Hölderstetigkeit
Die Hölderstetigkeit (nach Otto Hölder) ist ein Konzept der Mathematik, das vor allem in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen von zentraler Bedeutung ist. Sie ist eine Verallgemeinerung der Lipschitzstetigkeit.
Definition
Sei offen und . Eine Abbildung heißt hölderstetig zum Exponenten genau dann, wenn eine positive reelle Zahl existiert, so dass für alle gilt:
- .
Allgemeiner heißt eine Funktion zwischen zwei metrischen Räumen und hölderstetig mit Exponent und Konstante , falls für alle
gilt.
Beispiel
Für ist die Funktion mit hölderstetig zum Exponenten mit Konstante , denn für ergibt sich , also .
Eigenschaften
- Die Definition ergibt im Spezialfall die Lipschitzstetigkeit. Insbesondere ist also jede lipschitzstetige Funktion auch hölderstetig.
- Hölderexponenten außerhalb von werden üblicherweise nicht betrachtet. Im Falle von erhielte man so beschränkte, aber nicht notwendigerweise stetige Funktionen. Im Falle erfüllen nur konstante Funktionen die Bedingung aus der Definition.
- Jede hölderstetige Funktion ist gleichmäßig stetig: Setze für gegebenes etwa . Dann folgt aus wie gewünscht .
- Nicht jede gleichmäßig stetige Funktion ist hölderstetig. Dies zeigt
folgendes Beispiel: Sei
eine beliebig gewählte Konstante. Die auf dem Intervall
gemäß
definierte Funktion ist laut Satz von Heine gleichmäßig stetig. Wäre sie auch hölderstetig, dann gäbe es Konstanten und mit für alle , also insbesondere
laut Regel von de l’Hospital, was einen Widerspruch ergibt.
Literatur
- Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. Springer, Berlin 2002.
Basierend auf einem Artikel in:
Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 28.06. 2020