Bernoulli-Gleichung

Die Bernoulli-Gleichung, die auch als Gesetz von Bernoulli oder (uneindeutig) als Satz von Bernoulli bezeichnet wird, ist eine Aussage über Strömungen nach Bernoulli und Venturi. Die Theorie über diese im Wesentlichen eindimensionalen Strömungen entlang eines Stromfadens wurde im 18. Jahrhundert von Daniel Bernoulli und Giovanni Battista Venturi angelegt und stellt die Grundlage für wichtige aero- und hydrodynamische Berechnungen dar.

Die Bernoulli-Gleichung besagt bei der stationären Strömung viskositätsfreier inkompressibler Fluide (Flüssigkeiten und Gase), dass die spezifische Energie der Fluidelemente entlang einer Stromlinie konstant ist:

{\displaystyle e={\frac {u^{2}}{2}}+{\frac {p}{\rho }}+g\,z={\text{const.}}}

Hier ist u die Geschwindigkeit, p der Betriebsdruck, ρ die Dichte, g die Schwerebeschleunigung und z die Höhe über einer Bezugsebene im Schwerefeld der Erde. Der Betriebsdruck ist derjenige Anteil am statischen Druck, der nicht aus dem Eigengewicht des Fluids resultiert. Der erste Summand stellt die spezifische kinetische Energie, der zweite die spezifische Druckenergie und der dritte die spezifische Lageenergie dar. Die auf der Stromlinie konstante spezifische Gesamtenergie e wird durch geeignete Bezugswerte auf der Stromlinie festgelegt.

Die Multiplikation der Gleichung mit der (konstanten) Dichte ρ ergibt die Bernoullische Druckgleichung und Division durch die (konstante) Schwerebeschleunigung g liefert eine Höhengleichung. In ihr ist die Summe der Geschwindigkeitshöhe {\displaystyle {\tfrac {u^{2}}{2g}}}, der Druckhöhe {\tfrac  {p}{\rho g}} und der geodätischen Höhe z (im verlustfreien Fall) konstant und gleich der Energiehöhe {\displaystyle {\tfrac {e}{g}}}.

Instationarität der Strömung, Kompressibilität und Viskosität des Fluids können durch Erweiterungen der Bernoulli-Gleichung berücksichtigt werden. So findet sie ein breites Anwendungsspektrum in der Auslegung technischer Rohrströmungen, im Turbinen- und Windenergieanlagenbau sowie bei Messgeräten (Pitotrohr, Prandtlsonde).

Geschichte

Titelblatt von Bernoullis "Hydrodynamica"

Heute kann die Bernoulli-Gleichung aus den Navier-Stokes-Gleichungen oder dem Energieerhaltungssatz für die Fluidelemente entlang einer Stromlinie hergeleitet werden. Da diese Zusammenhänge aber erst im 19. Jahrhundert gefunden wurden, konnte Daniel Bernoulli bei seiner Herleitung 1738 nicht darauf zurückgreifen. Stattdessen benutzte er die Vorarbeiten von Evangelista Torricelli, Christiaan Huygens und Gottfried Wilhelm Leibniz.

Torricelli übertrug 1640 die Galileischen Fallgesetze auf ausströmende Flüssigkeiten, was zu Torricelli’sche Ausflussgesetz führte. Huygens erkannte 1669, dass die von René Descartes aufgestellten Gleichungen zum elastischen Stoß richtig sind, wenn man die Geschwindigkeiten unter Berücksichtigung ihres Vorzeichens zählt. Leibniz folgerte 1678 aus Huygens Gesetz des elastischen Stoßes, dass das Produkt aus Masse und dem Geschwindigkeitsquadrat, das Doppelte der kinetischen Energie, vor und nach dem Stoß identisch sind.

Bernoullis Fig. 72 zu seiner Herleitung

Daniel Bernoulli veröffentlichte 1738 seine Hydrodynamica, siehe Bilder, wo er in Sectio 12 die Ergebnisse von Torricelli und Huygens an einem Fluidballen (abdc in seiner Fig. 72) kombinierte. So gelang es ihm, den Druck von fließenden Fluiden auf Wänden zu bestimmen und die Rolle des Verlusts an kinetischer Energie, die er vis viva nannte, bei plötzlichen Änderungen des Strömungsquerschnitts aufzudecken.

1797 veröffentlichte der italienische Physiker Giovanni Battista Venturi seine Entdeckung, dass sich die Fließgeschwindigkeit einer Flüssigkeit, die durch ein Rohr strömt, umgekehrt proportional zu einem sich verändernden Rohrquerschnitt verhält. Venturi konnte auch experimentell nachweisen, dass der statische Druck an den Engstellen niedriger ist als an den weiteren Partien, siehe die Illustration zum Bernoulli-Effekt unten.

Bernoulli und Venturi betrachteten dabei den quasi eindimensionalen Fluss mit ebenen Querschnitten, was heute Gegenstand der Hydraulik und nicht der Hydrodynamik ist.

Eigenschaften der Strömungen nach Bernoulli und Venturi

Venturi-Effekt

Die Fluidballen (grau) haben gleiches Volumen.

Giovanni Battista Venturi entdeckte das Kontinuitätsgesetz für inkompressible Fluide: Bei gegebenem Volumenstrom A · v verhält sich die Fließgeschwindigkeit v einer inkompressiblen Rohrströmung umgekehrt proportional zum Rohrquerschnitt A, so dass der Volumenstrom über jedem Querschnitt konstant ist, siehe Bild. Dort ist Δx1,2 = v1,2 Δt und mit dem konstanten Volumen V = A1 Δx1 = A2 Δx2 folgt:

{\displaystyle {\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {\Delta x_{2}}{\Delta x_{1}}}={\frac {v_{2}\Delta t}{v_{1}\Delta t}}={\frac {v_{2}}{v_{1}}}}

Das heißt, die Geschwindigkeit des Fluids ist dort am größten, wo der Querschnitt des Rohrs am kleinsten ist. Dieser Effekt wird umgangssprachlich Düsenwirkung genannt. Der obige Zusammenhang gilt allerdings nur solange Dichteänderungen unbedeutend sind, was bei Strömungsgeschwindigkeiten weit unterhalb der Schallgeschwindigkeit in guter Näherung gegeben ist, siehe Bild bei der Herleitung unten.

Der Venturi-Effekt macht sich im Alltag beispielsweise bemerkbar, wenn Wind zwischen Häusern an Stärke zunimmt.

Bernoulli-Effekt und hydrodynamisches Paradoxon

Die Fig. 11 von Venturi zeigt die Druckabnahme an der Engstelle

Venturi konnte experimentell auch nachweisen, was die Bernoulli-Gleichung vorhersagte, nämlich dass an den Engstellen in der Venturi-Düse der statische Druck abnimmt, siehe Fig. 11 im Bild. Die Kraft zur Beschleunigung der Fluidteilchen in die Engstelle hinein ist die Druckgradientkraft und deren Arbeit p · V (spezifisch {\displaystyle \mathrm {\tfrac {p}{\rho }} }) führt zur Zunahme der kinetischen Energie der Fluidteilchen.

Versuchsskizze zum Bernoulli-Effekt: Zwischen zwei Papierbögen (grau) eingeblasene Luft (hellblau) lässt die Bögen zusammenrücken (schwarz).

Der Sachverhalt, dass da wo die Strömung schneller ist, der Druck kleiner ist, wird Bernoulli-Effekt genannt. Dieser Effekt kann in einem einfachen Versuch gezeigt werden, siehe Versuchsskizze: Zwischen zwei über Stäbe (braun) gehängte Blätter Papier (grau) wird Luft geblasen (hellblau). Durch den höheren Umgebungsdruck gegenüber dem verringerten Druck im Luftstrom werden die Blätter zusammengedrückt (schwarz).

Diese Tatsache ist das hydrodynamische Paradoxon: Anstatt dass der eingeblasene Luftstrom die Blätter auseinanderdrückt, rücken sie zusammen. Gegenstände, die an Strömungszonen von Gasen oder Flüssigkeiten angrenzen, werden in sie hineingezogen. Auch wird ein Wasser ausstoßender Schlauch, der unter Wasser senkrecht an eine Wand gehalten wird, nicht von der Wand abgestoßen, sondern zur Wand hingezogen.

Die Stimmlippen des Menschen werden durch den Bernoulli-Effekt zu Schwingungen angeregt, was zur Stimmbildung führt. Der Bernoulli-Effekt wird in Strahlpumpen, in Schornsteinen und bei Tragflächen technisch ausgenutzt, siehe auch die Anwendung unten.

Der Bernoulli-Effekt hat jedoch auch negative Auswirkungen: Sind zwei Schiffe auf Parallelkurs, dann kann der Effekt die Schiffe derart ablenken, dass sie kollidieren. Ebenso kann ein Schiff bei schneller Fahrt und wenig Wasser unter dem Kiel auf Grund gehen, weil der Bernoulli-Effekt es in Richtung Grund saugt. Dasselbe Wirkprinzip kann bei Starkwind zu Atemnot führen, wenn der Wind infolge des Bernoulli-Effekts die in den Atemwegen ruhende Luft heraussaugt. Auch über Häuser hinwegstreichender Starkwind hat gegenüber den Räumen unter den Dachziegeln einen verringerten Druck, was zu einer Windlast führt, die Hausdächer abdecken kann.

Weitere Folgerungen aus der Bernoulli-Gleichung

Die Bernoulli-Gleichung erklärt in einer stationären, verlustfreien und inkompressiblen Strömung entlang einer Stromlinie die folgenden Tatsachen:

Das Delta Δ steht für die Differenz an den Orten 1 und 2 auf der Stromlinie. Außerdem gilt beim Vergleich der physikalischen Zustände an zwei Stellen auf der Stromlinie:

Anwendung

Strömungsverlauf von Rauchfäden (grau) von links nach rechts um eine Tragfläche (schwarz). Wo die Stromlinien (Rauchfäden) eng beieinanderliegen, ist die Geschwindigkeit hoch, andernorts geringer. (Grafik nach einem Video-Standbild)

Das Bernoulli-Prinzip kann im Alltag an vielen Dingen angewendet werden. Hier einige Beispiele:

Für diese Anwendungen gilt:

Klassische Formulierung für inkompressible Fluide

Energiegleichung

Auswirkung der Teilterme der Bernoulli-Gleichung im Rohrleitungssystem eines Staudamms
Die vom Kolben verrichtete Arbeit speist sich aus der Druckenergie, die im Bild durch den Schweredruck der Wassersäule entsteht.

Die Bernoulli-Gleichung besteht aus drei Termen und lässt sich anschaulich an einem Rohrleitungssystem für einen Staudamm und dem Energieerhaltungssatz erläutern. Die Angabe der Energie erfolgt dabei als spezifische Größe, das heißt bezogen auf die Masse des Fluids ({\displaystyle e={\tfrac {E}{m}}}, pro kg in SI-Einheiten).

Den ersten Teilterm bildet die Geschwindigkeitsenergie ek (kinetische Energie) des Fluids, die sich aus der Strömungsgeschwindigkeit u ergibt. Verengt sich das Rohr steigt die Strömungsgeschwindigkeit entsprechend dem Kontinuitätsgesetz und damit die kinetische Energie.

Verläuft die Rohrleitung nun über einen Höhenunterschied z dann kommt über die Schwerebeschleunigung g die Lageenergie ep zur Geltung. Am unteren Ende des Staudamms ist die Lageenergie des strömenden Fluids geringer.

Damit gemäß dem Energieerhaltungssatz die Energie konstant bleibt, braucht es neben der Lageenergie und der kinetischen Energie einen dritten Teilterm, die Druckenergie wp. Es ist die Arbeit, die benötigt wird, um ein Teilchen von einem Gebiet mit niedrigerem Druck in ein Gebiet mit höherem Druck hineinzuschieben, wie es am unteren Ende des Staudamms der Fall ist. Je kleiner die Dichte ρ des Teilchens (großes Volumen) und je größer der Druckunterschied p, desto mehr Arbeit erfordert der Vorgang. Bei der trichterförmigen Verengung steigt durch den konstanten Volumenstrom die Strömungsgeschwindigkeit, womit das Fluid durch eine Kraft beschleunigt werden muss. Diese Kraft resultiert aus dem Druck vor der Verengung und spiegelt die Druckenergie wider, die jede Masseeinheit des Fluids, die durch das Rohr fließt, mit sich trägt. Daraus ergibt sich die eingangs angegebene Energiegleichung für inkompressible Medien

{\displaystyle \underbrace {e} _{\begin{array}{c}{\text{spezifische}}\\[-1ex]{\text{Gesamtenergie}}\end{array}}=\underbrace {\frac {u^{2}}{2}} _{\begin{array}{c}{\text{spezifische}}\\[-1ex]{\text{Geschwindigkeits-}}\\[-1ex]{\text{energie }}e_{\text{k}}\end{array}}+\underbrace {\frac {p}{\rho }} _{\begin{array}{c}{\text{spezifische}}\\[-1ex]{\text{Druckenergie}}\\[-1ex]w_{\text{p}}\end{array}}+\underbrace {g\,z} _{\begin{array}{c}{\text{spezifische}}\\[-1ex]{\text{Lageenergie}}\\[-1ex]e_{\text{p}}\end{array}}={\text{const.}}}

Höhengleichung

Division der Bernoulli-Gleichung durch die Schwerebeschleunigung zeigt: Bei der stationären (zeitlich sich nicht verändernden) Bewegung einer idealen (viskositätsfreien), inkompressiblen Flüssigkeit, die nur der Schwerkraft unterworfen ist, ist für alle Punkte einer Stromlinie die Summe aus Geschwindigkeitshöhe {\displaystyle {\tfrac {u^{2}}{2g}}}, Druckhöhe {\tfrac  {p}{\rho g}} und geodätischer Höhe z konstant:

{\displaystyle h={\frac {e}{g}}={\frac {u^{2}}{2g}}+{\frac {p}{\rho g}}+z={\text{const.}}}

Die Geschwindigkeitshöhe kann als Staudruck der Strömung verstanden werden, die Druckhöhe als Maß des Druckes der Flüssigkeit. Diese entlang der Stromlinie konstante Summe h wird als Energiehöhe bezeichnet und in Metern angegeben.

Druckgleichung

Multipliziert man die bernoullische Energiegleichung mit der Dichte ρ, erhält man die bernoullische Druckgleichung:

{\displaystyle p_{t}=p+\rho gz+{\frac {\rho }{2}}u^{2}={\text{const.}}}

Der Totaldruck pt ist demnach als Summe aus

entlang einer Stromlinie konstant. Aus der Druckgleichung ist beispielsweise ersichtlich, dass in einer Rohrleitung eine Geschwindigkeitserhöhung durch Einengung des Querschnittes aufgrund des konstanten Massenflusses im Strömungsverlauf zu einer Verminderung des Druckes führen muss, wenn die geodätische Höhe gleich bleibt.

Erweiterungen der klassischen Formulierung

Die Herleitung der Bernoulli-Gleichung aus den Navier-Stokes-Gleichungen führt auf die allgemeine Bernoulli-Gleichung in der Form

{\displaystyle {\frac {u_{1}^{2}}{2}}+P_{1}+V_{1}={\frac {u_{2}^{2}}{2}}+P_{2}+V_{2}+\eta +\int _{1}^{2}{\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}\cdot \mathrm {d} {\vec {x}}.}

Darin sind:

Die einzelnen Terme dieser allgemeinen Bernoulli-Gleichung sind Gegenstand der folgenden Abschnitte.

Erweiterte bernoullische Druckgleichung viskositätsfreier, idealer Gase

Die eingangs angegebene Bernoulli-Gleichung gilt nur für Fluide mit vernachlässigbarer Dichteänderung hinreichend genau. Bei Gasen und größeren Geschwindigkeitsänderungen müssen die mit der Druckänderung einhergehenden Dichteänderungen im Energieansatz berücksichtigt werden:

{\displaystyle e={\frac {1}{2}}u^{2}+\int {\frac {\mathrm {d} p}{\rho (p)}}+V={\text{const.}}}

Für die Abhängigkeit der Dichte vom Druck stehen folgende Formulierungen zur Verfügung:

{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} p}{\rho (p)}}=R_{s}T\ln \left({\frac {p}{p_{0}}}\right)\quad \rightarrow \quad e={\frac {u^{2}}{2}}+R_{s}T\ln \left({\frac {p}{p_{0}}}\right)+V={\text{const.}}}
Darin bildet ln den natürlichen Logarithmus.
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} p}{\rho (p)}}={\frac {\kappa }{\kappa -1}}{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\left[\left({\frac {p}{p_{0}}}\right)^{\frac {\kappa -1}{\kappa }}-1\right]\quad \rightarrow \quad e={\frac {u^{2}}{2}}+{\frac {\kappa }{\kappa -1}}{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\left[\left({\frac {p}{p_{0}}}\right)^{\frac {\kappa -1}{\kappa }}-1\right]+V={\text{const.}}}

Das Differential der spezifischen Enthalpie h ist dh = T ds + v dp. Darin ist T die absolute Temperatur, s die spezifische Entropie und v = 1/ρ das spezifische Volumen. Bei isentroper Strömung (ds = 0) ist also dh = dp/ρ und der Integrand in der Bernoulli-Gleichung oben entspricht der spezifischen Enthalpie. Damit lautet die Bernoulli-Gleichung für reale Gase bei isentroper Strömung:

{\displaystyle e={\frac {u^{2}}{2}}+h+V={\text{const.}}}

Darin ist h die spezifische Enthalpie.

Enthalpie als Funktion des Drucks

Bei druckgetriebenen Ausgleichsströmungen durch konvergierende Düsen gelten die folgenden Zusammenhänge. Die spezifische Enthalpie für ein ideales Gas ist h = cp T und mit den in idealen Gasen anzutreffenden Zusammenhängen {\displaystyle T={\tfrac {p}{R_{s}\rho }},\,R_{s}=c_{p}-c_{v},\,\kappa ={\tfrac {c_{p}}{c_{v}}}} folgt:

{\displaystyle {\begin{aligned}h=&c_{p}T=c_{p}{\frac {p}{R_{s}\rho }}={\frac {c_{p}}{c_{p}-c_{v}}}{\frac {p}{\rho }}={\frac {\kappa }{\kappa -1}}{\frac {p}{\rho }}\\\rightarrow e=&{\frac {u^{2}}{2}}+{\frac {\kappa }{\kappa -1}}{\frac {p}{\rho }}+V={\text{const.}}\end{aligned}}}

Darin sind cp,v die spezifischen Wärmekapazitäten des Gases bei konstantem Druck bzw. konstantem Volumen.

Das Bild zeigt die Enthalpiebeiträge h / h0 mit h0 = Rs T von Luft gemäß den angegebenen Formeln und isentroper Zustandsänderung (außer bei der isothermen Zustandsänderung) relativ zum Bezugspunkt 0 unter Normalbedingungen

{\displaystyle {\begin{array}{lcllcllcl}T&=&273{,}15\,{\rm {K}},&p_{0}&=&101{.}325\,{\rm {Pa}}\\\rho _{0}&=&1{,}293\,{\tfrac {\rm {kg}}{\rm {m^{3}}}},&c_{p}&=&1005\,{\tfrac {\rm {J}}{\rm {kgK}}},&c_{v}&=&718\,{\tfrac {\rm {J}}{\rm {kgK}}}\end{array}}}

Bei der orangen Kurve „h = cv T“ ist {\displaystyle h={\tfrac {1}{\kappa -1}}{\tfrac {p}{\rho }}} und wie bei der roten Kurve „h = cp T“ wurde {\displaystyle \rho =\rho _{0}\left({\tfrac {p}{p_{0}}}\right)^{\frac {1}{\kappa }}} benutzt.

Erweiterte bernoullische Energiegleichung zäher Flüssigkeiten

Schema des Druckverlaufs in einer verlustbehafteten Rohrleitung

Die erweiterte bernoullische Energiegleichung setzt sich mit zähen Flüssigkeiten auseinander. Dabei werden die Reibungsverluste berücksichtigt. Die so genannte Verlusthöhe HV wird empirisch meist durch einen Druckverlustbeiwert \zeta (Zeta) mit folgender Funktion berechnet:

{\displaystyle H_{V}=\zeta \,{\frac {u^{2}}{2g}}}

mit

ζ: Druckverlustbeiwert
u: Geschwindigkeit
g: Schwerebeschleunigung (also Lageenergie V = g z)

Diese Annahme fußt auf der empirischen Beobachtung, dass die Druckverluste in Rohrleitungen bei turbulenter Strömung mit dem Quadrat der Fließgeschwindigkeit steigen. Die Verlustbeiwerte oder die Summe der Verlustbeiwerte in einem Gesamtsystem setzen sich zusammen aus:

Die um den Druckverlust ρ g HV erweiterte Druckgleichung lautet daher:

{\displaystyle (\rho g)H_{0}={\frac {\rho u^{2}}{2}}+p+\rho gz+\zeta {\frac {\rho u^{2}}{2}}={\text{const.}}}

Mit dieser Gleichung können bei Kenntnis der Verlustbeiwerte die üblichen Fragen der Bemessung von Rohrleitungssystemen mit turbulenter Strömung gelöst werden.

Für die Berechnung der Energieverluste wäre zwischen Einzelverlusten und Verlusten in geraden Rohren zu unterscheiden.

Einzelverluste

Diese werden nach der Formel

{\displaystyle H_{V}=\zeta {\frac {u^{2}}{2g}}}

berechnet. Die Druckverlustbeiwerte ζ betragen beispielhaft

ζ = 0,50 (senkrechter Einlauf, scharfkantig),
ζ = 0,06 bis 0,005 (senkrechter, abgerundeter Einlauf),
\zeta =\left(1-{\frac  {F_{1}}{F_{2}}}\right)^{2}
oder
ζ = 0,04.

Der Parameter ζ wird nach empirischen Formeln bestimmt, die von der Rauheit der Rohrleitung und dem Fließverhalten des Mediums abhängen.

Verluste in geraden Rohrleitungen

Diese werden nach der sogenannten Darcy-Weisbach-Gleichung zu

{\displaystyle I=\lambda {\frac {u^{2}}{2gd}}}
I: Energieliniengefälle, das heißt Verlusthöhe je Längeneinheit der Rohrleitung.
\lambda : Rohrreibungszahl (Verlustbeiwert)
d: Rohrdurchmesser

berechnet.

Erweiterte bernoullische Energiegleichung für instationäre Strömungen

Der Beitrag von Geschwindigkeitsänderungen mit der Zeit wird in der Bernoulli-Gleichung üblicher Weise unterschlagen, kann aber berücksichtigt werden:

{\displaystyle {\frac {u_{1}^{2}}{2}}+P_{1}+V_{1}={\frac {u_{2}^{2}}{2}}+P_{2}+V_{2}+\eta +\int _{1}^{2}{\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}\cdot \mathrm {d} {\vec {x}}.}

Das Integral der lokalen Beschleunigung {\displaystyle {\tfrac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}} entlang der Stromlinie zwischen den Punkten 1 und 2 wird zu einem festgehaltenen Zeitpunkt ausgewertet, siehe dazu das Beispiel unten.

Eine wesentliche Vereinfachung erfährt die Gleichung, wenn die Strömung verlust- und rotationsfrei ist oder – gleichbedeutend – eine Potentialströmung ist. Dann gibt es ein Geschwindigkeitspotential φ, dessen Gradient die Geschwindigkeit ist. In einer solchen Strömung gilt die erweiterte Bernoulli-Gleichung

{\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {grad} (\varphi )^{2}+P+V=C\,.}

sogar global, also für beliebige Punkte im Strömungsfeld. Die zu einem Zeitpunkt im gesamten Strömungsfeld konstante Größe C könnte noch von der Zeit abhängen aber diese Zeitabhängigkeit kann dem Potential φ zugeschlagen werden, ohne dass sich dessen physikalische Bedeutung {\displaystyle \operatorname {grad} (\varphi )={\vec {u}}} ändern würde.

Herleitung

Herleitung aus dem Energiesatz

Bis Mach 0,3 ist die Änderung der Luftdichte mit der Geschwindigkeit kleiner als 5 % und daher kann bei kleineren Geschwindigkeiten Inkompressibilität angenommen werden.

Die Bernoulli-Gleichung kann aus der Energiebilanz abgeleitet werden, die erfordert, dass in einer stationären Strömung zur Änderung der Energie eines Fluidelements Arbeit verrichtet werden muss. Die Arbeit ist die des Drucks und die Energien sind die Lageenergie und die kinetische Energie. Es zeigt sich dann, dass die Summe aus der Druckarbeit (etwas ungenau Druckenergie), der kinetischen und der Lageenergie entlang einer Stromlinie konstant ist.

Herleitung über die Energiebilanz 
Fluidballen (hellblau) in einem Stromfaden (königsblau)
Die Energiebilanz besagt, dass zur Änderung der Energie der Fluidelemente Arbeit verrichtet werden muss:
W = ΔEpot + ΔEkin

Darin ist W die mechanische Arbeit, die aufgewendet werden muss, um die Energiedifferenzen ΔEpot/kin zwischen den Zuständen 2 (nachher) und 1 (vorher) zu erzeugen.
Die mechanische Arbeit W ist die Arbeit des Drucks, die benötigt wird um eine Masse m = ρ V mit der Dichte ρ aus dem Volumen V mit Druck p1 in den Raum mit Druck p2 zu bringen. Die nötige Kraft F wird vom Druckunterschied an den Punkten 1 und 2 auf der Querschnittsfläche A1 ausgeübt: F = (p1 - p2) A1, siehe Bild. Denn der Druck p2 wirkt auch am rechten Ende des Fluidballens 1. Um die ganze Masse herauszudrücken muss diese Kraft entlang des Weges s1 mit V = A1 s1 arbeiten:

W = F s1 = (p1 - p2) A1 s1 = (p1 - p2) V

Die Differenz der Lageenergie nachher und vorher ist

ΔEpot = ρ V g (h2 - h1)

mit den Höhen h1,2. Die Differenz der kinetischen Energie nachher und vorher ist

ΔEkin = ½ ρ V (u2² - u1²)

mit den Geschwindigkeiten u1,2. Einsetzen dieser Zwischenergebnisse in die Energiebilanz liefert:

(p1 - p2) V = ρ V g (h2 - h1) + ½ ρ V (u2² – u1²)

Division durch das Volumen V und Umstellung führt auf die Bernoulli-Gleichung:

p1 + ρ g h1 + ½ ρ u1² = p2 + ρ g h2 + ½ ρ u2²

Herleitung aus den Navier-Stokes-Gleichungen

Heute kann die Bernoulli-Gleichung bei einem barotropen, Newton’schen Fluid in einem konservativen Schwerefeld aus den Navier-Stokes-Gleichungen hergeleitet werden. Die getroffenen Voraussetzungen gestatten die Vorabintegration der in den Navier-Stokes-Gleichungen vorkommenden Gradienten entlang einer Stromlinie, was auf die Bernoulli-Gleichung führt. Da die Druck-Dichte-Relation bei Gasen temperaturabhängig ist – Gase allgemein nicht barotrop sind – und Flüssigkeiten oft in guter Näherung inkompressibel sind, wird zumeist Inkompressibilität vorausgesetzt. Diese ist bei Strömungen weit unterhalb der Wellenausbreitungsgeschwindigkeit im Fluid in guter Näherung gegeben, siehe Bild.

Herleitung aus den Navier-Stokes-Gleichungen 
Betrachtet wird die Strömung eines barotropen, Newton’schen Fluids in einem konservativen Schwerefeld. Newton’sche Fluide gehorchen den Navier-Stokes-Gleichungen
{\displaystyle {\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+({\vec {u}}\cdot \nabla ){\vec {u}}=-{\frac {\nabla p}{\rho }}+{\vec {k}}+{\frac {1}{\rho }}[\mu \Delta {\vec {u}}+(\lambda +\mu )\nabla (\nabla \cdot {\vec {u}})]}

Darin ist {\vec {u}} das Geschwindigkeitsfeld in der Strömung, der Vektor {\vec {k}} eine Volumenkraftdichte wie beispielsweise die Schwerebeschleunigung, t die Zeit, ∂ die partielle Ableitung, Δ der Laplace-Operator, „·“ das (formale) Skalarprodukt mit dem Nabla-Operator \nabla , das in {\displaystyle \nabla \cdot {\vec {u}}} die Divergenz eines Vektorfeldes und in {\displaystyle ({\vec {u}}\cdot \nabla ){\vec {u}}=\operatorname {grad} ({\vec {u}})\cdot {\vec {u}}} mit dem Geschwindigkeitsgradient {\displaystyle \operatorname {grad} {\vec {u}}} den konvektiven Anteil an der substantiellen Beschleunigung bildet. Die Materialparameter μ und λ sind die Scherviskosität und die erste Lamé-Konstante. Werden diese zu Null gesetzt, ergibt sich die Herleitung aus den Euler-Gleichungen der Strömungsmechanik.
In einem barotropen Fluid ist die Dichte eine Funktion nur des Drucks. Dann gibt es eine Funktion P mit der Eigenschaft

{\displaystyle P:=\int {\frac {\mathrm {d} p}{\rho (p)}}\quad \Leftrightarrow \quad \mathrm {d} P={\frac {\mathrm {d} p}{\rho }}\quad \Leftrightarrow \quad \nabla P={\frac {1}{\rho }}\nabla p\,.}

In einem inkompressiblen Fluid ist die Dichte konstant und P = p / ρ. In einem konservativen Beschleunigungsfeld {\vec {k}} gibt es ein Potential V mit der Eigenschaft {\displaystyle {\vec {k}}=-\nabla V}. Ferner wird die Graßmann-Identität {\displaystyle ({\vec {u}}\cdot \nabla ){\vec {u}}={\tfrac {1}{2}}\nabla ({\vec {u}}\cdot {\vec {u}})-{\vec {u}}\times (\nabla \times {\vec {u}})} ausgenutzt, in der „ד das (formale) Kreuzprodukt zweier Vektoren bildet. Einsetzen dieser Zusammenhänge in die Navier-Stokes-Gleichungen liefert nach Umstellung:

{\displaystyle \nabla \left({\frac {1}{2}}{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}+P+V\right)+{\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}={\frac {1}{\rho }}[\mu \Delta {\vec {u}}+(\lambda +\mu )\nabla (\nabla \cdot {\vec {u}})]+{\vec {u}}\times (\nabla \times {\vec {u}})}

Bei Integration dieser Gleichung zu einer festgehaltenen Zeit t entlang einer Stromlinie {\displaystyle \gamma \colon s\in [s_{1},s_{2}]\mapsto {\vec {x}}(s)}, auf der definitionsgemäß {\displaystyle {\vec {u}}\parallel {\tfrac {\mathrm {d} {\vec {x}}(s)}{\mathrm {d} s}}} gilt, verschwindet der Beitrag des letzten Summanden auf der rechten Seite und das Integral liefert:

{\displaystyle \int _{\gamma }\nabla \left({\frac {1}{2}}{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}+P+V\right)\cdot \mathrm {d} {\vec {x}}+\int _{\gamma }{\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}\cdot \mathrm {d} {\vec {x}}=\int _{\gamma }{\frac {1}{\rho }}[\mu \Delta {\vec {u}}+(\lambda +\mu )\nabla (\nabla \cdot {\vec {u}})]\cdot \mathrm {d} {\vec {x}}=:-\eta \,.}

Der Verlustterm η ist für reale Strömungen zwar nur schwer exakt bestimmbar, lässt sich aber abschätzen. Für eine ortsabhängige Funktion f({\vec  {x}}) gilt in einem kartesischen Koordinatensystem mit x-, y- und z-Koordinaten :

{\displaystyle \int _{\gamma }(\nabla f)\cdot \mathrm {d} {\vec {x}}=\int _{\gamma }\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathrm {d} y+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathrm {d} z\right)=\int _{\gamma }\mathrm {d} f=f({\vec {x}}(s_{2}))-f({\vec {x}}(s_{1}))=:f_{2}-f_{1}}

Die Indizes 1 und 2 markieren die Werte an den Stellen {\displaystyle {\vec {x}}(s_{1,2})} zu Beginn und am Ende des betrachteten Stromlinienabschnitts. Die Integration des ersten Integrals auf der linken Seite kann daher ausgeführt werden:

{\displaystyle {\frac {u_{2}^{2}}{2}}+P_{2}+V_{2}-{\frac {u_{1}^{2}}{2}}-P_{1}-V_{1}+\int _{\gamma }{\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}\cdot \mathrm {d} {\vec {x}}=-\eta \,.}

Nach Umstellung entsteht die im Text angegebene erweiterte Bernoulli-Gleichung:

{\displaystyle {\frac {u_{1}^{2}}{2}}+P_{1}+V_{1}={\frac {u_{2}^{2}}{2}}+P_{2}+V_{2}+\eta +\int _{\gamma }{\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}\cdot \mathrm {d} {\vec {x}}.}

In einer stationären Strömung entfällt das verbliebene Integral auf der rechten Seite, in viskositätsfreien Strömungen verschwindet der Verlustterm η, im Schwerefeld der Erde ist V = g z und bei Inkompressibilität ist P = p / ρ.

Beispiel

Bernoullis Fig. 72 mit einem ausfließenden Behälter

Ein Behälter wie im Bild befinde sich im homogenen Schwerefeld der Erde mit Schwerebeschleunigung g sowie Umgebungsdruck p0 und sei mit einer idealen, inkompressiblen Flüssigkeit mit Dichte ρ gefüllt. Die Höhendifferenz zwischen der Oberfläche AB und dem Ausfluss o zwischen F und D sei h und der Durchmesser FD sei gegenüber der Oberfläche AB und der Höhe h vernachlässigbar klein. Zur Zeit t0 = 0 werde der Ausfluss geöffnet, so dass der Behälter in einer instationären Strömung ausläuft, wobei der Füllstand des Behälters durch einen Zufluss konstant gehalten werde. Gesucht ist die Ausströmungsgeschwindigkeit im Abflussrohr als Funktion der Zeit.

Zu einem Zeitpunkt t > t0 verbindet ein Stromfaden die Oberfläche AB (Punkt 1) und den Ausfluss o (Punkt 2). Die Geschwindigkeit im Behälter ACGB kann wegen des kleinen Durchmessers FD gegenüber AB vernachlässigt werden und die Geschwindigkeit auf den Querschnitten im Abflussrohr zwischen EG und FD (über die Distanz L) ist überall gleich u und ebenso ist ihre Änderung ∂u/∂t im Abflussrohr konstant. Die erweiterte Bernoulli-Gleichung für instationäre Strömungen liefert somit:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {p_{0}}{\rho }}+gh=&{\frac {p_{0}}{\rho }}+{\frac {u^{2}}{2}}+\int _{EG}^{FD}{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} s={\frac {p_{0}}{\rho }}+{\frac {u^{2}}{2}}+L{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}\\\rightarrow {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=&{\frac {gh}{L}}\left(1-{\frac {u^{2}}{2gh}}\right)\end{aligned}}}

Diese nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung kann durch Trennung der Variablen gelöst werden:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} u}{1-{\frac {u^{2}}{2gh}}}}=&{\frac {gh}{L}}\mathrm {d} t\\\rightarrow \int _{0}^{u}{\frac {\mathrm {d} v}{1-{\frac {v^{2}}{2gh}}}}=&{\frac {gh}{L}}\int _{0}^{t}\mathrm {d} \tau \\\rightarrow {\sqrt {2gh}}\operatorname {artanh} {\frac {u}{\sqrt {2gh}}}=&{\frac {gh}{L}}t\\\rightarrow u(t)=&{\sqrt {2gh}}\tanh \left({\frac {\sqrt {2gh}}{2L}}t\right)\end{aligned}}}

Darin ist artanh der Areatangens Hyperbolicus und tanh seine Umkehrfunktion Tangens Hyperbolicus. Die Geschwindigkeit hat zur Zeit t = 0 den Wert Null und erreicht für t → ∞ asymptotisch den Grenzwert {\displaystyle u_{\infty }={\sqrt {2gh}}}, was das Torricelli’sche Ausflussgesetz darstellt.

Dieses Gesetz ergibt sich aus der Bernoulli-Gleichung schneller mit der Annahme einer stationären Strömung:

{\displaystyle {\frac {p_{0}}{\rho }}+gh={\frac {p_{0}}{\rho }}+{\frac {u^{2}}{2}}\quad \rightarrow \quad u={\sqrt {2gh}}.}

Siehe auch

Bernoulli-Effekt:



Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
©  biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 27.12. 2018