hat{L}_{y}=i\hbar\left(-\cos\varphi\frac{\partial}{\partial\theta}+\cot\theta\sin\varphi\frac{\partial}{\partial\varphi}\right)$

$\hat{L}_{z}= \frac{\hbar}{i}\,\frac{\partial}{\partial\varphi}$

An der letzten Zeile erkennt man, dass die -Komponente des Drehimpulses die Erzeugende einer Drehung (mit Winkel $\varphi$ ) um die -Achse ist.

$\hat{L}_{\pm}=\hat{L}_{x}\pm i\hat{L}_{y}=\hbar\exp(\pm i\varphi)\left(\pm\frac{\partial}{\partial\theta}+i\cot\theta\frac{\partial}{\partial\varphi}\right)$

$\hat{\mathbf{L}}^{2}=-\hbar^{2}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{1}{\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}}{\partial\varphi^{2}}\right)=-\hbar^{2}\Delta_{\theta,\varphi}$

$\Delta = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \,\frac{\partial }{\partial r} \right) - \frac{\hat{\mathbf{L}}^{2}}{\hbar^{2}r^2}$

Der Operator $\hat{L}^{2}$ entspricht in Ortsdarstellung gerade dem Winkelanteil $\Delta_{\theta,\varphi}$ des Laplace-Operators (bis auf die Konstante $-\hbar^{2}$ ). Die Eigenfunktionen des Winkelanteils und somit von $\hat{\mathbf{L}}^{2}$ und $\hat{L}_{z}$ sind die Kugelflächenfunktionen $Y_{l,m}(\theta,\varphi)$ :

$\hat{\mathbf{L}}^{2}Y_{l,m}(\theta,\varphi)=\hbar^{2}l(l+1)Y_{l,m}(\theta,\varphi)$

$\hat{L}_{z}Y_{l,m}(\theta,\varphi)=\hbar m Y_{l,m}(\theta,\varphi)$

Die Quantenzahlen und sind auf ganzzahlige Werte beschränkt:

$l=0,1,2, \dots,\quad m = -l, \dots, l$

Die Kugelflächenfunktionen bilden ein vollständiges Orthonormalensystem von quadratintegrablen Funktionen auf der Einheitskugel:

$\int_{0}^{\pi}d\theta\int_{0}^{2\pi}d\varphi\,\sin\theta\, Y_{l,m}^{*}(\theta,\varphi)\, Y_{k,n}(\theta,\varphi)=\delta_{l,k}\delta_{m,n}$

Erzeugende einer Drehung

Der Operator $\hat{R}_{z}(\varphi)$ drehe die Ortskoordinaten um den Winkel $\varphi$ um die z-Achse:

$\hat{R}_{z}(\varphi)\,\,\psi(x,\, y,\, z)=\psi(x\cos\varphi-y\sin\varphi,\, x\sin\varphi+y\cos\varphi,\, z)$

Für infinitesimal kleine Drehwinkel $\delta\varphi$ können die Winkelfunktionen bis zur ersten Ordnung in $\delta\varphi$ um $\delta\varphi=0$ entwickelt werden (siehe auch: Infinitesimale Drehungen) und ebenso die Wellenfunktion:

$\begin{align} \hat{R}_{z}(\delta\varphi)\,\,\psi(x,\, y,\, z) & =\psi(x-y\delta\varphi,\, y+x\delta\varphi,\, z)\\ & =\psi(x,\, y,\, z)-y\delta\varphi\frac{\partial\psi(x,\, y,\, z)}{\partial x}+x\delta\varphi\frac{\partial\psi(x,\, y,\, z)}{\partial y}\\ & =\left[1+\delta\varphi\left(x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x}\right)\right]\psi(x,\, y,\, z)\\ & =\left[1+\delta\varphi\frac{i}{\hbar}\hat{L}_{z}\right]\psi(x,\, y,\, z)\end{align}$

Im letzten Schritt wurde die Definition der z-Komponente des Drehimpulsoperators verwendet. Da $\hat{L}_{z}$ hermitesch ist, ist der infinitesimale Drehoperator $\hat{R}_{z}(\varphi)$ unitär.

In Kugelkoordinaten lautet eine infinitesimale Drehung um die z-Achse analog zu oben:

$\begin{align} \hat{R}_{z}(\delta\varphi)\psi(r,\,\vartheta,\,\varphi) & =\psi(r,\,\vartheta,\,\varphi+\delta\varphi)=\psi(r,\,\vartheta,\,\varphi)+\delta\varphi\frac{\partial\psi(r,\,\vartheta,\,\varphi)}{\partial\varphi}\\ & =\left[1+\delta\varphi\frac{\partial}{\partial\varphi}\right]\psi(r,\,\vartheta,\,\varphi)=\left[1+\delta\varphi\frac{i}{\hbar}\hat{L}_{z}\right]\psi(r,\,\vartheta,\,\varphi)\end{align}$

Um aus einer solchen infinitesimalen Drehung eine endliche Drehung zu erzeugen, betrachte folgenden Grenzübergang:

$\hat{R}_{z}(\varphi)=\lim_{N\to\infty}\left[R_{z}\!\left(\frac{\varphi}{N}\right)\right]^{N}=\lim_{N\to\infty}\left[1+\frac{\varphi}{N}\frac{i}{\hbar}\hat{L}_{z}\right]^{N}=\exp\left(\!\varphi\frac{i}{\hbar}\hat{L}_{z}\right)$

Da sich der Drehoperator $\hat{R}_{z}(\varphi)$ aus unitären Operatoren $\hat{R}_{z}(\delta\varphi)=\hat{R}_{z}(\varphi/N)$ zusammensetzt, ist er selbst unitär.

Eine Drehung um eine beliebige Achse $\mathbf{e}$ (mit $\mathbf{e}\cdot\mathbf{e}=1$ ) um den Winkel $\varphi$ kann man allgemein schreiben als:

$\hat{R}_{\mathbf{e}}(\varphi)=\lim_{N\to\infty}\left[1+\frac{\varphi}{N}\frac{i}{\hbar}\mathbf{e}\cdot\hat{\mathbf{L}}\right]^{N}=\exp\left(\!\varphi\frac{i}{\hbar}\mathbf{e}\cdot\hat{\mathbf{L}}\right)$

Spinoperator

(siehe auch Spinoperator und Basiszustände für Spin 1/2 im Artikel Spin)

Der Spin ist ein weiterer Freiheitsgrad eines quantenmechanischen Teilchens und beschreibt dessen Drehimpuls in seinem Ruhesystem (Eigendrehimpuls). Bei punktförmigen Teilchen gibt es dafür kein klassisches Analogon (somit auch keine Ortsdarstellung). Der Spinoperator $\hat{\mathbf{S}}=(\hat{S}_x,\hat{S}_y,\hat{S}_z)$ kommutiert mit allen anderen Freiheitsgraden des Teilchens, z.B. Impulsoperator und Bahndrehimpulsoperator. Anders als der Bahndrehimpuls muss er zum Impulsoperator auch nicht senkrecht stehen. Die Quantenzahlen und $m_{s}$ können ganz- oder halbzahlig sein. Im häufigsten Fall haben sie die Werte:

$s=\tfrac{1}{2}\ ,\quad m_s=\pm\tfrac{1}{2}$

Alle Quarks und Leptonen sind Spin 1/2-Teilchen, ebenso viele zusammengesetzte Teilchen wie Proton und Neutron. Es gibt allerdings auch Teilchen mit anderem Spin, z.B. das Photon und andere Austauschbosonen mit Spin 1, das baryonische Delta mit =3/2 etc.

Beim Spin 1/2 bezeichnet man die beiden Eigenzustände oft als „Spin up“ und „Spin down“.

$\left|\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right\rangle=\left|+\right\rangle =\left|\uparrow\right\rangle\ ,\quad \left|\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right\rangle=\left|-\right\rangle =\left|\downarrow\right\rangle$

Diese Zustände erfüllen die Eigenwertgleichungen

$\hat{S}^{2}\left|\pm\right\rangle =\tfrac{3\hbar^{2}}{4}\left|\pm\right\rangle$

$\hat{S}_{z}\left|\pm\right\rangle =\pm\tfrac{\hbar}{2}\left|\pm\right\rangle$

Die Leiteroperatoren haben auf die Eigenzustände die Wirkung:

$\hat{S}_{+}\left|-\right\rangle =\hbar\left|+\right\rangle\ ,\quad \hat{S}_{+}\left|+\right\rangle =0$

$\hat{S}_{-}\left|+\right\rangle =\hbar\left|-\right\rangle\ ,\quad \hat{S}_{-}\left|-\right\rangle =0$

Die Spinkomponenten $\hat{S}_{x}, \hat{S}_{y}$ lassen sich über die Leiteroperatoren ausdrücken:

$\hat{S}_{x}=\tfrac{1}{2}\left(\hat{S}_{+}+\hat{S}_{-}\right)\ ,\quad \hat{S}_{y}=\tfrac{1}{2i}\left(\hat{S}_{+}-\hat{S}_{-}\right)$

Oft wird die Matrixdarstellung der Operatoren benutzt, wobei den Eigenzuständen folgende Spaltenvektoren (Spinoren) zugeordnet werden:

$\left|+\right\rangle=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\ ,\quad \left|-\right\rangle=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$

$\hat{S}^{2}=\frac{3\hbar^{2}}{4}\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}\ ,\quad\hat{S}_{z}=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}$

$\hat{S}_{+}=\hbar\begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}\ ,\quad\hat{S}_{-}=\hbar\begin{pmatrix}0 & 0\\1 & 0\end{pmatrix}$

$\hat{S}_{x}=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}\ ,\quad\hat{S}_{y}=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}0 & -i\\i & 0\end{pmatrix}$

Schließlich werden über die Beziehung

$\hat{S}_{i}=\tfrac{\hbar}{2}\hat{\sigma}_{i}$

die Spinkomponenten mit den Pauli-Matrizen $\hat{\sigma}_{i}$ verknüpft.

Drehimpulsoperator und Drehimpulsvektor

Ausrichtung und Richtungsquantelung

Die Eigenzustände $\vert j,m\rangle$ heißen ausgerichtet zur z-Achse. Der Vektor aus den drei Erwartungswerten $\langle \hat{\mathbf{J}} \rangle=(\langle\hat{J}_x\rangle,\,\langle\hat{J}_y\rangle,\,\langle\hat{J}_z\rangle)=(0,0,m)$ steht hier parallel zur z-Achse. Der Betrag dieses Vektors ist |m| und erreicht daher auch bei maximaler Ausrichtung ( m=j ) nicht die Länge des Drehimpulsvektors, die durch $\sqrt{\langle \hat{\mathbf{J}}^2 \rangle}=\sqrt{\langle\hat{J}^2_x\rangle +\langle\hat{J}^2_y\rangle+\langle\hat{J}^2_z\rangle}=\sqrt{j(j+1)}$ gegeben ist. Entsprechend gilt für die Quadrate der Operatoren für die x- und y-Komponente, dass deren Erwartungswerte $\langle\hat{J}^2_x\rangle = \langle\hat{J}^2_y\rangle = \frac12(j(j+1)- m^2 )$ nicht kleiner als $\frac12 j$ werden können. Daher unterscheidet sich der quantenmechanische Drehimpuls von einem der Anschaulichkeit zugänglichen Vektor im dreidimensionalen Raum: Er kann zu keiner Achse parallel liegen in dem Sinn, dass seine Komponente längs dieser Achse genau so groß ist wie sein Betrag oder Länge. Trotzdem wird in physikalischen Texten die maximal mögliche Ausrichtung vereinfacht oft als „Parallelstellung“ bezeichnet.

Für einen Vektor ${\vec {r}}=(x,y,z)$ im dreidimensionalen Raum ergibt sich der Winkelabstand zur z-Achse $\vartheta$ aus $\cos \vartheta = z/|\vec r|$ , wobei $|\vec r| = \sqrt{\vec r^2}$ die Länge des Vektors ist. Dies auf den quantenmechanischen Drehimpuls übertragen, führt zu

$\cos \vartheta = \frac{\langle\hat{J}_z\rangle}{\sqrt{\langle \hat{\mathbf{J}}^2 \rangle}} = \frac{m}{\sqrt{j(j+1)}}$ .

Die diskreten Eigenwerte der z-Komponente kann man sich demnach so veranschaulichen, dass der Drehimpulsvektor in diesen Zuständen nur bestimmte Winkel zur z-Achse einnehmen kann. Dies wird als Richtungsquantelung bezeichnet. Der kleinste mögliche Winkel ist gegeben durch $\cos \vartheta_\mathrm{min} = \frac{j}{\sqrt{j(j+1)}} \equiv \sqrt{1-\frac{1}{j+1}}$ . Für große Werte des Drehimpulses strebt $\vartheta$ gegen Null. Für den kleinsten (nicht verschwindenden) quantenmechanischen Drehimpuls $j=\frac12$ ist jedoch $\vartheta_\mathrm{min} > 45^\circ$ , was der anschaulichen Beschreibung als „Parallelstellung“ widerspricht. Dabei hat die zur z-Achse senkrechte Komponente des Drehimpulses in jedem Zustand $\vert j,m\rangle$ einen wohlbestimmten Eigenwert $\sqrt{j(j+1)- m^2}$ , wie sich aus $\hat{J}^2_x + \hat{J}^2_y = \hat{\mathbf{J}}^2 - \hat{J}^2_z$ ergibt. Nur ist ihre Richtung in der xy-Ebene vollkommen unbestimmt, denn die Erwartungswerte sowohl der x-Komponente als auch y-Komponente des Drehimpulses für sich allein sind Null.

Anschauliches Verhalten bei Drehungen und Spiegelung

Der Drehimpulsoperator $\hat{\mathbf{J}}=(\hat{J}_x,\hat{J}_y,\hat{J}_z)$ entspricht in einigen Aspekten dem anschaulichen Bild des klassischen Drehimpulses. Insbesondere verhält er sich bei Drehung des Koordinatensystems genau wie jeder andere Vektor, d.h. seine drei Komponenten $(\hat{J'_x},\hat{J'_y},\hat{J'_z})$ längs der neuen Koordinatenachsen sind Linearkombinationen der drei Operatoren $(\hat{J_x},\hat{J_y},\hat{J_z})$ längs der alten Achsen nach denselben Formeln wie (z.B.) beim klassischen Drehimpulsvektor. Das gilt auch (in einem beliebigen Zustand des betrachteten Systems) für die drei Erwartungswerte $\langle\hat{\mathbf{J}}\rangle=(\langle\hat{J}_x\rangle,\,\langle\hat{J}_y\rangle,\,\langle\hat{J}_z\rangle)$ , die zusammen den vektoriellen Erwartungswert von $\hat{\mathbf{J}}$ bilden. Daher bleibt die Länge des Erwartungswerts des Drehimpulsvektors $\vert\langle\hat{\mathbf{J}}\rangle\vert=\sqrt{\langle\hat{J}_x\rangle^2+\langle\hat{J}_y\rangle^2+\langle\hat{J}_z\rangle^2}$ bei Drehungen des Koordinatensystems (oder des Zustands) gleich.

Bei Spiegelung des Koordinatensystems verhalten sich Drehimpulsoperator $\hat{\mathbf{J}}$ und sein Erwartungswert $\langle\hat{\mathbf{J}}\rangle$ ebenfalls genauso wie der mechanische Drehimpulsvektor. Sie bleiben sich nämlich gleich, wie auch alle anderen axialen Vektoren (z.B. Winkelgeschwindigkeit, Magnetfeld, magnetisches Dipolmoment), im Gegensatz zu polaren Vektoren (wie Ortsvektor, Geschwindigkeitsvektor, Impulsvektor), die bei Spiegelung ihr Vorzeichen wechseln. Axiale Vektoren heißen auch Pseudovektoren.

Zustände im Gegensatz zur Anschauung

Der Betrag des Erwartungswert-Vektors $\langle\hat{\mathbf{J}}\rangle$ bleibt zwar bei allen Drehungen und Spiegelungen des Systems gleich, es gibt aber für Quantenzahlen $j \mathord \ge 1$ Zustände zur selben Quantenzahl, bei denen der Vektor eine andere Länge hat, und die demnach nicht durch Drehung und Spiegelungen ineinander überführt werden können. z.B. ist in einem Zustand $\vert j,m\rangle$ der Erwartungswert $\langle\hat{\mathbf{J}}\rangle \mathord =(m \hbar,\,0,\,0)$ und sein Betrag $\vert\langle\hat{\mathbf{J}}\rangle\vert=\vert m \hbar\vert$ . Das kann je nach Wert von verschiedene Werte ergeben, außer in den Fällen $j \mathord =0$ und $j \mathord =\tfrac{1}{2}$ . Für $m\mathord=0$ ergibt sich die Länge $\vert\langle\hat{\mathbf{J}}\rangle\vert=0$ zu Null. Die Länge Null ergibt sich für den Erwartungswert des Drehimpulsvektors auch bei Zuständen wie $\left(\vert j,m\rangle + \vert j,\, -m\rangle \right)$ , sofern und sich um mehr als unterscheiden und damit für die Erwartungswerte weiterhin $\langle\hat{J}_x\rangle \mathord= \langle\hat{J}_y\rangle\mathord =0$ gilt. In solchen Zuständen zeigt das System ein sog. „alignment“, zu deutsch „Ausrichtung“ (wobei das deutsche Wort aber oft ganz allgemein für den Fall benutzt wird, dass das System anhand seiner Eigenzustände $\vert j,m\rangle$ in Bezug auf eine vorher gewählte z-Achse betrachtet werden soll).

Im Fall $j \mathord =\tfrac{1}{2}$ gilt (s. Abschnitt „Spin 1/2 und dreidimensionaler Vektor“ im Artikel Spin), dass in jedem möglichen gegebenen Zustand der Erwartungswert des Drehimpulsoperators die Länge $\tfrac{1}{2} \hbar$ hat und sich eine Richtung im Raum angeben lässt, nach der diesem Zustand die Quantenzahl $m\mathord = \mathord+\tfrac{1}{2}$ zuzuordnen ist.

Addition von Drehimpulsen

Man geht von zwei Drehimpulsoperatoren $\hat{\mathbf{J}}_1$ und $\hat{\mathbf{J}}_2$ aus, die jeweils die Quantenzahlen $j_{1}$ und $m_{1}$ bzw. j_2 und $m_{2}$ besitzen. Jeder dieser Drehimpulse hat seinen eigenen Eigenraum, der durch die Eigenvektoren $\left| j_1, m_1 \right\rangle$ zu $\hat{\mathbf{J}}^{2}_{1},\hat{J}_{1z}$ bzw. $\left| j_2, m_2 \right\rangle$ zu $\hat{\mathbf{J}}^{2}_{2},\hat{J}_{2z}$ aufgespannt wird. Die Drehimpulse vertauschen untereinander $[\hat{\mathbf{J}}_1,\hat{\mathbf{J}}_2] = 0$ .

Nun koppeln die einzelnen Drehimpulse zu einem Gesamtdrehimpuls:

$\hat{\mathbf{J}} = \hat{\mathbf{J}}_{1} + \hat{\mathbf{J}}_{2}$

Somit gilt automatisch $\hat{J}_{z} = \hat{J}_{1z} + \hat{J}_{2z}$ . Die Zustände des Gesamtsystems bilden den Produktraum (tensorielles Produkt) der Zustände der Einzelsysteme. Darin bilden die Produkte der Basiszustände $\left| j_i, m_i \right\rangle$ der Einzelsysteme eine Basis:

$\left| j_1, m_1 \right\rangle \otimes \left| j_2, m_2 \right\rangle \equiv \left| j_1, m_1; j_2, m_2 \right\rangle$

Allerdings sind dies (meistens) keine Eigenvektoren des Gesamtdrehimpulses $\hat{\mathbf{J}}^{2}$ , so dass er in dieser Basis keine Diagonalgestalt besitzt. Daher geht man über vom vollständigen Satz kommutierender Operatoren $\hat{\mathbf{J}}^{2}_{1},\hat{J}_{1z},\hat{\mathbf{J}}^{2}_{2},\hat{J}_{2z}$ mit den Eigenzuständen $\left| j_1, m_1; j_2, m_2 \right\rangle$ zum vollständigen Satz kommutierender Operatoren $\hat{\mathbf{J}}^{2},\hat{J}_{z},\hat{\mathbf{J}}^{2}_{1},\hat{\mathbf{J}}^{2}_{2}$ mit den Eigenzuständen $\left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle$ . In der neuen Basis hat der Gesamtdrehimpuls wieder eine einfache Diagonalgestalt:

$\hat{\mathbf{J}}^2 \left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle = \hbar^2 J(J+1) \left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle$

$\hat{J}_{z} \left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle = \hbar M \left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle$

Die Quantenzahlen zum Gesamtdrehimpuls und können folgende Werte annehmen:

$J=| j_1 - j_2 |,\ | j_1 - j_2 |+1, \dots , j_1 + j_2$

$M = m_{1}+m_{2}=-J, \dots, J$ .

Den Übergang von der Produktbasis $\left| j_1, m_1; j_2, m_2 \right\rangle$ in die Eigenbasis $\left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle$ geschieht über folgende Entwicklung (Ausnutzen der Vollständigkeit der Produktbasis):

$\left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle = \sum_{m_1, m_2} \left| j_1, m_1; j_2, m_2 \right\rangle \langle\ j_1, m_1; j_2, m_2 | J, M, j_1, j_2 \rangle$

Dabei sind $\langle\ j_1, m_1; j_2, m_2 | J, M, j_1, j_2 \rangle$ die Clebsch-Gordan-Koeffizienten.

Spin-Bahn-Kopplung

→Hauptartikel: Spin-Bahn-Kopplung

Es wird ein 1/2-Spin mit einem Bahndrehimpuls gekoppelt.

$\hat{\mathbf{J}} = \hat{\mathbf{L}} + \hat{\mathbf{S}}$

Die Spinquantenzahlen sind auf $\,s=\tfrac{1}{2}$ und $\,m_{s} = \pm \tfrac{1}{2}$ beschränkt, die Bahndrehimpulsquantenzahlen sind $l\in \mathbb{N}_{0}$ und $m_{l} = -l, \dots, l\!\,$ . Somit kann die Gesamtdrehimpulsquantenzahl nur die folgenden Werte annehmen:

für $\,l>0$ : $J=l\pm \tfrac{1}{2}$
für $\,l=0$ : $J= \tfrac{1}{2}$ .

Jeder Zustand der Gesamtdrehimpulsbasis $\left| J, M, l, s \right\rangle$ setzt sich aus genau zwei Produktbasiszuständen zusammen. Zu gegebenen $M=m_l+m_s=m_l\pm \tfrac{1}{2}$ kann nur $m_l=M \mp \tfrac{1}{2}$ sein.

$\left|l+\tfrac{1}{2},M,l,\tfrac{1}{2}\right\rangle =\alpha_{+}\left|l,M-\tfrac{1}{2};\,\tfrac{1}{2},+\tfrac{1}{2}\right\rangle +\beta_{+}\left|l,M+\tfrac{1}{2};\,\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right\rangle$ für $J=l+\tfrac{1}{2}$

$\left|l-\tfrac{1}{2},M,l,\tfrac{1}{2}\right\rangle =\alpha_{-}\left|l,M-\tfrac{1}{2};\,\tfrac{1}{2},+\tfrac{1}{2}\right\rangle +\beta_{-}\left|l,M+\tfrac{1}{2};\,\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right\rangle$ für $J=l-\tfrac{1}{2}$

Aus der Forderung der Orthonormiertheit der Zustände sind die Koeffizienten festgelegt:

$\alpha_{\pm}=\pm\frac{\sqrt{l+\tfrac{1}{2}\pm M}}{\sqrt{2l+1}}$ für $\beta_{\pm}=\frac{\sqrt{l+\tfrac{1}{2}\mp M}}{\sqrt{2l+1}}$

Als Beispiel soll der Bahndrehimpuls $l=1\!\,$ mit einem Spin $\,s=\tfrac{1}{2}$ gekoppelt werden. Im Folgenden schreibe abkürzend $\left|J,M,l{=}1,s{=}{\tfrac {1}{2}}\right\rangle =\left|J,M\right\rangle$ und für die Produktbasis $\left|l{=}1,m_{l};s{=}{\tfrac {1}{2}},m_{s}{=}{\pm {\tfrac {1}{2}}}\right\rangle =\left|m_{l};{\mathord {\pm }}\right\rangle$ .

Für $J=\tfrac{3}{2}$ gibt es ein Quartett:

$\left|\tfrac{3}{2},+\tfrac{3}{2}\right\rangle =\left|1;+\right\rangle$

$\left|\tfrac{3}{2},+\tfrac{1}{2}\right\rangle =\sqrt{\tfrac{2}{3}}\,\left|0;+\right\rangle \,+\,\sqrt{\tfrac{1}{3}}\,\left|1;-\right\rangle$

$\left|\tfrac{3}{2},-\tfrac{1}{2}\right\rangle =\sqrt{\tfrac{1}{3}}\,\left|-1;+\right\rangle \,+\,\sqrt{\tfrac{2}{3}}\,\left|0;-\right\rangle$

$\left|\tfrac{3}{2},-\tfrac{3}{2}\right\rangle =\left|-1;-\right\rangle$

Für $J=\tfrac{1}{2}$ gibt es ein Dublett:

$\left|\tfrac{1}{2},+\tfrac{1}{2}\right\rangle =-\sqrt{\tfrac{1}{3}}\,\left|0;+\right\rangle \,+\,\sqrt{\tfrac{2}{3}}\,\left|1;-\right\rangle$

$\left|\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right\rangle =-\sqrt{\tfrac{2}{3}}\,\left|-1;+\right\rangle \,+\,\sqrt{\tfrac{1}{3}}\,\left|0;-\right\rangle$

Spin-Bahn-Kopplung

Im Folgenden werden zwei 1/2-Spins gekoppelt.

$\hat{\mathbf{S}} = \hat{\mathbf{S}}_{1} + \hat{\mathbf{S}}_{2}$

Die Spinquantenzahlen sind auf $s_{1,2}=\tfrac{1}{2}$ und $m_{s_{1,2}}=\pm \tfrac{1}{2}$ beschränkt. Somit können die Gesamtspinquantenzahlen und $M_{S}$ nur die folgenden Werte annehmen:

dann $M_{S}=0$
dann $M_{S}=-1,0,1$

Im Folgenden schreibe abkürzend $\left| S, M_{S}, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2} \right\rangle=\left| S, M_{S} \right\rangle$ und für die Produktbasis $\left| \tfrac{1}{2}, \pm \tfrac{1}{2};\tfrac{1}{2}, \pm \tfrac{1}{2} \right\rangle = \left| \pm ; \pm \right\rangle$

Für S=1 gibt es ein Triplett:

$\left| 1, 1 \right\rangle = \left| +; + \right\rangle$

$\left| 1, 0 \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \Big( \left| +; - \right\rangle + \left| -; + \right\rangle \Big)$

$\left| 1, -1 \right\rangle = \left| -; - \right\rangle$

Für S=0 gibt es ein Singulett:

$| 0, 0 \rangle = \frac1{\sqrt2} \Big( |+;-\rangle - |-;+\rangle\Big)$

Literatur

Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 5/2. Quantenmechanik – Methoden und Anwendungen. Springer Verlag, ISBN 3540260358

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de