Stetige Gleichverteilung

Dichtefunktion der Gleichverteilung für a=4,b=8 (blau), a=1,b=18 (grün) und a=1,b=11 (rot)

Die stetige Gleichverteilung, auch Rechteckverteilung oder Uniformverteilung genannt, ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie hat auf einem Intervall [a,b] eine konstante Wahrscheinlichkeitsdichte. Dies ist gleichbedeutend damit, dass alle Teilintervalle gleicher Länge dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzen.

Die Möglichkeit, die stetige Gleichverteilung auf dem Intervall von 0 bis 1 zu simulieren, bildet die Basis zur Erzeugung zahlreicher beliebig verteilter Zufallszahlen mittels der Inversionsmethode oder der Verwerfungsmethode.

Definition

Eine stetige Zufallsvariable X bezeichnet man als gleichverteilt auf dem Intervall [a,b], wenn Dichtefunktion f(x) und Verteilungsfunktion F(x) gegeben sind als

f(x)={\begin{cases}{\frac  1{b-a}}&a\leq x\leq b\\0&{\text{sonst}}\end{cases}} Stetige Gleichverteilung Dichte.png
F(x)={\begin{cases}0&x\leq a\\{\frac  {x-a}{b-a}}&a<x<b\\1&x\geq b\end{cases}} Stetige Gleichverteilung Verteilungsfunktion.png

Als abkürzende Schreibweise für die stetige Gleichverteilung wird häufig {\mathcal  U}(a,b) oder {\mathcal  {SG}}(a,b) verwendet. In einigen Formeln sieht man auch {\text{Gleich}}(a,b) oder {\text{uniform}}(a,b) als Bezeichnung für die Verteilung.

Eigenschaften

Wahrscheinlichkeiten

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine auf [a,b] gleichverteilte Zufallsvariable X in einem Teilintervall [c,d]\subseteq [a,b] liegt, ist gleich dem Verhältnis der Intervalllängen:

P(c\leq X\leq d)=F(d)-F(c)={\frac  {d-c}{b-a}}.

Erwartungswert und Median

Der Erwartungswert und der Median der stetigen Gleichverteilung sind gleich der Mitte des Intervalls [a,b]:

{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx={\frac {1}{b-a}}\int \limits _{a}^{b}x\cdot 1\,dx={\frac {1}{2}}{\frac {b^{2}-a^{2}}{b-a}}={\frac {a+b}{2}}}
\operatorname {Median}(X)=F^{{-1}}({\tfrac  {1}{2}})={\frac  {a+b}{2}}.

Varianz

Die Varianz der stetigen Gleichverteilung ist

\operatorname{Var}(X) {\displaystyle =\operatorname {E} (X^{2})-\left({\operatorname {E} (X)}\right)^{2}={\frac {1}{b-a}}\int \limits _{a}^{b}{x^{2}\cdot 1\,dx}-\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{3}}{\frac {b^{3}-a^{3}}{b-a}}-\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}}
  {\displaystyle ={\frac {1}{12}}\left({4b^{2}+4ab+4a^{2}-3a^{2}-6ab-3b^{2}}\right)={\frac {1}{12}}(b-a)^{2}}.

Standardabweichung und weitere Streumaße

Aus der Varianz erhält man die Standardabweichung

\sigma _{x}={\sqrt  {{\frac  {(b-a)^{2}}{12}}}}={\frac  {b-a}{2{\sqrt  3}}}\approx 0{,}289(b-a).

Die mittlere absolute Abweichung beträgt (b-a)/4, und der Interquartilsabstand (b-a)/2 ist genau doppelt so groß. Die Gleichverteilung ist die einzige symmetrische Verteilung mit monotoner Dichte mit dieser Eigenschaft.

Variationskoeffizient

Für den Variationskoeffizienten ergibt sich:

{\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {b-a}{a+b}}}.

Symmetrie

Die stetige Gleichverteilung ist symmetrisch um {\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}.

Schiefe

Die Schiefe lässt sich darstellen als

{\displaystyle \operatorname {v} (X)=0}.

Wölbung und Exzess

Die Wölbung \beta _{2} und der Exzess \gamma _{2}=\beta _{2}-3 lassen sich ebenfalls geschlossen darstellen als

{\displaystyle \beta _{2}={\tfrac {9}{5}}=1{,}8} bzw.
{\displaystyle \gamma _{2}=-{\tfrac {6}{5}}=-1{,}2}.

Momente

k-tes Moment m_{k}={\frac  {1}{k+1}}\sum _{{i=0}}^{k}a^{i}b^{{k-i}}
k-tes zentrales Moment \mu _{k}={\begin{cases}{\frac  {(b-a)^{k}}{2^{k}(k+1)}}&{\text{ k gerade}}\\0&{\text{ k ungerade}}\end{cases}}

Summe gleichverteilter Zufallsvariablen

Verteilungsdichten der Summe von bis zu 6 Gleichverteilungen U(0,1)

Die Summe zweier unabhängiger und stetig gleichverteilter Zufallsvariablen gleicher Träger-Breite ist dreiecksverteilt, andernfalls ergibt sich eine trapezförmige Verteilung. Genauer:

Zwei Zufallsvariablen seien unabhängig und stetig gleichverteilt, die eine auf dem Intervall [a,b], die andere auf dem Intervall [c,d]. Sei \alpha =\min\{d-c,b-a\} und \beta =\max\{d-c,b-a\}. Dann hat Ihre Summe die folgende Trapezverteilung:

{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\longmapsto {\begin{cases}0&x\not \in [a+c,b+d]\\{\frac {x}{\alpha \beta }}-{\frac {a+c}{\alpha \beta }}&x\in [a+c,a+c+\alpha ]\\{\frac {1}{\beta }}&x\in [a+c+\alpha ,a+c+\beta ]\\{\frac {b+d}{\alpha \beta }}-{\frac {x}{\alpha \beta }}&x\in [a+c+\beta ,b+d]\end{cases}}}

Die Summe von unabhängigen gleichverteilten Zufallsvariablen nähert sich der Normalverteilung an (Zentraler Grenzwertsatz).

Eine zuweilen verwendete Methode (Zwölferregel) zur approximativen Erzeugung (standard-)normalverteilter Zufallszahlen funktioniert so: man summiert 12 (unabhängige) auf dem Intervall [0,1] gleichverteilte Zufallszahlen und subtrahiert 6 (das liefert die richtigen Momente, da die Varianz einer U(0,1)-verteilten Zufallsvariablen 1/12 ist und sie den Erwartungswert 1/2 besitzt).

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

\phi _{X}(t)={\frac  {1}{(b-a)it}}\left(e^{{itb}}-e^{{ita}}\right)=\exp \left(i{\frac  {b+a}{2}}t\right){\frac  {\sin \left({\frac  {b-a}{2}}t\right)}{{\frac  {b-a}{2}}t}},

wobei i die imaginäre Einheit darstellt.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der stetigen Gleichverteilung ist

m_{X}(s)={\begin{cases}{\frac  {\displaystyle e^{{bs}}-e^{{as}}}{\displaystyle (b-a)s}}&s\neq 0\\1&s=0.\end{cases}}

und speziell für a=0 und b=1

m_{X}(s)={\frac  1s}(e^{s}-1).

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Dreiecksverteilung

Die Summe von zwei unabhängigen und stetig gleichverteilten Zufallsvariablen hat eine Dreiecksverteilung.

Beziehung zur Betaverteilung

Sind X_1, X_2, \dotsc, X_n unabhängige auf [0,1] stetig gleichverteilte Zufallsvariable, dann haben die Ordnungsstatistiken X_{{(1)}},X_{{(2)}},\dotsc ,X_{{(n)}} eine Betaverteilung. Genauer gilt

X_{{(k)}}\sim B(k,n-k+1)

für k=1,\dotsc ,n.

Simulation von Verteilungen aus der stetigen Gleichverteilung

Mit der Inversionsmethode lassen sich gleichverteilte Zufallszahlen in andere Verteilungen überführen. Wenn X eine gleichverteilte Zufallsvariable ist, dann genügt beispielsweise Y=-{\tfrac  1\lambda }\ln(X) der Exponentialverteilung mit dem Parameter \lambda .

Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen

Die stetige Gleichverteilung lässt sich vom Intervall [a,b] auf beliebige messbare Teilmengen  \Omega des {\mathbb  {R}}^{n} mit Lebesgue-Maß 0<\lambda ^{n}(\Omega )<\infty verallgemeinern. Man setzt dann

{\mathcal  {U}}_{\Omega }(A)=\int _{A}{\frac  {1}{\lambda ^{n}(\Omega )}}\,dx={\frac  {\lambda ^{n}(A)}{\lambda ^{n}(\Omega )}}

für messbare A\subseteq \Omega .

Diskreter Fall

Die Gleichverteilung ist auch auf endlichen Mengen definiert, dann heißt sie diskrete Gleichverteilung.

Beispiel für das Intervall [0, 1]

Häufig wird a=0 und b=1 angenommen, also {\displaystyle X\sim {\mathcal {U}}(0,1)} betrachtet. Dann ist die Dichtefunktion f auf dem Intervall [0,1] konstant gleich 1 und für die Verteilungsfunktion gilt dort F(x)=x. Der Erwartungswert beträgt dementsprechend {\displaystyle E(X)={\tfrac {1}{2}}}, die Varianz {\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\tfrac {1}{12}}} und die Standardabweichung {\displaystyle \sigma (X)={\sqrt {\tfrac {1}{12}}}={\tfrac {1}{6}}{\sqrt {3}}\approx 0{,}29}, wobei die letztgenannten beiden Werte auch für beliebige Intervalle {\displaystyle [a,a+1]} der Länge 1 gelten. Siehe hierzu auch den obigen Abschnitt Summe gleichverteilter Zufallsvariablen.

Ist X eine {\displaystyle {\mathcal {U}}(0,1)}-verteilte Zufallsvariable, dann ist

{\displaystyle Y=(b-a)X+a}

{\mathcal  U}(a,b)-verteilt.

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 24.06. 2021