Euler-Gleichungen (Strömungsmechanik)

Strömung um einen Tragflügel. Diese inkompressible Strömung genügt den Euler-Gleichungen.

Die Euler-Gleichungen (oder auch eulerschen Gleichungen) der Strömungsmechanik sind ein von Leonhard Euler entwickeltes mathematisches Modell zur Beschreibung der Strömung von reibungsfreien elastischen Fluiden. Im engeren Sinne ist mit Euler-Gleichungen die Impulsgleichung für reibungsfreie Strömungen gemeint. Diese wird manchmal auch als Eulersche Gleichung bezeichnet. Im weiteren Sinne wird diese um die Kontinuitätsgleichung und die Energiegleichung erweitert und bildet dann ein System von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung.

Die zugehörigen Impulsgleichungen sind in eulerscher Betrachtungsweise formuliert und lauten:

${\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}+{\frac {1}{\rho }}\cdot \nabla p={\vec {k}}\quad \iff \quad {\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}v_{j}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}=k_{i}\;,\quad i=1,2,3\,.$

Der Vektor ${\vec {v}}$ ist das Geschwindigkeitsfeld im Fluid mit Komponenten $v_{{1,2,3}}$ in Richtung der kartesischen Koordinaten $x_{{1,2,3}}$ , $\rho$ die Dichte, der Druck und ${\vec {k}}$ eine äußere volumenverteilte Beschleunigung (z.B. Schwerebeschleunigung). Der Vektorgradient $({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}$ entspricht dem Produkt aus dem Geschwindigkeitsgradienten und der Geschwindigkeit: $({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}=\operatorname {grad}({\vec {v}})\cdot {\vec {v}}$ Der Gradient des Drucks entspricht $p\cdot \nabla =\operatorname {grad} (p)$ . Alle Variablen in den Euler-Gleichungen sind im Allgemeinen sowohl vom Ort als auch von der Zeit abhängig. Die linke Vektorgleichung ist die koordinatenfreie Version, die in beliebigen Koordinatensystemen gilt, und die rechten Komponentengleichungen ergeben sich im Sonderfall des kartesischen Koordinatensystems.

Die Navier-Stokes-Gleichungen beinhalten diese Gleichungen als den Sonderfall, in dem die innere Reibung (Viskosität) und die Wärmeleitung des Fluids vernachlässigt werden. Anwendung finden die Euler-Gleichungen bei laminaren Strömungen, wie sie in technischen Rohrströmungen oder in der Flugzeugentwicklung in guter Näherung angenommen werden können. Bei Inkompressibilität lässt sich aus den Euler-Gleichungen die Bernoulli-Gleichung ableiten und bei zusätzlich wirbelfreier Strömung ergeben sich Potentialströmungen.

Herleitung

Die Euler-Gleichungen können auf verschiedene Weise hergeleitet werden: Ein verbreiteter Ansatz wendet das Transporttheorem von Reynolds auf das zweite newtonsche Axiom an. Das Transporttheorem beschreibt die zeitliche Änderung einer physikalischen Größe in einem bewegten Kontrollvolumen.

Ein weiterer Ansatz geht von der Boltzmann-Gleichung aus: Der Kollisionsoperator wird dort mit drei möglichen Termen multipliziert, den sog. Kollisionsinvarianten. Nach Integration über die Teilchengeschwindigkeit entstehen Kontinuitätsgleichung, Impulsgleichung und Energiebilanz. Schließlich wird eine Skalierung für große Zeit- und Raumabmessungen durchgeführt (Hydrodynamische Limites), und das Ergebnis sind die erweiterten Euler-Gleichungen.

Formulierung

Impulsgleichung

Der wesentliche Teil der Euler-Gleichungen ist das erste Cauchy-Euler’sche Bewegungsgesetz, das dem Impulssatz entspricht:

$\rho \left[{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {v}}+\operatorname {grad}({\vec {v}})\cdot {\vec {v}}\right]=\rho \,{\vec {k}}+\operatorname {div}({\boldsymbol {\sigma }})\,.$

Auf der linken Seite der Gleichung steht in den eckigen Klammern die substanzielle Beschleunigung, bestehend aus der lokalen und der konvektiven Beschleunigung:

$\frac{\mathrm{D}\vec{v}}{\mathrm{D} t} =\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} +\operatorname{grad}(\vec{v})\cdot\vec{v}\;.$

Zusätzlich zu den eingangs beschriebenen Variablen tritt der Cauchy’sche Spannungstensor ${\boldsymbol {\sigma }}$ und der Divergenzoperator $\operatorname {div}$ auf. Innere Reibung, die sich in Viskosität und damit in Schubspannungen zeigen würde, wird in elastischen Fluiden vernachlässigt, weshalb der Spannungstensor dort Diagonalgestalt hat. Des Weiteren ist jedes Fluid auch isotrop. Wird nun ein Fluid gedanklich in zwei Teile zerschnitten, dann bilden sich an den Schnittflächen Schnittspannungen aus, die senkrecht zur Schnittfläche sind, denn der Druck in einem elastischen Fluid wirkt immer senkrecht auf begrenzende Flächen. In einer isotropen Flüssigkeit muss die Normalspannung für alle Orientierungen der Schnittfläche dieselbe sein weshalb der Spannungstensor mithin ein Vielfaches des Einheitstensors $\mathbf {I}$ ist: ${\boldsymbol {\sigma }}=-p{\mathbf {I}}$ . Ein Spannungstensor dieser Form wird auch Drucktensor genannt, denn der Proportionalitätsfaktor ist der Druck. Ausführung der Ableitung zeigt: $\operatorname {div}(-p{\mathbf {I}})=-\operatorname {grad}(p)$ . Dies in das Bewegungsgesetz eingesetzt ergibt die Euler-Gleichungen

$\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \operatorname{grad}(\vec{v})\cdot\vec{v} + \frac{1}{\rho} \operatorname{grad}(p) = \vec{k}\;.$

In kartesischen Koordinaten lautet diese Gleichung im zweidimensionalen Fall für $\vec{v}=(v_1, v_2)\,,\;\vec{x}=(x_1, x_2)$ und $\vec{k}=(k_1, k_2)$ vollständig ausgeschrieben:

Parametrisierung des Raumes mit Zylinderkoordinaten

Parametrisierung des Raumes mit Kugelkoordinaten

$\begin{align} \frac{\partial v_1}{\partial t} + v_1\frac{\partial v_1}{\partial x_1} + v_2\frac{\partial v_1}{\partial x_2} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_1} & = k_1 \\ \frac{\partial v_2}{\partial t} + v_1\frac{\partial v_2}{\partial x_1} + v_2\frac{\partial v_2}{\partial x_2} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_2} &= k_2\;. \end{align}$

In Zylinderkoordinaten schreiben sich die Gleichungen

$\begin{array}{rcl} \rho\left(\frac{\mathrm{D}v_R}{\mathrm{D}t}-\frac{v_\varphi^2}{R}\right) &=& -\frac{\partial p}{\partial R} + k_R \\ \rho\left(\frac{\mathrm{D}v_\varphi}{\mathrm{D}t}-\frac{v_R v_\varphi}{R}\right) &=& -\frac{1}{R}\frac{\partial p}{\partial\varphi} + k_\varphi \\ \rho\frac{\mathrm{D}v_z}{\mathrm{D}t} &=& -\frac{\partial p}{\partial z}+k_z \\ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t} &:=& \frac{\partial}{\partial t}+v_R\frac{\partial}{\partial R} +\frac{v_\varphi}{R}\frac{\partial}{\partial\varphi}+v_z\frac{\partial}{\partial z} \end{array}$

Der Operator $\mathrm{D}/\mathrm{D}t$ bildet die substantielle Ableitung und die radiale Koordinate wurde mit statt mit $\rho$ bezeichnet, um eine Verwechselung mit der Dichte zu vermeiden. In Kugelkoordinaten ergibt sich:

$\begin{array}{rcl} \rho\left(\frac{\mathrm{D}v_r}{\mathrm{D}t}-\frac{v_\varphi^2+v_\theta^2}{r}\right) &=& -\frac{\partial p}{\partial r} + k_r \\ \rho\left(\frac{\mathrm{D}v_\varphi}{\mathrm{D}t} +\frac{v_r v_\varphi+v_\theta v_\varphi\cot\theta}{r}\right) &=& -\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial p}{\partial\varphi} + k_\varphi \\ \rho\left(\frac{\mathrm{D}v_\theta}{\mathrm{D}t} +\frac{v_r v_\theta-v_\varphi^2\cot\theta}{r}\right) &=& -\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial\theta}+k_\theta \\ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t} &:=& \frac{\partial}{\partial t}+v_r\frac{\partial}{\partial r} +\frac{v_\varphi}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\varphi} +\frac{v_\theta}{r}\frac{\partial}{\partial\theta} \end{array}$

Flussformulierung

Obige Bewegungsgleichung ist bei vernachlässigbarer Beschleunigung ${\vec {k}}$ > auf Grund der Kontinuitätsgleichung äquivalent zur Bilanzgleichung der Impulsdichte ${\vec m}=\rho {\vec {v}}$ für ideale Fluide:

${\frac {\partial {\vec {m}}}{\partial t}}+\operatorname {div}({\vec {v}}\otimes {\vec {m}})+\operatorname {grad}(p)={\vec {0}}$

oder in alternativer Schreibweise

${\frac {\partial {\vec {m}}}{\partial t}}+\operatorname {div}({\vec {v}}\otimes {\vec {m}}+p{\mathbf {I}})={\vec {0}}\;.$

Das Rechenzeichen „ $\otimes$ “ bildet das dyadische Produkt. Der symmetrische Tensor

$\vec{v}\otimes\vec{m} = \vec{m}\otimes\vec{v} = \rho\vec{v}\otimes\vec{v} = \sum_{i,j=1}^3 v_i m_j\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j$

ist der konvektive Transport der Impulsdichte, seine Divergenz

$\operatorname {div}({\vec {v}}\otimes {\vec {m}})=\operatorname {div}({\vec {v}}){\vec {m}}+\operatorname {grad}({\vec {m}})\cdot {\vec {v}}$

ist der konvektive Impulsfluss.

Integriert man über ein ortsfestes Volumen und wendet den Gaußschen Integralsatz an, so erhält man:

$\frac {\partial}{\partial t} \int_V \vec{m} \; \mathrm{d}V + \oint_S ( \vec{v}\otimes\vec{m} + p \mathbf{I} ) \cdot \vec{n} \; \mathrm{d} S = \vec{0}\;.$

Hierbei ist das Volumen mit der Oberfläche und ${\vec {n}}$ ist der Normaleneinheitsvektor auf dem Flächenelement $\mathrm{d}S$ . Diese Formulierung der Gleichung beweist die Erhaltung des Impulses bei Einführung des statischen Druckes . Der Druck ist eine Oberflächenkraft und nimmt Einfluss auf den Impuls durch Austausch mit der Umgebung. Kräfte werden nur senkrecht zur Oberfläche übertragen, es treten keine Reibungskräfte auf.

Umgekehrt folgen die Euler-Gleichungen aus der Impulsbilanz an beliebigen, hinreichend glatt berandeten Volumina , wenn man annimmt, dass es einen hydrostatischen Druck gibt und nur dieser Kräfte auf (und zwar über die Oberfläche und nur in Normalenrichtung) überträgt – vorausgesetzt die auftretenden Funktionen sind hinreichend glatt, um den Gaußschen Integralsatz anwenden zu können.

Vollständiges Gleichungssystem

Obige Impulsgleichung stellt (selbst mit passenden Rand- und Anfangsbedingungen) kein geschlossenes System dar. Intuitiv sieht man dies bereits, da man im -Dimensionalen nur Differentialgleichungen für n+1 unbekannte Funktionen (Geschwindigkeit und Druck) hat. Um das System zu schließen, ist noch mindestens eine weitere Gleichung nötig.

Inkompressibler Fall

Die Annahme der Inkompressibilität ist für Flüssigkeiten bei moderaten Drücken und für Gaströmungen weit unterhalb der Schallgeschwindigkeit eine häufig sinnvolle Näherung. Inkompressible Fluide sind dichtebeständig ( $\rho ={\text{const.}}$ ) und das Gleichungssystem wird durch Hinzunahme der Massenerhaltung in Form der Kontinuitätsgleichung

$\operatorname {div}{\vec {v}}=0$

geschlossen. Die Lösung der Gleichungen vereinfacht sich dadurch, dass sich der Druck durch Bildung der Rotation aus der Euler-Gleichung eliminieren lässt:

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial t}\operatorname{rot}(\vec{v}) +\operatorname{rot(grad}(\vec{v})\cdot\vec{v}) +\frac{1}{\rho} \underbrace{\operatorname{rot(grad}(p))}_{=\vec{0}} =& \frac{\partial}{\partial t}\operatorname{rot}(\vec{v}) +\underbrace{\operatorname{rot}\left(\frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}\cdot\vec{v})\right)}_{=\vec{0}} -\operatorname{rot}(\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})=\operatorname{rot}(\vec{k}) \\ \rightarrow \frac{\partial}{\partial t}\operatorname{rot}(\vec{v}) =& \operatorname{rot}(\vec{v}\times\operatorname{rot}(\vec{v}))+\operatorname{rot}(\vec{k})\,. \end{align}$

Hier wurde die Grassmann-Entwicklung ^{[F
1]} eingesetzt und ausgenutzt, dass Gradientenfelder immer rotationsfrei sind.

Der Druck berechnet sich bei Inkompressibilität nicht aus einer Zustandsgleichung der Form > $p=p(\rho )$ sondern allein aus der Impulsbilanz in Form der Euler-Gleichung und den Randbedingungen, d.h. aus dem bereits berechneten Geschwindigkeitsfeld. Anwendung der Divergenz auf die Euler-Gleichung liefert die Bestimmungsgleichung für den Druck^{[F
2]}:

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}\underbrace {\operatorname {div}({\vec {v}})}_{{=0}}+\operatorname {div(grad}({\vec {v}})\cdot {\vec {v}})+{\frac {1}{\rho }}\underbrace {\operatorname {div(grad}(p))}_{{=\Delta p}}=&\operatorname {div}(\operatorname {grad}({\vec {v}}))\cdot {\vec {v}}+\operatorname {Sp(grad}({\vec {v}})\cdot \operatorname {grad}({\vec {v}}))+{\frac {1}{\rho }}\Delta p\\=&\operatorname {grad}(\underbrace {\operatorname {div}({\vec {v}})}_{{=0}})\cdot {\vec {v}}+\operatorname {Sp(grad}({\vec {v}})\cdot \operatorname {grad}({\vec {v}}))+{\frac {1}{\rho }}\Delta p=\operatorname {div}({\vec {k}})\\\rightarrow \Delta p=&\rho \operatorname {div}({\vec {k}})-\rho \operatorname {Sp(grad}({\vec {v}})\cdot \operatorname {grad}({\vec {v}}))\,.\end{aligned}}$

Der Operator $\operatorname{Sp}$ berechnet die Spur und das Produkt der Geschwindigkeitsgradienten wird mit dem Tensorprodukt „ $\cdot$ “ gebildet. In kartesischen Koordinaten entwickelt sich:

$\operatorname {Sp(grad}({\vec {v}})\cdot \operatorname {grad}({\vec {v}}))=\operatorname {Sp}\left(\sum _{{i,j=1}}^{3}{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial x_{i}}}\otimes {\hat {e}}_{i}\cdot {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial x_{j}}}\otimes {\hat {e}}_{j}\right)=\operatorname {Sp}\left(\sum _{{i,j=1}}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial x_{i}}}\otimes {\hat {e}}_{j}\right)=\sum _{{i,j=1}}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\,.$

Kompressibler Fall

Bei kompressiblen Fluiden und insbesondere, wenn die Temperatur als weitere Unbekannte eine Rolle spielt, benötigt man außerdem die Energieerhaltung und Zustandsgleichungen (d.h. konstitutive Gleichungen) des zu modellierenden Fluids. Im dreidimensionalen Fall ergeben sich so die fünf gekoppelten Differentialgleichungen

${\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+\left(\operatorname {div}{\mathbf {f}}\left({\vec {u}}\right)\right)^{{\top }}={\vec {0}}\;,$

wobei ${\vec {u}}=\left(\rho ,\,\rho v_{1},\,\rho v_{2},\,\rho v_{3},\,\rho H\right)^{{\top }}$ der Vektor der Erhaltungsvariablen ist und der Fluss ${\mathbf {f}}=\left({\vec {f}}_{1},\,{\vec {f}}_{2},\,{\vec {f}}_{3}\right)^{{\top }}$ mit der Enthalpie durch folgende Ausdrücke gegeben ist:

$\vec{f}_1 = \begin{pmatrix}\rho v_1 \\ \rho v_1^2 + p \\ \rho v_1 v_2 \\ \rho v_1 v_3 \\ \rho v_1 H \end{pmatrix}\,, \quad \vec{f}_2 = \begin{pmatrix}\rho v_2 \\ \rho v_1 v_2 \\ \rho v_2^2 + p \\ \rho v_2 v_3 \\ \rho v_2 H \end{pmatrix}\,, \quad \vec{f}_3 = \begin{pmatrix}\rho v_3 \\ \rho v_1 v_3 \\ \rho v_2 v_3 \\ \rho v_3^2 + p \\ \rho v_3 H \end{pmatrix}\;.$

Die erste Gleichung in diesem System ist die Kontinuitätsgleichung für den kompressiblen Fall

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{div} \left( \rho\,\vec{v} \right) = 0\;,$

die zweite bis vierte Gleichung sind die Impulsgleichungen (Euler-Gleichungen im engeren Sinn, siehe oben) und die letzte Gleichung ist die Energiebilanz. Zusammen mit einer thermischen Zustandsgleichung, welche Druck , Temperatur und Dichte $\rho$ miteinander verknüpft, sowie einer kalorischen Zustandsgleichung, welche Temperatur , Druck und Enthalpie verknüpft, erhält man ein formal geschlossenes Gleichungssystem, um die sieben unbekannten Größen Geschwindigkeit $v_{1}$ , $v_{2}$ und $v_{3}$ , Druck , Dichte $\rho$ , Temperatur und Enthalpie zu berechnen. In der Praxis wird oft ein perfektes Gas-Modell verwendet, d.h. ein ideales Gas mit konstanter spezifischer Wärmekapazität.

In diesem Modell werden Wärmeleitung und innere Reibung vernachlässigt. Berücksichtigt man auch Reibungs- und gegebenenfalls Wärmeleitungseffekte, so erhält man an Stelle der Euler-Gleichungen die Navier-Stokes-Gleichungen für kompressible Fluide.

Randbedingungen

An festen Wänden wird als Bedingung gesetzt, dass die Geschwindigkeit in Normalenrichtung ${\vec {n}}$ null ist $\vec{n}\cdot\vec{v} = 0\,,$ so dass das Fluid nicht durch die Wand hindurchströmen kann. Auf einer beliebig, zeitabhängig geformten Fläche, die durch eine Funktion $f({\vec {x}},t)=0$ beschrieben wird und deren Normale dann ${\vec {n}}=\operatorname {grad}(f)$ ist, wird

$\frac{\partial f(\vec{x},t)}{\partial t}+\operatorname{grad}\bigl(f(\vec{x},t)\bigr)\cdot\vec{v}(\vec{x},t)=0$

für alle ${\vec {x}}$ auf dem Rand des Fluides gesetzt. An die Tangentialkomponente der Geschwindigkeit wird hier wegen der angenommenen Reibungsfreiheit keine Bedingung gestellt, was im Gegensatz zu den Navier-Stokes-Gleichungen ist, bei denen die No-Slip-Bedingung gilt.

Außerdem können Druckrandbedingungen, wie an der freien Oberfläche eines Gewässers, auftreten. Weil Druck nur auf materielle Teilchen ausgeübt werden kann, ist eine solche Oberfläche eine materielle Fläche, deren substantielle Zeitableitung daher verschwindet und die Randbedingung lautet dann:

$\frac{\mathrm{D}g(\vec{x},t)}{\mathrm{D} t} = \frac{\partial g(\vec{x},t)}{\partial t}+\operatorname{grad}\bigl(g(\vec{x},t)\bigr)\cdot\vec{v}(\vec{x},t)=0 \quad\text{und}\quad p(\vec{x},t)=p_0(\vec{x},t)$

für alle ${\vec {x}}$ auf dem Rand des Fluides, der durch die Funktion beschrieben wird und auf dem der Druck $p_{0}$ vorgegeben ist. Die Normalkomponente der Geschwindigkeit verschwindet auf solchen Flächen im Allgemeinen nicht, so dass sie von der Strömung mitgenommen werden, und die Bestimmung der Fläche gehört dann mit zum Problem. Zumeist, vor allem im technischen Bereich wie z.B. am Auslass eines durchströmten Rohres, ist die Fläche bekannt, was die Aufgabenstellung erheblich vereinfacht.

Mathematische Eigenschaften

Die Euler-Gleichungen gehören zur Klasse der nichtlinearen hyperbolischen Erhaltungsgleichungen. Damit treten in der Regel nach endlicher Zeit auch bei glatten Anfangsdaten Unstetigkeiten auf, etwa Schocks (Verdichtungsstöße). Unter starken Voraussetzungen existieren im relevanten Fall $\rho ,p>0$ globale glatte Lösungen, etwa dann, wenn die Lösung sich in einer Art Verdünnungswelle fortbewegt. Im stationären Fall ist die Gleichung je nach Mach-Zahl elliptisch oder hyperbolisch. Bei einer transsonischen Strömung treten dann sowohl Unterschall als auch Überschallgebiete auf, und die Gleichung hat gemischten Charakter.

Die Eigenwerte der Gleichungen sind die Geschwindigkeit in Normalenrichtung $v_{n}$ (mit Vielfachheit der Dimension) und diese plus minus die Schallgeschwindigkeit, $v_{n}\pm c$ . Damit sind die Euler-Gleichungen unter Verwendung der idealen Gasgleichung als Druckfunktion im Eindimensionalen sogar strikt hyperbolisch, so dass es für diesen Fall brauchbare Existenz- und Eindeutigkeitsresultate gibt. Im Mehrdimensionalen sind sie aufgrund des mehrfachen Eigenwerts nicht mehr strikt hyperbolisch. Damit ist die mathematische Lösung extrem schwierig. Hierbei dreht es sich vor allem um das Bestimmen physikalisch sinnvoller schwacher Lösungen, also solcher, die sich als Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen mit verschwindender Viskosität interpretieren lassen.

Neben den oben erwähnten Unterschieden bei den Randbedingungen und im Hinblick auf Grenzschichtbildung, ist das Fehlen von Turbulenz ein wesentlicher Unterschied zwischen den Euler- und den Navier-Stokes-Gleichungen.

Die Euler-Gleichungen sind rotationsinvariant. Darüber hinaus sind die Flussfunktionen homogen, es gilt also ${\vec {f}}_{l}({\vec {u}})={\frac {\partial {\vec {f}}_{l}({\vec {u}})}{\partial {\vec {u}}}}{\vec {u}}$ .

Lars Onsager vermutete 1949, dass sich schon bei der Eulergleichung Turbulenz-Phänomene zeigen, obwohl dort keine innere Reibung (Viskosität) vorhanden ist wie bei der Navier-Stokes-Gleichung. Speziell stellte er die Vermutung auf, dass die schwachen Lösungen der dreidimensionalen inkompressiblen Eulergleichung beim Exponenten der Hölder-Stetigkeit von einem Drittel einen Verhaltenswechsel zeigen: unterhalb gibt es Lösungen mit anomaler Dissipation der (kinetischen) Energie (Verletzung der Energieerhaltung), oberhalb nicht. Die Vermutung wurde nach Vorarbeiten einer Reihe von Mathematikern 2017 von Philip Isett bewiesen.

Numerische Lösung

Da die Euler-Gleichungen Erhaltungsgleichungen darstellen, werden sie in der Regel mit Hilfe von Finite-Volumen-Verfahren gelöst. Umgekehrt waren die Bemühungen aus dem Bereich der Aerodynamik seit den 1950ern, die Euler-Gleichungen numerisch zu simulieren, treibende Kräfte bei der Entwicklung von Finite-Volumen-Verfahren. Da im Gegensatz zu den Navier-Stokes-Gleichungen keine Grenzschicht berücksichtigt werden muss, kann die Simulation auf vergleichsweise groben Rechengittern passieren. Die zentrale Schwierigkeit stellt die Behandlung des Euler-Flusses dar, der üblicherweise mit Hilfe von approximativen Riemann-Lösern behandelt wird. Diese liefern eine Näherung an die Lösung von Riemann-Problemen entlang von Zellkanten. Das Riemann-Problem der Euler-Gleichungen ist sogar exakt lösbar, allerdings ist die Berechnung dieser Lösung extrem aufwändig. Seit den 1980ern wurden deswegen zahlreiche approximative Löser entwickelt, angefangen mit dem Roe-Löser bis hin zur AUSM-Familie in den 1990ern.

Bei der Zeitintegration ist die CFL-Bedingung zu beachten. Gerade im Bereich von Machzahlen nahe null oder eins werden die Gleichungen aufgrund der unterschiedlich Eigenwertskalen sehr steif, was den Einsatz impliziter Zeitintegrationsverfahren notwendig macht: die CFL-Bedingung orientiert sich am größten Eigenwert ( $v_{n}\pm c$ ), während die für die Simulation relevanten Teile der Strömung sich mit $v_{n}$ bewegen. Ein explizites Verfahren bräuchte damit in den meisten Fällen inakzeptabel viele Zeitschritte.

Die Lösung dabei auftretender nichtlinearer Gleichungssysteme erfolgt dann entweder mit Hilfe von vorkonditionierten Newton- Krylow-Verfahren oder mit speziellen nichtlinearen Mehrgitter-Verfahren.

Spezialfälle

Aus den Euler-Gleichungen können eine Reihe gasdynamischer Grundgleichungen abgeleitet werden. Dazu gehören die eingangs erwähnte Bernoulli’sche Energiegleichung und die Potentialströmung, denen eigene Artikel gewidmet sind. Im Folgenden sollen die Wellengleichungen der linearen Akustik, die Erhaltung der kinetischen Energie der Fluidelemente in einem festen Volumen und die Stromfunktion in ebenen, dichtebeständigen und stationären Strömungen vorgestellt werden.

Wellengleichungen der linearen Akustik

Gegeben sei ein ruhendes, im Gleichgewicht befindliches Gas, in dem also das Geschwindigkeitsfeld, die Dichte, der Druck und die Temperatur räumlich und zeitlich konstant sind. Dies bezeichne den Grundzustand des Gases. Betrachtet werden Größen $\varphi =\varphi _{0}+\varphi '$ , deren konstantem Grundzustand $\varphi _{0}$ kleine Störungen $\varphi'$ überlagert werden, deren örtlichen Ableitungen ebenfalls klein seien. Die Störungen seien zudem so klein und schnell, dass die Wärmeflüsse ebenfalls vernachlässigt werden können („adiabatische Prozesse“). Dann lautet die Massenbilanz an der Stelle ${\vec {v}}_{0}={\vec {0}}$ :

${\frac {\partial (\rho _{0}+\rho ')}{\partial t}}+\operatorname {div}[(\rho _{0}+\rho '){\vec {v}}']={\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\operatorname {div}(\rho _{0}{\vec {v}}')+\operatorname {div}(\rho '{\vec {v}}')\approx {\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\operatorname {div}({\vec {v}}')=0\,.$		(I)

Die Euler-Gleichung nimmt die Form

${\frac {\partial {\vec {v}}'}{\partial t}}+\operatorname {grad}({\vec {v}}')\cdot {\vec {v}}'+{\frac {1}{\rho _{0}+\rho '}}\operatorname {grad}(p_{0}+p')\approx {\frac {\partial {\vec {v}}'}{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\operatorname {grad}(p')={\vec {k}}$		(II)

an, denn die quadratische konvektive Beschleunigung kann gegenüber der lokalen Beschleunigung vernachlässigt werden. Partielle Zeitableitung der Massenbilanz (I) und Subtraktion der mit $\rho _{0}$ multiplizierten Divergenz der Euler-Gleichung (II) liefert bei divergenzfreier Schwerebeschleunigung ( $\operatorname {div}\,{\vec {k}}=0$ ):

${\begin{aligned}0&={\frac {\partial ^{2}\rho '}{\partial t^{2}}}+\rho _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\operatorname {div}({\vec {v}}')\\0&=\rho _{0}\operatorname {div}\left({\frac {\partial {\vec {v}}'}{\partial t}}\right)+\underbrace {\operatorname {div}(\operatorname {grad}(p'))}_{{=\Delta p'}}\\\Rightarrow \quad 0&={\frac {\partial ^{2}\rho '}{\partial t^{2}}}+\underbrace {\rho _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\operatorname {div}({\vec {v}}')-\rho _{0}\operatorname {div}\left({\frac {\partial {\vec {v}}'}{\partial t}}\right)}_{{=0}}-\Delta p'={\frac {\partial ^{2}\rho '}{\partial t^{2}}}-\Delta p'\,.\end{aligned}}$

In einem idealen Gas ist die Druckänderung unter den getroffenen Voraussetzungen proportional zur Änderung der Dichte, $p'=c^{2}\rho '$ , und so entstehen die Wellengleichungen der linearen Akustik:

${\dfrac {\partial ^{2}\rho '}{\partial t^{2}}}=c^{2}\Delta \rho '\quad ,\qquad {\dfrac {\partial ^{2}p'}{\partial t^{2}}}=c^{2}\Delta p'\,.$

Die Konstante ist die Schallgeschwindigkeit und $\Delta$ ist der Laplace-Operator.

Energieerhaltung

In einem konservativen Schwerefeld bleibt in einem vollständig mit einem inkompressiblen Fluid ausgefüllten, festen Volumen die kinetische Energie der Fluidelemente in der Summe konstant. Das Fluid kann nicht zur Ruhe kommen, weil

in den Euler-Gleichungen kein Dissipationsmechanismus in Form von innerer Reibung (Viskosität) oder Reibung an den Wänden vorhanden ist,
ein Umsatz der kinetischen Energie in Lageenergie wegen des vollständig gefüllten Volumens und der konstanten Dichte in der Summe nicht möglich ist und weil
die kinetische Energie wegen der Inkompressibilität keine Kompressionsarbeit leisten kann.

Beweis

Um das nachzuweisen, ist zunächst festzustellen, dass in einem inkompressiblen Fluid die Divergenz der Geschwindigkeit verschwindet und die Dichte konstant ist. Damit lauten die Euler-Gleichungen in einem konservativen Schwerefeld mit $\vec{k}=-\operatorname{grad}V$ :

$\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+\operatorname{grad}(\vec{v})\cdot\vec{v} =:\dot{\vec{v}} =-\frac{1}{\rho}\operatorname{grad}p+\vec{k} =-\operatorname{grad}\left(\frac{p}{\rho}+V\right) =:\operatorname{grad}\,B \,.$

Der aufgesetzte Punkt bezeichnet die substantielle Zeitableitung. Von der gesamten kinetischen Energie

$E_{\mathrm{kin}}:=\int_{v_0}\frac{1}{2}\vec{v}\cdot\vec{v}\,\mathrm{d}v$

im festen Volumen $v_{0}$ wird die Zeitableitung genommen, was wegen der festen Integrationsgrenzen ohne weiteres möglich ist:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}E_{\mathrm{kin}} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{v_0} \frac{1}{2}(\vec{v}\cdot\vec{v})\,\mathrm{d}v = \int_{v_0}\dot{\vec{v}}\cdot\vec{v}\,\mathrm{d}v =\int_{v_0}\operatorname{grad}(B)\cdot\vec{v}\,\mathrm{d}v$

Der letzte Term integriert die Leistung des Drucks und des Schwerefelds, die gleich der Änderung der kinetischen Energie ist. In einem inkompressiblen Fluid gilt wegen der Produktregel:

$\operatorname{div}(B\vec{v}) =\operatorname{grad}(B)\cdot\vec{v}+B\operatorname{div}\vec{v} =\operatorname{grad}(B)\cdot\vec{v} \,.$

Das bedeutet, dass wegen $\operatorname {div}{\vec {v}}=0$ weder der Druck noch das Schwerefeld Kompressionsarbeit leisten können. Ausnutzung des Gauß’schen Integralsatzes und der Tatsache, dass in einem starr umrandeten Volumen die Normalkomponente der Geschwindigkeit $\vec{v}\cdot\,\mathrm{d}\vec{a}$ am Rand $\partial v_0$ des Volumens verschwindet, liefert das gewünschte:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}E_{\mathrm{kin}} =\int_{v_0}\operatorname{grad}(B)\cdot\vec{v}\,\mathrm{d}v =\int_{v_0}\operatorname{div}(B\vec{v})\,\mathrm{d}v =\int_{\partial v_0} B\vec{v}\cdot\,\mathrm{d}\vec{a} =0\,.$

Ebene und stationäre Strömung eines inkompressiblen Fluides

→ Hauptartikel: Stromfunktion

Betrachtet wird eine in der x-y-Ebene stattfindende, stationäre Strömung. Die Bedingung $\operatorname {div}{\vec {v}}=0$ für die Inkompressibilität lautet dann in kartesischen Koordinaten

${\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}=0$

und wird identisch erfüllt, wenn sich die Geschwindigkeitskomponenten aus den Ableitungen einer skalaren Funktion gemäß

$v_{x}={\frac {\partial \psi }{\partial y}}\,,\quad v_{y}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}$

berechnen. Die Funktion $\psi$ wird Stromfunktion genannt. Entlang einer Stromlinie ist der Wert der Stromfunktion konstant, so dass ihre Höhenlinien Stromlinien darstellen. In der Umgebung von Extrempunkten der Stromfunktion sind ihre Höhenlinien geschlossene Kurven. Ein Maximum der Stromfunktion wird gegen den Uhrzeigersinn, ein Minimum im Uhrzeigersinn umströmt.

Siehe auch

Literatur

L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik, Band VI Hydrodynamik. Akademie Verlag, Berlin 1991, ISBN 3-05-500070-6.
Ralf Greve: Kontinuumsmechanik. Springer, 2003, ISBN 3-540-00760-1.
M. Bestehorn: Hydrodynamik und Strukturbildung. Springer, 2006, ISBN 978-3-540-33796-6.

Fußnoten

↑ $\operatorname {grad}({\vec {v}})\cdot {\vec {v}}={\frac {1}{2}}\operatorname {grad}({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})-{\vec {v}}\times \operatorname {rot}({\vec {v}})$ wobei $\times$ das Kreuzprodukt bezeichnet.
↑ Ausgenutzt wird die Produktregel $\operatorname {div}({\mathbf {T}}\cdot {\vec {v}})=\operatorname {div}({\mathbf {T}})\cdot {\vec {v}}+\operatorname {Sp}({\mathbf {T}}\cdot \operatorname {grad}({\vec {v}}))$ , wobei hier ${\mathbf {T}}=\operatorname {grad}({\vec {v}})$ ist. Der Operator Sp berechnet die Spur. Die Identität $\operatorname {div(grad}({\vec {v}}))=\operatorname {grad(div}({\vec {v}}))$ gilt für alle Vektorfelder ${\vec {v}}$ . In der Literatur kommen andere Definitionen des Divergenzoperators für Tensoren vor, die sich durch die Transposition ihres Argumentes von der hier benutzten unterscheidet. Abweichende Formeln bei der Herleitung sind in der Literatur daher nicht auszuschließen.

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