Riemann-Problem

Als Riemann-Problem (nach Bernhard Riemann (1826–1866)) wird in der Analysis ein spezielles Anfangswertproblem bezeichnet, bei dem die Anfangsdaten als konstant definiert werden, bis auf einen Punkt, in welchem sie unstetig sind.

Riemann-Probleme sind sehr hilfreich für das Verständnis hyperbolischer partieller Differentialgleichungen, da in ihnen alle Phänomene wie Schocks, Verdichtungsstöße oder Verdünnungswellen auftauchen. Ebenfalls sind auch für komplizierte nichtlineare Gleichungen wie die Euler-Gleichungen der Strömungsmechanik exakte Lösungen konstruierbar, was nicht für beliebige Anfangsdaten möglich ist.

In der numerischen Mathematik tauchen Riemann-Probleme in natürlicher Weise in Finite-Volumen-Verfahren zur Lösung von Erhaltungsgleichungen auf. Dort werden die Riemann-Probleme approximativ mittels so genannter Riemann-Löser angegangen.

Erhaltungsgleichung in nD

Als wichtige hyperbolische partielle Differentialgleichung kann man Erhaltungsgleichungen des folgenden Typs betrachten:

${\begin{aligned}\partial _{t}U+\partial _{x}F(U)&=0\\U(x,0)&=U_{0}(x)\end{aligned}}$

wobei $U\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{n}$ und $F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ gilt.

Bei dem Riemann-Problem gilt nun für den Anfangswert:

${\begin{aligned}U_{0}(x)={\begin{cases}U_{L}\quad ,x<0\\U_{R}\quad ,x>0\end{cases}}\end{aligned}}$

für $U_{L},U_{R}\in \mathbb {R} ^{n}$ .

Linearer Fluss

Für den folgenden linearen Fluss:

${\begin{aligned}F(U)=AU,\quad A\in \mathbb {R} ^{n\times n}\end{aligned}}$

lässt sich die analytische Lösung berechnen. Für hyperbolische Probleme ist die Matrix immer diagonalisierbar:

$TAT^{-1}=\Lambda =\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dotsc ,\lambda _{n})$

mit einer Basistransformationsmatrix $T\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ .

Mit der Transformation $W:=T^{-1}U$ kann man die PDE entkoppeln:

${\begin{aligned}&\left\lbrace {\begin{aligned}\partial _{t}U+A\partial _{x}U&=0\\U(x,0)&=U_{0}(x)\end{aligned}}\right.\\\Leftrightarrow &\left\lbrace {\begin{aligned}\partial _{t}W+\Lambda \partial _{x}W&=0\\W(x,0)&=W_{0}(x):=T^{-1}U_{0}(x)\end{aligned}}\right.\end{aligned}}$

Entkopplung bedeutet in diesem Fall, dass in der Zeile der PDE nur noch Ableitungen von $W_{i}$ vorkommen.

Jede einzelne Gleichung entspricht einer linearen, skalaren Transportgleichung und somit ist die Lösung einfach zu bestimmen:

$W_{i}(x,t)=(W_{0})_{i}(x-\lambda _{i}t).$

Rücktransformation ergibt nun die gesuchte Lösung:

$U(x,t)=TW(x,t).$

Man kann die Lösung auch anders erhalten, indem man den Sprung der Anfangswerte in der neuen Basis darstellt:

$U_{R}-U_{L}=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}t_{j}\quad {\text{mit }}\alpha _{j}\in \mathbb {R} ,$

wobei die $t_{j}\in \mathbb {R} ^{n}$ die Eigenvektoren von sind (also: $T=(t_{1},\dotsc ,t_{n})$ ). Nun ist die Lösung gegeben als:

$U(x,t)=U_{L}+\sum _{j:{\frac {x}{t}}>\lambda _{j}}\alpha _{j}t_{j}=U_{R}-\sum _{j:{\frac {x}{t}}<\lambda _{j}}\alpha _{j}t_{j}.$

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de