Matrizenmechanik

Die Matrizenmechanik ist eine durch die deutschen Physiker Werner Heisenberg, Max Born und Pascual Jordan entwickelte Formulierung der Quantenmechanik. Sie bildet das Gegenstück zu der durch Erwin Schrödinger geprägten gleichwertigen Wellenmechanik. In gewisser Weise bietet die Matrizenmechanik (siehe auch Heisenberg-Bild) eine natürlichere und fundamentalere Beschreibung eines quantenmechanischen Systems als das wellenmechanische Schrödinger-Bild, besonders für relativistische Theorien, da sie die Lorentz-Invarianz mit sich bringt. Sie weist zudem eine starke formale Ähnlichkeit zur klassischen Mechanik auf, weil die Heisenbergschen Bewegungsgleichungen den klassischen Hamiltonschen Bewegungsgleichungen ähneln.

Geschichte

Im Jahr 1925 erarbeitete Heisenberg eine Abhandlung Über die quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen, um Ungereimtheiten der Quantentheorie auf dem Wege zu einer nichtklassischen Atomtheorie zu klären und schuf damit eine Grundlage einer streng gültigen Quantenmechanik. Ausgangsthese war, dass in der Mikrophysik nicht nach Bahnen oder Umlaufzeiten der Elektronen im Atom geforscht werden müsse, sondern nach messbaren Differenzen der Strahlungsfrequenzen und Spektrallinienintensitäten, um allein darauf „eine der klassischen Mechanik analoge quantentheoretische Mechanik auszubilden, in welcher nur Beziehungen zwischen beobachtbaren Größen vorkommen (Q4-66)“.

Ausgearbeitet wurde die Matrizenmechanik dann gemeinsam von Max Born, Werner Heisenberg und Pascual Jordan in einer Veröffentlichung für die Zeitschrift für Physik 1926, der "Dreimännerarbeit". In dieser Betrachtungsweise der Quantenmechanik ändert sich der Zustandsvektor eines Systems nicht mit der Zeit; stattdessen wird die Dynamik des Systems nur durch die Zeitabhängigkeit der Operatoren („Matrizen“) beschrieben.

Die physikalischen Voraussagen betreffend sind die schrödingersche und die heisenbergsche Mechanik gleichwertig. Diese Äquivalenz wurde zuerst von Schrödinger, dann auch von Pauli, Eckart, Dirac, Jordan sowie durch von Neumann auf unterschiedliche Art nachgewiesen.

Allgemeine Matrixdarstellung der Quantenmechanik

Im Folgenden soll aus einem abstrakten Hilbertraumvektor und einem Operator auf diesem Hilbertraum deren Vektor- bzw. Matrixdarstellung abgeleitet werden.

Zuerst wähle man im das System beschreibenden Hilbertraum eine Basis (vollständiges Orthonormalensystem) $\left\{|n\rangle \right\}$ , wobei die Dimension des Hilbertraums abzählbar sei.

Bei folgendem Skalarprodukt $\langle \phi |{\hat {A}}|\psi \rangle$ schiebt man zweimal eine 1 durch Ausnutzen der Vollständigkeit der Basis $1=\sum _{{m}}|m\rangle \langle m|$ und $1=\sum _{{n}}|n\rangle \langle n|$ ein:

$\langle \phi |{\hat {A}}|\psi \rangle =\sum _{{m,n}}\underbrace {\langle \phi |m\rangle }_{{\phi _{{m}}}}\underbrace {\langle m|{\hat {A}}|n\rangle }_{{A_{{mn}}}}\underbrace {\langle n|\psi \rangle }_{{\psi _{{n}}}}$

Durch die Projektionen auf die Basisvektoren erhält man die Koordinatendarstellung mit Vektoren und Matrizen bzgl. $\left\{|n\rangle \right\}$ :

Bra-Zeilenvektor: $\phi _{{m}}=\langle \phi |m\rangle =\langle m|\phi \rangle ^{{*}}$ (lässt sich auch als komplex-konjugierter, transponierter Spaltenvektor schreiben)

$\left(\langle \phi |\right)_{{\left\{|n\rangle \right\}}}=\left(\langle \phi |1\rangle ,\,\langle \phi |2\rangle ,\,\langle \phi |3\rangle ,\,\ldots \right)=\left({\begin{array}{c}\langle 1|\phi \rangle ^{{*}}\\\langle 2|\phi \rangle ^{{*}}\\\vdots \end{array}}\right)^{{t}}$

Operator-Matrix: $A_{{mn}}=\langle m|{\hat {A}}|n\rangle$

$\left({\hat {A}}\right)_{{\left\{|n\rangle \right\}}}=\left({\begin{array}{ccc}\langle 1|{\hat {A}}|1\rangle &\langle 1|{\hat {A}}|2\rangle &\cdots \\\langle 2|{\hat {A}}|1\rangle &\langle 2|{\hat {A}}|2\rangle \\\vdots &&\ddots \end{array}}\right)$

Ket-Spaltenvektor: $\psi _{{n}}=\langle n|\psi \rangle$

$\left(|\psi \rangle \right)_{{\left\{|n\rangle \right\}}}=\left({\begin{array}{c}\langle 1|\psi \rangle \\\langle 2|\psi \rangle \\\vdots \end{array}}\right)$

Einer Adjunktion entspricht in der Matrixdarstellung eine komplexe Konjugation und eine zusätzliche Transposition: $A_{{mn}}^{{\dagger }}=A_{{nm}}^{{*}}$

$\left({\hat {A}}^{{\dagger }}\right)_{{\left\{|n\rangle \right\}}}=\left({\hat {A}}^{{*t}}\right)_{{\left\{|n\rangle \right\}}}$

Sind die Basisvektoren $|n\rangle$ Eigenvektoren eines Operators ${\hat {O}}$ , also ${\hat {O}}|n\rangle =o_{{n}}|n\rangle$ , so ist die Matrixdarstellung des Operators bzgl. dieser Basis diagonal:

$O_{{mn}}=\langle m|{\hat {O}}|n\rangle =o_{{n}}\langle m|n\rangle =o_{{n}}\delta _{{mn}}$

Matrixdarstellung des Heisenbergbildes

Heisenbergsche Bewegungsgleichung

Im Heisenberg-Bild sind die Zustände zeitunabhängig und die Operatoren zeitabhängig. Die Zeitabhängigkeit eines Operators ist gegeben durch die Heisenbergsche Bewegungsgleichung:

${\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}{\hat {A}}^{{{\rm {H}}}}={\frac {{\mathrm {i}}}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {A}}^{H}\right]+{\hat {U}}(t)\left({\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {A}}^{S}\right){\hat {U}}^{\dagger }(t)$

Hierbei ist ${\hat {U}}(t)=\exp \left({\frac {{\mathrm i}}{\hbar }}{\hat {H}}t\right)$ der Operator für die unitäre Transformation vom Schrödingerbild ins Heisenbergbild und $[\cdot ,\cdot ]$ der Kommutator. In der Matrixdarstellung bzgl. einer beliebigen Basis heißt das, dass die Vektoren zeitunabhängig und die Matrizen zeitabhängig sind. Ab sofort wird die Summenkonvention verwendet.

${\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}A_{{{{\rm {nm}}}}}^{{H}}={\frac {{\mathrm {i}}}{\hbar }}\left(H_{{nk}}^{{H}}A_{{km}}^{{H}}-A_{{nk}}^{{H}}H_{{km}}^{{H}}\right)+U_{{nk}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}A_{{{{\rm {kl}}}}}^{{S}}\right)U_{{lm}}^{\dagger }$

Bezüglich der Energieeigenbasis vereinfacht sich die Darstellung, weil der Hamiltonoperator diagonal ist (der Hamiltonoperator sei explizit zeitunabhängig ${\tfrac {\partial }{\partial t}}H=0$ ):

${\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}A_{{{{\rm {nm}}}}}^{{H}}={\frac {{\mathrm {i}}}{\hbar }}\left(E_{{n}}\delta _{{nk}}A_{{km}}^{{H}}-A_{{nk}}^{{H}}\delta _{{km}}E_{{m}}\right)+U_{{nk}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}A_{{{{\rm {kl}}}}}^{{S}}\right)U_{{lm}}^{\dagger }={\frac {{\mathrm {i}}}{\hbar }}\left(E_{{n}}-E_{{m}}\right)A_{{nm}}^{{H}}+U_{{nk}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}A_{{{{\rm {kl}}}}}^{{S}}\right)U_{{lm}}^{\dagger }$

Lösung der Gleichung für Spezialfälle

Wenn ${\hat A}$ nicht explizit zeitabhängig ist ( ${\tfrac {\partial }{\partial t}}A^{{H}}=0$ ), ist die zeitliche Entwicklung gegeben durch

${\hat {A}}^{{H}}(t)={\hat {U}}(t)^{{\dagger }}{\hat {A}}^{{H}}(0){\hat {U}}(t).$

Dabei ist ${\hat {U}}(t)$ der Zeitentwicklungsoperator und ${\hat {U}}(t)^{{\dagger }}$ der adjungierte Zeitentwicklungsoperator.

Ist zusätzlich der Hamiltonoperator nicht explizit zeitabhängig ( ${\tfrac {\partial }{\partial t}}H=0$ ), so nimmt der Zeitentwicklungsoperator die einfache Form $U(t)=\exp \left(-{\tfrac {{\mathrm i}}{\hbar }}H\,t\right)$ an:

${\hat {A}}^{{H}}(t)=\exp \left({\tfrac {{\mathrm i}}{\hbar }}H\,t\right){\hat {A}}^{{H}}(0)\,\exp \left(-{\tfrac {{\mathrm i}}{\hbar }}H\,t\right)$

In Matrixdarstellung bzgl. beliebiger Basis (die Exponentialfunktion von Matrizen ist ebenso wie die Exponentialfunktion von Operatoren mittels Reihendarstellung auszuwerten):

$A_{{{{\rm {nm}}}}}^{{H}}(t)=\exp \left({\tfrac {{\mathrm i}}{\hbar }}H\,t\right)_{{nk}}\,A_{{kl}}^{{H}}(0)\,\exp \left(-{\tfrac {{\mathrm i}}{\hbar }}H\,t\right)_{{lm}}$

bzgl. Energieeigenbasis wird die Zeitentwicklung wieder einfacher:

$A_{{{{\rm {nm}}}}}^{{H}}(t)=\exp \left({\tfrac {{\mathrm i}}{\hbar }}E_{{n}}\,t\right)\delta _{{nk}}\,A_{{kl}}^{{H}}(0)\,\delta _{{lm}}\exp \left(-{\tfrac {{\mathrm i}}{\hbar }}E_{{m}}\,t\right)=\exp \left({\tfrac {{\mathrm i}}{\hbar }}\left(E_{{n}}-E_{{m}}\right)t\right)A_{{nm}}^{{H}}(0)$

Durch Einsetzen überprüft man, dass diese Gleichung die Heisenbergsche Bewegungsgleichung ${\tfrac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}A_{{{{\rm {nm}}}}}^{{H}}={\tfrac {{\mathrm {i}}}{\hbar }}\left(E_{{n}}-E_{{m}}\right)A_{{nm}}^{{H}}$ löst.

Literatur

Günter Ludyk: Quantenmechanik nur mit Matrizen. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2020, ISBN 978-3-662-60881-4.
Max Born, Pascual Jordan: Elementare Quantenmechanik. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 1930, ISBN 978-3-662-00271-1.
L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Quantenmechanik (= Lehrbuch der theoretischen Physik), Unveränderter Nachdruck der 9. Auflage 1986. Auflage, Band 3, Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, Haan-Gruiten 2019, ISBN 978-3-8085-5636-8.

Basierend auf einem Artikel in:

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