Mittlere Krümmung
In der Theorie der Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum , einem Gebiet der Differentialgeometrie, ist die mittlere Krümmung neben der gaußschen Krümmung ein wichtiger Krümmungsbegriff.
Definition
Gegeben seien eine reguläre Fläche im und ein Punkt dieser Fläche. Die mittlere Krümmung der Fläche in diesem Punkt ist das arithmetische Mittel der beiden Hauptkrümmungen und . Das heißt, die mittlere Krümmung ist definiert als
Von besonderem Interesse sind sogenannte Minimalflächen, für welche bzw. gilt.
Allgemeiner kann man die mittlere Krümmung für n-dimensionale Hyperflächen des durch definieren. Dabei ist die Weingarten-Abbildung und bezeichnet die Spur einer Matrix.
Berechnung
- Sind , , bzw. , , die Koeffizienten der ersten bzw. zweiten Fundamentalform der Fläche, so gilt die Formel
- Wenn die Fläche isotherm parametrisiert ist, das heißt, wenn für die
Koeffizienten der ersten Fundamentalform
und
gilt, dann vereinfacht sich diese Formel zu
- Ist die betrachtete Fläche der Graph einer Funktion über dem Parameterbereich , also für alle , so gilt für die mittlere Krümmung:
-
- .
- Hierbei bezeichnen und die ersten und , und die zweiten partiellen Ableitungen von .
Beispiele
- Die Oberfläche einer Kugel mit Radius hat die mittlere Krümmung .
- In einem beliebigen Punkt auf der gekrümmten Fläche eines geraden Kreiszylinders mit Radius ist die mittlere Krümmung gleich
Weitere Eigenschaften
- Für eine Fläche gilt die Gleichung
-
- mit der Einheitsnormale , als erster Fundamentalform und der kovarianten Ableitung.
- Wenn eine Fläche isotherm parametrisiert ist, so genügt sie dem Rellichschen H-Flächensystem
- Ist die Fläche als Niveaufläche einer Funktion gegeben, so gilt
-
- Dabei ist die Divergenz und das Einheitsnormalenfeld Diese Formel heißt Formel von Bonnet und gilt allgemein für n-dimensionale Hyperflächen.
Literatur
- Wolfgang Kühnel: Differentialgeometrie. Kurven – Flächen – Mannigfaltigkeiten. 4. überarbeitete Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8348-0411-2.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 31.08. 2020