Gauß-Abbildung

In der Differentialgeometrie bildet die Gauß-Abbildung (benannt nach Carl F. Gauß) eine Fläche im euklidischen Raum \mathbb {R} ^{3} auf die Einheitssphäre S^{2} ab.

Gauß schrieb erstmals im Jahr 1825 über das Thema und veröffentlichte es 1827.

Definition

Die Gauß-Abbildung verschiebt die Einheitsnormalen eines Flächenstücks an den festen Ursprung des umgebenden Raums.

Auf einer gegebenen orientierten Fläche {\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{3}}, ist die Gauß-Abbildung eine stetige Abbildung N\colon X\to S^{2}, so dass N(p) ein zur Fläche X orthonormaler Einheitsvektor bei p\in X, nämlich der Normalenvektor an X bei p, ist.

Eigenschaften

Die Gauß-Abbildung kann global, also für alle p\in X, nur genau dann definiert werden, wenn die Fläche orientierbar ist. Lokal, das heißt auf einem kleinen Stück der Oberfläche, kann sie immer definiert werden. Die Funktionaldeterminante der Gauß-Abbildung ist gleich der Gauß-Krümmung, und das Differential der Gauß-Abbildung wird Weingartenabbildung oder auch Form-Operator genannt.

Verallgemeinerung

Analog zu obiger Definition kann die Gauß-Abbildung für n-dimensionale orientierte Hyperflächen im \mathbb {R} ^{n+1} definiert werden.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 01.09. 2020