3-Sphäre

Die 3-dimensionale Sphäre oder kurz 3-Sphäre $S^{3}$ ist ein wichtiges Objekt in Mathematik und Physik. Sie ist neben dem euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{3}$ das einfachste Beispiel einer 3-dimensionalen Mannigfaltigkeit.

Definition

Unter einer 3-dimensionalen Sphäre versteht man eine topologische Mannigfaltigkeit, die homöomorph zur Einheitssphäre im $\mathbb {R} ^{4}$ ist. Letztere wird mit $S^{3}$ bezeichnet.

Die Einheitssphäre $S^{3}$ ist die Menge der Punkte im 4-dimensionalen euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{4}$ mit Abstand eins vom Ursprung, also

$S^{3}:=\{x\in \mathbb {R} ^{4}\colon \|x\|_{2}=1\}$ ,

wobei $\|\cdot \|_{2}$ die euklidische Norm ist. Sie kann als Rand der 4-Einheitskugel $B^{4}$ aufgefasst werden und wird daher auch mit $\partial B^{4}$ bezeichnet.

Eigenschaften

Geometrische Eigenschaften

Die 3-dimensionale Hyperfläche (das 3-Volumen) einer 3-Sphäre vom Radius ist

$2\pi ^{2}r^{3}\,$

und das 4-dimensionale Hypervolumen einer 4-Kugel (das 4-Volumen des 4-dimensionalen Gebietes innerhalb dieser 3-Sphäre) ist

${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\pi ^{2}r^{4}.$

Entsprechend ist ${\tfrac {\pi ^{2}}{2}}$ das 4-Volumen von $B^{4}$ .

Jeder nicht-leere Durchschnitt einer 3-Sphäre mit einer 3-dimensionalen Hyperebene ist eine 2-Sphäre oder ein einzelner Punkt.

Die 3-Sphäre vom Radius hat die konstante, positive Schnittkrümmung ${\frac {1}{r^{2}}}$ .

Topologische Eigenschaften

Die 3-Sphäre hat keinen Rand, ist kompakt und einfach zusammenhängend. Ihre Homologiegruppen sind

$H_{i}(S^{3})={\begin{cases}\\\\\end{cases}}$	$\mathbb {Z}$ ,		falls $i\in \{1,3\}$
	$\{0\}$		sonst.

Jeder topologische Raum mit diesen Homologiegruppen wird 3-Homologiesphäre genannt.

Sie ist homöomorph zur Einpunkt-Kompaktifizierung des $\mathbb {R} ^{3}$ und ist der homogene Raum

$S^{3}\cong SO(4)/SO(3)$ .

Differenzierbare Struktur

Wie jede 3-dimensionale Mannigfaltigkeit hat die 3-Sphäre nach dem Satz von Moise eine eindeutige Differentialstruktur und eine eindeutige PL-Struktur.

Runde Metrik

Die Einbettung als Einheitssphäre im $\mathbb {R} ^{4}$ gibt der Sphäre die „runde Metrik“ mit Schnittkrümmung konstant 1. Insbesondere wird sie mit dieser Metrik ein symmetrischer Raum mit Isometriegruppe $SO(4)$ .

Jede Metrik konstanter Schnittkrümmung ist ein Vielfaches der runden Metrik.

Die 3-Sphäre als Lie-Gruppe

→ Hauptartikel: SU(2)

Die 3-Sphäre $S^{3}$ ist eine nichtabelsche Gruppe. Sie fällt zusammen mit der Gruppe der Einheitsquaternionen

$\left\{x\in \mathbb {H} \,\mid \,x{\bar {x}}=1\right\}$

mit $x = x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k$ und ${\bar {x}}=x_{0}-x_{1}\mathrm {i} -x_{2}\mathrm {j} -x_{3}\mathrm {k}$ . Die Abbildung

$x_{0}+x_{1}\mathrm {i} +x_{2}\mathrm {j} +x_{3}\mathrm {k} \mapsto {\begin{pmatrix}z_{1}&z_{2}\\-{\overline {z_{2}}}&{\overline {z_{1}}}\end{pmatrix}}$ mit $z_{1}:=x_{0}+\mathrm {i} _{\mathbb {C} }x_{1}$ und $z_{2}:=x_{2}+\mathrm {i} _{\mathbb {C} }x_{3}$

ist ein Isomorphismus der Quaternionen $\mathbb {H}$ in den Ring $\mathbb {C} ^{2\times 2}$ der komplexen 2×2-Matrizen, der $S^{3}$ auf die Untergruppe der unitären Matrizen

$\left\{{\begin{pmatrix}z_{1}&z_{2}\\-{\overline {z_{2}}}&{\overline {z_{1}}}\end{pmatrix}}\in \mathbb {C} ^{2\times 2}{\Bigg |}\;|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}=1\right\}=:SU(2)$ ,

abbildet. Sie machen eine Lie-Gruppe aus, die den Namen SU(2) trägt.

Diese Bijektion ist gleichzeitig ein Diffeomorphismus

$\quad \mathbb {H} ^{\times }\supset S^{3}\to SU(2)\subset \left(\mathbb {C} ^{2\times 2}\right)^{\times }\quad ;\quad (z_{1},z_{2})\mapsto {\begin{pmatrix}z_{1}&z_{2}\\-{\overline {z_{2}}}&{\overline {z_{1}}}\end{pmatrix}}$

Die 3-Sphäre $S^{3}=SU(2)$ ist die einfachste nichtabelsche kompakte Lie-Gruppe und insbesondere im Standardmodell der Elementarteilchenphysik von Bedeutung.

Poincaré-Vermutung

→ Hauptartikel: Poincaré-Vermutung

Die 3-Sphäre ist die einzige einfach zusammenhängende, kompakte 3-Mannigfaltigkeit.

Vektorfelder auf der 3-Sphäre

Als Lie-Gruppe ist die 3-Sphäre parallelisierbar. Ein Beispiel dreier linear unabhängiger Vektorfelder auf der Einheitssphäre im $\mathbb {R} ^{4}$ ist

$V_{1}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(-x_{2},x_{1},-x_{4},x_{3}),V_{2}(x)=(-x_{3},x_{4},x_{1},-x_{2}),V_{3}(x)=(-x_{4},-x_{3},x_{2},x_{1})$ .

Heegaard-Zerlegungen

Man erhält die 3-dimensionale Sphäre, indem man die Ränder zweier 3-dimensionaler Kugeln orientierungsumkehrend miteinander verklebt.

Allgemeiner hat die 3-Sphäre zu jedem $g\geq 0$ eine eindeutige Heegaard-Zerlegung vom Geschlecht .

Dehn-Chirurgien

Jede kompakte 3-Mannigfaltigkeit kann durch Chirurgien an Verschlingungen $K\subset S^{3}$ in der 3-Sphäre konstruiert werden.

Sphärische 3-Mannigfaltigkeiten

Aus dem von William Thurston initiierten und von Grigori Perelman bewiesenen Geometrisierungsprogramm folgt, dass alle kompakten 3-Mannigfaltigkeiten endlicher Fundamentalgruppe sphärische 3-Mannigfaltigkeiten (oder 3-dimensionale sphärische Raumformen) sind, sich also als Quotientenraum

$M=\Gamma \backslash S^{3}$

für eine endliche Gruppe $\Gamma \subset SO(4)$ von Isometrien der runden Metrik darstellen lassen.

Beispiele 3-dimensionaler sphärischer Raumformen sind die Linsenräume oder die Poincaré-Homologiesphäre.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de