Hölderstetigkeit

Die Hölderstetigkeit (nach Otto Hölder) ist ein Konzept der Mathematik, das vor allem in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen von zentraler Bedeutung ist. Sie ist eine Verallgemeinerung der Lipschitzstetigkeit.

Definition

Sei U\subset {\mathbb  {R}} offen und 0<\alpha \leq 1. Eine Abbildung f\colon U\rightarrow \mathbb{R} heißt hölderstetig zum Exponenten \alpha genau dann, wenn eine positive reelle Zahl C existiert, so dass für alle x,y\in U gilt:

\vert f(x)-f(y)\vert \leq C\vert x-y\vert ^{\alpha }.

Allgemeiner heißt eine Funktion f\colon \Omega \subset E\rightarrow F zwischen zwei metrischen Räumen (E,d_{E}) und (F,d_{F}) hölderstetig mit Exponent \alpha und Konstante C, falls für alle x,y\in \Omega

d_{F}(f(x),f(y))\leq C(d_{E}(x,y))^{\alpha }

gilt.

Beispiel

Für {\displaystyle 0<\alpha \leq 1} ist die Funktion {\displaystyle f\colon {[0,\infty [}\rightarrow \mathbb {R} } mit {\displaystyle f(x)=x^{\alpha }} hölderstetig zum Exponenten \alpha mit Konstante C=1, denn für 0<x<y ergibt sich {\displaystyle 1-{\frac {x^{\alpha }}{y^{\alpha }}}\leq 1-{\frac {x}{y}}\leq {\bigg (}1-{\frac {x}{y}}{\bigg )}^{\alpha }}, also {\displaystyle \vert x^{\alpha }-y^{\alpha }\vert \leq \vert x-y\vert ^{\alpha }}.

Eigenschaften

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Extern Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 28.06. 2020