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Geschwindigkeitspotential

Das Geschwindigkeitspotential \phi führt man für wirbelfreie, zwei- und dreidimensionale Strömungen der Fluiddynamik ein. Mit ihm vereinfachen sich die Rechnungen und man gewinnt ein tieferes mathematisch-physikalisches Verständnis. Das Geschwindigkeitspotential der Fluiddynamik entspricht mathematisch dem elektrostatischen bzw. dem Gravitationspotential.

Dieser Artikel behandelt den zweidimensionalen Fall - der dreidimensionale ist im Artikel Potentialströmung dargestellt.

Löst man die Gleichung \phi (x,y)= \text{const.}, so erhält man die Äquipotentiallinien des Strömungsfeldes.

Außerdem führt man die Stromfunktion \psi ein, deren anschauliche Bedeutung darin besteht, dass die Lösungen der Gleichung \psi(x,y) = \text{const.} die Stromlinien des Geschwindigkeitspotentiales darstellen.

Aus dem Geschwindigkeitspotential und der Stromfunktion bildet man das komplexe Geschwindigkeitspotential.

Grundlagen

Für ein wirbelfreies zweidimensionales Strömungsfeld \vec u(x,y) gilt, dass die Rotation gleich 0 ist:

\vec \nabla \times \vec u(x,y) = 0

Ähnlich wie im Fall des elektrostatischen Potentials führt man nun das Geschwindigkeitspotential \phi (x,y) ein. Der Gradient dieses Potentials ist dabei gerade das Strömungsfeld:

\vec u(x,y) = \vec \nabla \phi(x,y) = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} , \frac{\partial \phi}{\partial y} \right)

Wegen \vec \nabla \times \vec \nabla \phi(x,y) = 0 ist das Strömungsfeld automatisch wirbelfrei.

Ferner gilt für das Geschwindigkeitsfeld im Falle einer inkompressiblen Strömung auch die Kontinuitätsgleichung:

\vec \nabla \cdot \vec u(x,y) = 0

Setzt man darin die Definition des Geschwindigkeitspotentials ein, so sieht man, dass \phi (x,y) die Laplace-Gleichung (als Sonderfall der Poisson-Gleichung) erfüllt:

\vec \nabla \cdot \vec u(x,y) = \vec \nabla \cdot \vec \nabla \phi(x,y) = \Delta \phi(x,y) = 0

Die Stromfunktion

Hauptartikel: Stromfunktion

Das Geschwindigkeitspotential \phi (x,y) wurde so eingeführt, dass die Wirbelfreiheit automatisch erfüllt ist. Allerdings musste die Erfüllung der Kontinuitätsgleichung bzw. der Laplace-Gleichung explizit gefordert werden.

Nun führt man die Stromfunktion \psi (x,y) ein, die definiert ist durch:

\vec u = \left( \frac{\partial \psi}{\partial y},- \frac{\partial \psi}{\partial x} \right)

Aus dieser Definition sieht man, dass die Kontinuitätsgleichung automatisch erfüllt ist:

\vec \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial^2 \psi}{\partial x \cdot \partial y} - \frac{\partial^2 \psi}{\partial y \cdot \partial x} = 0

Die Rotationsfreiheit muss allerdings explizit gefordert werden:

\frac{\partial u_y}{\partial x} - \frac{\partial u_x}{\partial y} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial y^2} = 0

Die Stromfunktion erfüllt in wirbelfreien Strömungen ebenfalls die Laplace-Gleichung.

Komplexes Geschwindigkeitspotential

Mit den Definitionen von Geschwindigkeitspotential \phi und Stromfunktion \psi ergibt sich:

u_x = \frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{\partial \psi}{\partial y} \quad \wedge \quad u_y = \frac{\partial \phi}{\partial y} = -\frac{\partial \psi}{\partial x}

Dies ist exakt von der Form der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen für eine holomorphe Funktion, mit Realteil \phi und Imaginärteil \psi. Somit führt man das komplexe Geschwindigkeitspotential w(z) ein:

w(z) = \phi(z) + i \cdot \psi(z) \quad \textrm{mit} \quad z = x + i \cdot y

Damit erfüllt das komplexe Geschwindigkeitspotential ebenfalls die Laplace-Gleichung:

\Delta w(z) = \Delta \phi(z) + i \cdot \Delta \psi(z) = 0
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Basierend auf einem Artikel in Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 08.12. 2020