Richtungsquantelung

Richtungsquantelung oder Richtungsquantisierung ist die Tatsache, dass der Winkel zwischen dem Drehimpulsvektor eines quantenmechanischen Systems und einer beliebig gewählten Richtung nur bestimmte, diskrete Werte annehmen kann. Genauer ausgedrückt kann bei einem Drehimpuls, dessen Betrag mit $\hbar {\sqrt {J(J+1)}}$ gegeben ist, die Drehimpulskomponente längs der gewählten Richtung nur Werte $\hbar m$ mit den Richtungsquantenzahlen $m=-J,\,-(J-1),\,\ldots ,\,(J-1),\,J\$ haben. Darin ist $\hbar$ das (reduzierte) Plancksche Wirkungsquantum und $J=0,\,{\frac 12},\,1,\,{\frac {3}{2}},\,\ldots$ die halb- oder ganzzahlige Drehimpulsquantenzahl.

Betroffen sind u.a.

Spin und Bahndrehimpuls von freien Teilchen
und ausnahmslos alle freien Atome, Moleküle etc. in ihren Energieeigenzuständen

Diese Zustände mit wohldefiniertem Winkel zwischen dem Drehimpuls und einer ausgezeichneten Achse werden auch als "an der Achse ausgerichtet" bezeichnet. Für die möglichen Winkel $\theta _{m}$ gilt

$\cos \theta _{m}={\frac {m}{{\sqrt {J(J{\mathord +}1)}}}}$ .

Die Winkel liegen symmetrisch zu 90°. Obwohl 0° und 180° dabei immer ausgeschlossen sind, wird der Drehimpuls in den beiden Zuständen mit maximaler Komponente ( $m{\mathord =}\pm J$ ) oft als parallel bzw. antiparallel zur Achse bezeichnet. Die zur Achse senkrechte Komponente des Drehimpulses ist in ausgerichteten Zuständen in ihrer Richtung nicht weiter festgelegt, vielmehr sind alle Richtungen (senkrecht zur Achse) gleich wahrscheinlich. Jedoch lassen sich aus den 2J+1 ausgerichteten Zuständen durch quantenmechanische Superposition sämtliche Zustände bilden, die das System bei gleichem inneren Zustand überhaupt annehmen kann. So lässt sich z.B. auch ein Zustand, der an einer beliebigen anderen (auch schräg liegenden) Richtung ausgerichtet ist, immer als eine Superposition der Zustände darstellen, die an der ursprünglich gewählten Achse ausgerichtet sind.

Die Richtungsquantelung wurde 1916 im Rahmen des Bohr-Sommerfeldschen Atommodells theoretisch vorhergesagt. Sie erlaubt die quantenphysikalische Deutung der Aufspaltung der Energieniveaus im Magnetfeld, wie sie beim Zeeman-Effekt beobachtet wird. Direkt beobachtet wurde die Richtungsquantelung zuerst 1922 durch magnetische Ablenkung von Silberatomen mit verschieden orientierten Drehimpulsen im Stern-Gerlach-Experiment. In beiden Fällen entsprechen die Quantenzahlen verschiedenen Energieniveaus im Magnetfeld, woher sich auch der Name magnetische Quantenzahl und die Wahl des Buchstabens m ableitet.

Siehe auch

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