Indikatrix

Unter einer Indikatrix versteht man in der Differentialgeometrie gekrümmter Flächen im Raum einen ebenen Kegelschnitt, der das lokale Krümmungsverhalten der Fläche in einem bestimmten Punkt beschreibt. Der Begriff wurde von Charles Dupin zu Beginn des 19. Jahrhunderts eingeführt und trägt daher auch den Namen Dupinsche Indikatrix.

Geometrische Beschreibung

Hyperbolischer Punkt einer Fläche (braun) mit Tangentialebene aus der engl. Wikipedia

In einer hinreichend kleinen Umgebung eines Punktes a einer Fläche (gegeben etwa durch z = f(x,y) mit f zweimal stetig-differenzierbar) lässt sich die Fläche durch eine Quadrik, also durch eine Fläche 2. Ordnung der Form z = g(x,y), beliebig genau annähern. Diese Schmiegequadrik wird die infinitesimal in Richtung der Flächennormalen bzw. der ihr entgegengesetzten Richtung verschobene Tangentialebene schneiden. Dabei können vier Fälle auftreten:

Die beiden Hauptkrümmungen

Diese vier Fälle werden heute üblicherweise über die beiden Hauptkrümmungen der Fläche unterschieden. Für diese gelten:

Das Produkt der beiden Hauptkrümmungen, die sogenannte Gaußsche Krümmung, ist also im Fall eines elliptischen Punktes positiv, im Fall eines hyperbolischen Punktes negativ; andernfalls ist sie Null.

Formale Beschreibung

Jede durch den Punkt a verlaufende Gerade der Tangentialebene entspricht einem Kurvenstück auf der Fläche; dieses weist in a eine bestimmte Normalkrümmung κ auf. Falls κ nicht Null ist, ist der Radius des Krümmungskreises in a gegeben durch den Kehrwert von |κ|. Dann gehören die beiden im Abstand {\sqrt  {1/|\kappa |}} zu a gelegenen Punkte der Ausgangsgerade zur Indikatrix von a.

Anwendungen

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 14.01. 2022