Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus

Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus sind die Umkehrfunktionen von Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus und damit Area-Funktionen.

Schreibweisen:

y=\operatorname {artanh}(x)=\tanh ^{{-1}}(x)
y=\operatorname {arcoth}(x)=\coth ^{{-1}}(x)

Letztere wird seltener benutzt, um die Verwechslung mit dem Kehrwert des hyperbolischen (Ko-)Tangens zu vermeiden. Es ist \operatorname {artanh}(x)=\tanh ^{{-1}}(x)\not =\tanh(x)^{{-1}}={\tfrac  1{\tanh(x)}}.

Definitionen

Areatangens hyperbolicus:

\operatorname {artanh}(x):={\frac  {1}{2}}\ln \left({\frac  {1+x}{1-x}}\right)\quad {\mathrm  {f{\ddot  {u}}r}}\quad |x|<1

Areakotangens hyperbolicus:

\operatorname {arcoth}(x):={\frac  {1}{2}}\ln \left({\frac  {x+1}{x-1}}\right)\quad {\mathrm  {f{\ddot  {u}}r}}\quad |x|>1

Geometrische Definitionen

Geometrisch lässt sich der Areatangens hyperbolicus durch die Fläche in der Ebene darstellen, welche die Verbindungsstrecke zwischen dem Koordinatenursprung (x,y)=(0,0) und der Hyperbel x^{2}-y^{2}=1 überstreicht: Es seien (x,-y)=\left(x,-{\sqrt  {x^{2}-1}}\right) und (x,y)=\left(x,+{\sqrt  {x^{2}-1}}\right) Start- und Endpunkt auf der Hyperbel, dann wird von der Verbindungsstrecke die Fläche A=\operatorname {artanh}\left({\frac  {y}{x}}\right) überstrichen.

Eigenschaften

 
Graph der Funktion artanh(x)
Graph der Funktion arcoth(x)
  Areatangens hyperbolicus Areakotangens hyperbolicus
Definitionsbereich -1<x<1 -\infty <x<-1
1<x<\infty
Wertebereich -\infty <f(x)<\infty -\infty <f(x)<\infty ;\;f(x)\neq 0
Periodizität keine keine
Monotonie streng monoton steigend keine
Symmetrien ungerade Funktion: f(-x)=-f(x) ungerade Funktion: f(-x)=-f(x)
Asymptoten x=1\colon \,f(x)\to \infty {\text{ für }}x\to 1
x=-1\colon \,f(x)\to -\infty {\text{ für }}x\to -1
y=0\colon \,f(x)\to 0{\text{ für }}x\to \pm \infty
Nullstellen  x = 0 keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen x=\pm 1 x=\pm 1
Extrema keine keine
Wendepunkte  x = 0 keine

Reihenentwicklungen

Taylor- und Laurent-Reihen der beiden Funktionen sind

{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\operatorname {artanh} (x)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}&=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}+{\frac {1}{7}}x^{7}+\ldots &{}\\\operatorname {arcoth} (x)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{-(2k-1)}}{2k-1}}&=x^{-1}+{\frac {1}{3}}x^{-3}+{\frac {1}{5}}x^{-5}+{\frac {1}{7}}x^{-7}+\ldots &{}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)\cdot x^{2k+1}}}&={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{3x^{3}}}+{\frac {1}{5x^{5}}}+{\frac {1}{7x^{7}}}+\ldots &{}\end{alignedat}}}

Ableitungen

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {artanh} (x)={\frac {1}{1-x^{2}}}\,;\quad |x|<1}
{\frac  {{\mathrm  {d}}}{{\mathrm  {d}}x}}\operatorname {arcoth}(x)={\frac  {1}{1-x^{2}}}\,;\quad |x|>1

Integrale

Die Stammfunktionen lauten:

\int \operatorname {artanh}(x)\,{\mathrm  {d}}x=x\cdot \operatorname {artanh}(x)+{\frac  12}\ln \left(1-x^{2}\right)
\int \operatorname {arcoth}(x)\,{\mathrm  {d}}x=x\cdot \operatorname {arcoth}(x)+{\frac  12}\ln \left(x^{2}-1\right)

Additionstheoreme

\operatorname {artanh}(x)\pm \operatorname {artanh}(y)=\operatorname {artanh}\left({\frac  {x\pm y}{1\pm xy}}\ \right)
{\displaystyle \operatorname {arcoth} (x)\pm \operatorname {arcoth} (y)=\operatorname {arcoth} \left({\frac {1\pm xy}{x\pm y}}\ \right)}

Siehe auch

Trenner
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
©  biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 17.02. 2020