Hauptkrümmung

Hauptkrümmung ist ein Begriff aus der Differentialgeometrie. Jedem Punkt einer Fläche im dreidimensionalen euklidischen Raum \mathbb {R} ^{3} werden zwei Hauptkrümmungen zugeordnet.

Definition

Gegeben sei ein Punkt einer regulären Fläche im \mathbb {R} ^{3}. Jeder Tangentialrichtung, also jeder Richtung, die ein Tangentialvektor in diesem Punkt annehmen kann, wird die Normalkrümmung zugeordnet: Man versteht darunter die Krümmung der ebenen Kurve, die sich durch einen Normalschnitt ergibt, also durch einen Schnitt der gegebenen Fläche mit der durch den Flächennormalenvektor und die gegebene Tangentialrichtung bestimmten Ebene. Den Minimalwert und den Maximalwert dieser Krümmungen bezeichnet man als die beiden Hauptkrümmungen k_{1} und k_{2}. Die zugehörigen Tangentialrichtungen nennt man Hauptkrümmungsrichtungen.

Beispiele

Sattelfläche mit den Normalenebenen in Richtung der Hauptkrümmungen

Eigenschaften

k^{2}-2Hk+K\,=\,0.

Klassifizierung von Flächenpunkten

Ein Punkt einer Fläche heißt

Ein elliptischer Nabelpunkt wird auch als eigentlicher Nabelpunkt bezeichnet. Ein nicht elliptischer Nabelpunkt ist ein Flachpunkt.

In elliptischen Punkten ist die gaußsche Krümmung positiv (K>0). Dies ist der Fall, wenn die Mittelpunkte der Krümmungskreise der Normalschnitte durch beide Hauptrichtungen auf derselben Seite der Fläche liegen, z.B. auf der Oberfläche eines Ellipsoids oder anschaulicher bei doppelt gekrümmten Flächentragwerken wie Kuppeln. In hyperbolischen Punkten liegen die Mittelpunkte der beiden (Haupt-)Krümmungskreise dagegen auf unterschiedlichen Seiten der Fläche wie bei einer Sattelfläche. Die gaußsche Krümmung ist dort negativ (K<0). In parabolischen Punkten, wie z.B. auf einer Zylinderoberfläche, oder in Flachpunkten ist die gaußsche Krümmung gleich Null.

Die Dupinsche Indikatrix in einem elliptischen Punkt ist eine Ellipse (in einem elliptischen Nabelpunkt ein Kreis), in einem hyperbolischen Punkt eine Hyperbel und in einem parabolischen Punkt ein Paar paralleler Geraden.

Zusammenhängende reguläre Flächen, die ganz aus Nabelpunkten bestehen, sind Teilmengen einer Ebene oder einer Kugeloberfläche.

Sind auf einer offenen Umgebung U eines Punktes p zwei Vektorfelder gegeben, die in p linear unabhängig sind, so gibt es eine Parametrisierung einer Umgebung V\subset U von p, so dass die Vektorfelder tangential zu den Koordinatenlinien sind. Ist p kein Nabelpunkt, so gibt es also eine Parametrisierung einer Umgebung, so dass die Koordinatenlinien Krümmungslinien sind, d.h. tangential zu den orthogonalen Hauptrichtungen sind. (In einem Nabelpunkt ist jede Richtung Hauptrichtung.) In der Umgebung eines hyperbolischen Punktes gibt es stets eine Parametrisierung, so dass die Koordinatenlinien Asymptotenlinien sind, also verschwindende Normalkrümmung haben.

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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 15.07. 2021