Entartung (Quantenmechanik)

Von Entartung spricht man in der Quantenmechanik, wenn zwei oder mehr Zustände eines quantenmechanischen Systems zur selben Energie existieren.

Der Entartungsgrad oder Entartungsfaktor $\textstyle n$ (oft auch mit $\textstyle g$ bezeichnet) ist die Anzahl der linear unabhängigen Lösungen zum gleichen Energieeigenwert. Haben $\textstyle n$ Zustände dieselbe Energie, so spricht man von $\textstyle n$ -facher Entartung. (Vorsicht: das gleiche Formelzeichen $\textstyle n$ wird auch für die Hauptquantenzahl benutzt!)

Analog sagt man bei Zuständen, die zu einer bestimmten Observablen (z.B. des Bahn- oder des Gesamtdrehimpulses oder des Spins) denselben Eigenwert besitzen: die Zustände sind in dieser Observablen entartet. Dementsprechend sind die energetisch entarteten Zustände bezüglich der Observablen "Energie" entartet.

Die bezüglich einer Observablen entarteten Zustände lassen sich immer durch ihre Eigenwerte zu einer geeigneten anderen Observablen unterscheiden.

Eine Entartung ist in vielen Fällen Folge einer Symmetrie des physikalischen Systems. So führt Rotationssymmetrie um beliebige Achsen zu einer Energieentartung bezüglich jeder Komponente des Drehimpulses bei feststehendem Drehimpulsbetrag.

Beispiel: Entartung im Wasserstoffatom

In der nichtrelativistischen Beschreibung des Wasserstoffatoms sind alle Zustände mit gleicher Hauptquantenzahl entartet. Diese Entartung lässt sich auf die Symmetrie des Keplerproblems zurückführen.

Entartung zu den ersten drei Energieeigenwerten des Wasserstoffatoms
Hauptquantenzahl	Drehimpuls-QZ $l=0\ldots n-1$	Orbital	magnetische QZ $m_{l}=-l\ldots 0\ldots +l$	totale Entartung: $\sum _{{l=0}}^{{n-1}}{(2l+1)}=n^{2}$ -fach
1	0	s	0	1
2	0	s	0	4
2	1	p	−1, 0, +1	4
3	0	s	0	9
	1	p	−1, 0, +1
	2	d	−2, −1, 0, +1, +2

Die Berücksichtigung des Elektronenspins (die so genannte Feinstruktur) hebt diese Entartung teilweise auf. Korrekturen aufgrund der Wechselwirkung mit dem Kern (Hyperfeinstruktur) und aufgrund der Quantenelektrodynamik (Lambshift) reduzieren die Entartung weiter, bis auf die Entartung in den Komponenten des Gesamtdrehimpulses, die wegen der Rotationssymmetrie erhalten bleibt.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de