Heisenberg-Bild

Das Heisenberg-Bild der Quantenmechanik ist ein Modell für den Umgang mit zeitabhängigen Problemen. Im Heisenberg-Bild gelten folgende Annahmen:

Zustände sind nicht zeitabhängig: $|\psi \rangle ={\rm {const}}$
Operatoren sind zeitabhängig: ${\hat {A}}={\hat {A}}(t)$
Die Dynamik des Systems wird beschrieben durch die Heisenbergsche Bewegungsgleichung.

Zur Kennzeichnung, dass man sich im Heisenberg-Bild befindet, werden Zustände und Operatoren gelegentlich mit dem Index "H" versehen: $|\psi _{\rm {H}}\rangle$ bzw. ${\hat {A}}_{\rm {H}}(t)$

Aufgrund der hervorgehobenen Rolle der Operatoren in der Heisenbergschen Formulierung der Quantenmechanik wurde diese historisch auch als Matrizenmechanik bezeichnet. Zwei weitere Modelle sind das Schrödinger-Bild und das Wechselwirkungsbild. Alle Modelle führen zu denselben Erwartungswerten.

Im Heisenbergbild steckt die gesamte Zeitabhängigkeit in den Operatoren, die Zustände sind zeitunabhängig:

$|\psi _{\text{H}}\rangle =|\psi _{\text{S}}(0)\rangle$

Im Schrödingerbild dagegen vermittelt der unitäre Zeitentwicklungsoperator ${\hat {U}}(t)$ die Zeitentwicklung der Zustände:

$|\psi _{\text{S}}(t)\rangle ={\hat {U}}(t)|\psi _{\text{S}}(0)\rangle$

Darin ist ${\hat {U}}^{\dagger }(t)$ der adjungierte Operator, und wegen der Unitarität gilt ${\hat {U}}^{\dagger }(t)={\hat {U}}(t)^{-1}$ .

Der Erwartungswert a des Operators ${\hat {A}}$ muss in allen Bildern gleich sein:

$a=\langle \psi _{\text{S}}(t)|{\hat {A}}_{\text{S}}(t)|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{S}}(t)|\underbrace {{\hat {U}}(t){\hat {U}}^{\dagger }(t)} _{1}\,{\hat {A}}_{\text{S}}(t)\,\underbrace {{\hat {U}}(t){\hat {U}}^{\dagger }(t)} _{1}\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\langle {\hat {U}}^{\dagger }(t)\psi _{\text{S}}(t)|{\hat {U}}^{\dagger }(t)\,{\hat {A}}_{\text{S}}(t)\,{\hat {U}}(t)\,|{\hat {U}}^{\dagger }(t)\psi _{\text{S}}(t)\rangle$

$a=\langle \psi _{\text{S}}(0)|{\hat {U}}^{\dagger }(t)\,{\hat {A}}_{\text{S}}(t)\,{\hat {U}}(t)|\psi _{\text{S}}(0)\rangle =\langle \psi _{\text{H}}|{\hat {A}}_{\text{H}}(t)|\psi _{\text{H}}\rangle$

Der Operator ${\hat {A}}_{\rm {H}}(t)$ im Heisenberg-Bild ist somit gegeben durch den Operator ${\hat {A}}_{\rm {S}}(t)$ im Schrödinger-Bild:

${\hat {A}}_{\rm {H}}(t)={\hat {U}}^{\dagger }(t)\,{\hat {A}}_{\rm {S}}(t)\,{\hat {U}}(t)$

Im Allgemeinen der Operator ${\hat {A}}$ sowohl im Heisenberg-Bild als auch im Schrödinger-Bild zeitabhängig sein kann, ein Beispiel dafür ist ein Hamilton-Operator mit einem zeitabhängigen Potenzial.

Die Schrödinger-Gleichung für zeitabhängige Wellenfunktionen wird im Heisenberg-Bild ersetzt durch die Heisenbergsche Bewegungsgleichung:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {A}}_{\rm {H}}(t)={\partial \over \partial t}{\hat {A}}_{\rm {H}}(t)+{i \over \hbar }[{\hat {H}}_{\rm {H}}(t){\mbox{,}}{\hat {A}}_{\rm {H}}(t)]$

wobei

$\left[{\hat {H}}_{\rm {H}}(t),{\hat {A}}_{\rm {H}}(t)\right]$ der Kommutator aus dem Hamilton-Operator ${\hat {H}}_{\rm {H}}(t)$ und ${\hat {A}}_{\rm {H}}(t)$ ist und
${\partial \over \partial t}{\hat {A}}_{\rm {H}}(t)$ als Abkürzung für $U^{\dagger }(t){\partial \over \partial t}{\hat {A}}_{\rm {S}}(t)U(t)$ zu lesen ist.

Hängt der Hamiltonoperator im Schrödingerbild ${\hat {H}}_{\rm {S}}$ nicht von der Zeit ab, so gilt:

${\hat {H}}_{\rm {H}}(t)={\hat {H}}_{\rm {S}}$

Die Observable ${\hat {A}}$ heißt Erhaltungsgröße, wenn

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {A}}_{\rm {H}}(t)=0$ .

Gilt diese Bedingung, dann ist auch $\langle A\rangle$ zeitunabhängig.

Basierend auf einem Artikel in:

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