Homogener Raum

Ein homogener Raum (seltener Kleinscher Raum oder Kleinsche Geometrie nach Felix Klein) ist in der Mathematik ein Raum mit einer transitiven Gruppenwirkung. Die entsprechende Gruppe wird Bewegungsgruppe genannt.

Anschaulich bedeutet diese Homogenität, dass der Raum „in jedem Punkt gleich aussieht“. Beispielsweise sind zusammenhängende differenzierbare Mannigfaltigkeiten homogen, denn zu je zwei Punkten x,y gibt es einen Diffeomorphismus, der auf abbildet. Eine wichtige Klasse der homogenen Räume sind die Riemannschen homogenen Räume.

Definition

Sei eine Menge, auf der die Gruppe transitiv operiert. Das heißt, es gibt eine Abbildung

$G\times M\to M\qquad (g,x)\mapsto gx$

mit den Eigenschaften

für alle $g,h\in G$ und alle $x\in M$ gilt

$(gh)x=g(hx)$ ,

für alle $x\in M$ gilt

$ex=x$ ,

wobei $e \in G$ das neutrale Element ist und

für jedes Paar $x,y\in M$ gibt es ein $g\in G$ mit

$y=gx$ .

Das Tupel $(M,G)$ heißt dann homogener Raum und nennt man die Bewegungsgruppe des homogenen Raums.

Beispiele

Oftmals hat die zugrundeliegende Menge des homogenen Raums eine zusätzliche Struktur. In den folgenden drei Beispielen werden homogene Räume der mathematischen Teilgebiete Gruppentheorie, Topologie und Riemannschen Differentialgeometrie betrachtet.

Nebenklassenraum

Ein Beispiel eines homogenen Raums ist die Nebenklasse G/H einer Gruppe mit einer Untergruppe . Die Gruppe operiert durch

$g(aH)=(ga)H$

auf G/H , wodurch $(G/H,G)$ zu einem homogenen Raum wird.

Riemannscher homogener Raum

→ Hauptartikel: Riemannscher homogener Raum

Oft sind Riemannsche homogene Räume gemeint, wenn von homogenen Räumen die Rede ist. Hier gibt es zu je zwei Punkten x,y eine Isometrie, die auf abbildet. Riemannsche homogene Räume sind eine wichtige Klasse von Beispielen in der Riemannschen Geometrie. Ihre Krümmung kann oft mit algebraischen Methoden berechnet werden.

Eigenschaften

Falls die transitiv wirkende Gruppe endlich ist, gilt für die Mächtigkeit der Menge die Formel

$\vert X\vert ={\frac {\vert G\vert }{\vert G_{x}\vert }}$ ,

wobei $G_{x}$ den Stabilisator eines (beliebigen) Elements $x\in X$ bezeichnet.

Siehe auch

Erlanger Programm

Literatur

Kai Köhler: Differentialgeometrie und homogene Räume, S. 151 ff., Wiesbaden : Springer Spektrum, 2014, ISBN 978-3-8348-1569-9

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de