Mittlere Krümmung

In der Theorie der Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum \mathbb {R} ^{3}, einem Gebiet der Differentialgeometrie, ist die mittlere Krümmung neben der gaußschen Krümmung ein wichtiger Krümmungsbegriff.

Definition

Gegeben seien eine reguläre Fläche im \mathbb {R} ^{3} und ein Punkt dieser Fläche. Die mittlere Krümmung H der Fläche in diesem Punkt ist das arithmetische Mittel der beiden Hauptkrümmungen k_{1} und k_{2}. Das heißt, die mittlere Krümmung ist definiert als

H:={\frac  {1}{2}}(k_{1}+k_{2}).

Von besonderem Interesse sind sogenannte Minimalflächen, für welche H=0 bzw. k_{1}=-k_{2} gilt.

Allgemeiner kann man die mittlere Krümmung für n-dimensionale Hyperflächen des \mathbb {R} ^{n+1} durch H:={\tfrac  {1}{n}}\operatorname {Spur}(S) definieren. Dabei ist S die Weingarten-Abbildung und \operatorname {Spur} bezeichnet die Spur einer Matrix.

Berechnung

H={\frac  {LG-2MF+NE}{2(EG-F^{2})}}
Wenn die Fläche isotherm parametrisiert ist, das heißt, wenn für die Koeffizienten der ersten Fundamentalform {\displaystyle E=G} und F=0 gilt, dann vereinfacht sich diese Formel zu
H={\frac  {L+N}{2E}}.
H={\frac  {(1+f_{v}^{2})f_{{uu}}-2f_{u}f_{v}f_{{uv}}+(1+f_{u}^{2})f_{{vv}}}{2{\sqrt  {1+f_{u}^{2}+f_{v}^{2}}}^{{3}}}}.
Hierbei bezeichnen f_{u} und f_{v} die ersten und {\displaystyle f_{uu}}, {\displaystyle f_{uv}} und {\displaystyle f_{vv}} die zweiten partiellen Ableitungen von f.

Beispiele

Weitere Eigenschaften

H{\vec  {n}}=g^{{ij}}\nabla _{i}\nabla _{j}X,
mit der Einheitsnormale {\vec  {n}}, g_{{ij}} als erster Fundamentalform und \nabla _{i} der kovarianten Ableitung.
\Delta X=2HX_{u}\times X_{v}.
{\displaystyle 2H=-\operatorname {div} {\vec {n}}=-\operatorname {div} {\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}.}
Dabei ist \operatorname {div} die Divergenz und {\vec {n}} das Einheitsnormalenfeld {\tfrac  {\nabla F}{|\nabla F|}}. Diese Formel heißt Formel von Bonnet und gilt allgemein für n-dimensionale Hyperflächen.

Literatur

Trenner
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
©  biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 31.08. 2020