Weingartenabbildung

Die Weingartenabbildung (nach dem deutschen Mathematiker Julius Weingarten), auch Formoperator genannt, ist eine Funktion aus der Theorie der Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum ( $\mathbb {R} ^{3}$ ), einem Teilgebiet der klassischen Differentialgeometrie.

Vorbereitung

Eine reguläre Fläche sei durch die Parameterdarstellung

${\begin{aligned}X\colon \mathbb {R} ^{2}\supset A&\to \mathbb {R} ^{3}\\(u,v)&\mapsto X(u,v)\end{aligned}}$

gegeben. Dabei sei mindestens zweimal stetig differenzierbar und in jedem Punkt (u,v) habe die Ableitung $DX_{{(u,v)}}$ , eine lineare Abbildung von $\mathbb {R} ^{2}$ nach $\mathbb {R} ^{3}$ , vollen Rang. Das Bild dieser linearen Abbildung ist dann ein zweidimensionaler Unterraum des $\mathbb {R} ^{3}$ , der Tangentialraum der Fläche im Punkt p=X(u,v) . Dabei denkt man sich die Bildvektoren im Punkt angeheftet. Der Tangentialraum wird von den beiden Vektoren

$X_{1}(u,v)=X_{u}(u,v)={\tfrac {\partial X}{\partial u}}(u,v)=DX_{(u,v)}(e_{1})$ und

$X_{2}(u,v)=X_{v}(u,v)={\tfrac {\partial X}{\partial v}}(u,v)=DX_{(u,v)}(e_{2})$

aufgespannt. (Hierbei bezeichnen $e_{1}$ und $e_{2}$ die Einheitsvektoren der Standardbasis des $\mathbb {R} ^{2}$ .)

Die Einheitsnormale N(u,v) im Punkt p=X(u,v) der Fläche kann mit Hilfe des Vektorprodukts berechnet werden:

$N(u,v)={\frac {X_{u}(u,v)\times X_{v}(u,v)}{|X_{u}(u,v)\times X_{v}(u,v)|}}$

Somit ist eine differenzierbare Abbildung vom Parameterbereich $A\subset \mathbb {R} ^{2}$ in den Vektorraum $\mathbb {R} ^{3}$ . Den Bildvektor N(u,v) denkt man sich angeheftet an den Punkt p=X(u,v) . Die Ableitung $DN_{{(u,v)}}$ im Punkt (u,v) ist eine lineare Abbildung von $\mathbb {R} ^{2}$ nach $\mathbb {R} ^{3}$ . Aus der Bedingung, dass N(u,v) ein Einheitsvektor ist, folgt, dass für jedes Parameterpaar (u,v) das Bild der Abbildung $DN_{{(u,v)}}$ im Tangentialraum der Fläche im Punkt p=X(u,v) liegt und somit im Bild der Abbildung $DX_{{(u,v)}}$ Da $DX_{{(u,v)}}$ injektiv ist, existiert die Umkehrabbildung $(DX_{{(u,v)}})^{{-1}}$ als Abbildung auf dem Tangentialraum im Punkt X(u,v) .

Definition

Man kann nun die Weingartenabbildung als lineare Abbildung im Parameterbereich (klassische Sichtweise) oder auf dem Tangentialraum (moderne Sichtweise) definieren.

Im Parameterbereich

Die Abbildung $DN_{{(u,v)}}$ bildet den $\mathbb {R} ^{2}$ auf den Tangentialraum der Fläche im Punkt X(u,v) ab. Die Abbildung $(DX_{{(u,v)}})^{{-1}}$ bildet diesen Tangentialraum wieder auf den $\mathbb {R} ^{2}$ ab. Die durch Verkettung und Vorzeichenwechsel daraus entstehende lineare Abbildung

$L_{(u,v)}=-(DX_{(u,v)})^{-1}\circ DN_{(u,v)}$

von $\mathbb {R} ^{2}$ nach $\mathbb {R} ^{2}$ heißt Weingartenabbildung an der Stelle (u,v) .

Auf der Fläche

Die Abbildung $(DX_{{(u,v)}})^{{-1}}$ bildet einen Vektor des Tangentialraums der Fläche im Punkt p=X(u,v) in den $\mathbb {R} ^{2}$ ab. Die Abbildung $DN_{{(u,v)}}$ bildet den Bildvektor wieder in den Tangentialraum ab. Die durch Verkettung und Vorzeichenwechsel daraus entstehende lineare Abbildung

$L_{X(u,v)}=-DN_{(u,v)}\circ (DX_{(u,v)})^{-1}$

bildet den Tangentialraum im Punkt p=X(u,v) auf sich ab und heißt Weingartenabbildung am Punkt . Es gilt also

$L_{X(u,v)}X_{i}(u,v)=-N_{i}(u,v)$ für i=1,2

Koordinatendarstellung

Die beiden Versionen der Weingartenabbildung sind auf völlig verschiedenen Vektorräumen definiert. Wählt man jedoch im Parameterbereich die Standardbasis und im Tangentialraum die Basis $X_{u}(u,v)$ , $X_{v}(u,v)$ , so stimmen die zugehörigen Abbildungsmatrizen

${\begin{pmatrix}h^{1}{_{1}}(u,v)&h^{1}{_{2}}(u,v)\\h^{2}{_{1}}(u,v)&h^{2}{_{2}}(u,v)\end{pmatrix}}$

überein. Sie sind durch die Gleichungen

$L_{X(u,v)}(X_{u}(u,v))=-N_{u}(u,v)=h^{1}{_{1}}(u,v)X_{u}(u,v)+h^{2}{_{1}}(u,v)X_{v}(u,v)$

$L_{X(u,v)}(X_{v}(u,v))=-N_{v}(u,v)=h^{1}{_{2}}(u,v)X_{u}(u,v)+h^{2}{_{2}}(u,v)X_{v}(u,v)$

charakterisiert. In Einsteinscher Summenkonvention, mit $X_{1}=X_{u}$ , $X_{2}=X_{v}$ , $N_{1}=N_{u}=DN_{(u,v)}(e_{1})$ , $N_{2}=N_{v}=DN_{(u,v)}(e_{2})$ und unter Weglassung des Arguments:

$L(X_{j})=-N_{j}=h^{i}{}_{j}X_{i}$

Zusammenhang mit der zweiten Fundamentalform

Für jedes Parameterpaar (u,v) ist die erste Fundamentalform $g_{{(u,v)}}$ ein Skalarprodukt im $\mathbb {R} ^{2}$ und die zweite Fundamentalform $h_{{(u,v)}}$ eine symmetrische Bilinearform. Diese sind durch die Weingartenabbildung wie folgt verbunden: Für Vektoren $w_{1},w_{2}\in \mathbb {R} ^{2}$ gilt

$h(w_{1},w_{2})=g(w_{1},Lw_{2})$ .

Für die zugehörigen Matrixdarstellungen gilt in Einsteinscher Summenkonvention

$h_{ik}=g_{ij}h^{j}{_{k}}$

und

$h^{i}{}_{k}=g^{ij}h_{jk}.$

Eigenschaften

Die Hauptkrümmungen sind Eigenwerte der Weingartenabbildung

Die Weingartenabbildung ist selbstadjungiert bezüglich der ersten Fundamentalform , das heißt, für alle $w_{1},w_{2}\in \mathbb {R} ^{2}$ gilt
$g(w_{1},Lw_{2})=g(Lw_{1},w_{2})\,.$
In jedem Punkt der Fläche existiert deshalb eine Basis aus Eigenvektoren von , die orthonormal bezüglich ist.
Die Richtungen der Eigenvektoren heißen Hauptkrümmungsrichtungen.
Die Eigenwerte der Weingartenabbildung geben die Hauptkrümmungen der Fläche an.
Für einen Vektor $w\in T_{(u,v)}\mathbb {R} ^{2}$ beschreibt die Änderung der Flächennormalen in dieser Richtung an diesem Punkt.
Die Weingartenabbildung ist die Ableitung der Gauß-Abbildung.

Beispiel

Dem Beispiel aus den Artikeln erste Fundamentalform und zweite Fundamentalform folgend, wird wieder die Oberfläche einer Kugel vom Radius r>0 betrachtet. Diese Fläche wird wieder durch

$X(u,v)={\begin{pmatrix}r\sin u\cos v\\r\sin u\sin v\\r\cos u\end{pmatrix}}$ parametrisiert.

Die Matrixdarstellung der ersten Fundamentalform besteht aus den Komponenten $g_{uu}=r^{2}$ , $g_{{uv}}=g_{{vu}}=0$ , sowie $g_{vv}=r^{2}\sin ^{2}u$ .

Die Matrixdarstellung der zweiten Fundamentalform besteht aus den Komponenten $h_{{uu}}=-r$ , $h_{{uv}}=h_{{vu}}=0$ , sowie $h_{vv}=-r\sin ^{2}u$ .

Beide sind durch die Gleichung $h_{ik}=g_{ij}h^{j}{_{k}}$ miteinander verbunden. Diese liefert durch Ausschreiben der Einsteinschen Summenkonvention folgende vier Gleichungen:

$h_{uu}=g_{uu}h^{u}{_{u}}+g_{uv}h^{v}{_{u}}$

$h_{uv}=g_{uu}h^{u}{_{v}}+g_{uv}h^{v}{_{v}}$

$h_{vu}=g_{vu}h^{u}{_{u}}+g_{vv}h^{v}{_{u}}$

$h_{vv}=g_{vu}h^{u}{_{v}}+g_{vv}h^{v}{_{v}}$

Durch Einsetzen der Komponenten der Matrixdarstellungen erhält man die Komponenten der Weingartenabbildung:

$h^{u}{_{u}}=h^{v}{_{v}}=-{\frac {1}{r}}$

$h^{u}{_{v}}=h^{v}{_{u}}=0$

Alternativ hätte auch die explizite Formel $h^{i}{}_{k}=g^{ij}h_{jk}$ genutzt werden können. Dazu hätte allerdings die Matrix der ersten Fundamentalform invertiert werden müssen, um die $g^{ij}$ zu erhalten.

Literatur

Wolfgang Kühnel: Differentialgeometrie. Kurven – Flächen – Mannigfaltigkeiten. 4. überarbeitete Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8348-0411-2.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de