Wölbung (Statistik)

Die Wölbung, Kyrtosis, Kurtosis oder auch Kurtose (griechisch κύρτωσις kýrtōsis „Krümmen“, „Wölben“) ist eine Maßzahl für die Steilheit bzw. „Spitzigkeit“ einer (eingipfligen) Wahrscheinlichkeitsfunktion, statistischen Dichtefunktion oder Häufigkeitsverteilung. Die Wölbung ist das zentrale Moment 4. Ordnung. Verteilungen mit geringer Wölbung streuen relativ gleichmäßig; bei Verteilungen mit hoher Wölbung resultiert die Streuung mehr aus extremen, aber seltenen Ereignissen.

Der Exzess gibt die Differenz der Wölbung der betrachteten Funktion zur Wölbung der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsgröße an.

Wölbung

Empirische Wölbung

Zur Berechnung der Wölbung einer empirischen Häufigkeitsverteilung x_{1},\ldots ,x_{n} wird die folgende Formel benutzt:

w = \frac1n \sum_{i=1}^n \left(\frac{x_i-\bar{x}}{s}\right)^4

Damit die Wölbung unabhängig von der Maßeinheit der Variablen ist, werden die Beobachtungswerte x_{i} mit Hilfe des arithmetischen Mittelwertes {\bar {x}} und der Standardabweichung s

z_{i}={\frac {x_{i}-{\bar {x}}}{s}}

-->standardisiert. Durch die Standardisierung gilt

\bar{z}=\frac1n\sum_{i=1}^n z_i = 0, \quad s_z^2=\frac1n\sum_{i=1}^n z_i^2 = 1 \quad \text{und} \quad w=\frac1n\sum_{i=1}^n z_i^4.

Da die Wölbung nur nicht-negative Werte annehmen kann, deutet ein kleiner Wert darauf, dass die standardisierten Beobachtungen z_{i} nahe dem Mittelwert stark konzentriert sind (bei einer Varianz von 1), d.h. die Verteilung ist flachgipflig.

Wölbung einer Zufallsvariable

Analog zur empirischen Wölbung einer Häufigkeitsverteilung ist die Wölbung bzw. Kurtosis der Dichtefunktion bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsvariablen X definiert als ihr auf die vierte Potenz der Standardabweichung \sigma normiertes viertes zentrales Moment \mu_4(X).

 \beta_2=\frac{\mu_4(X)}{\mu_2(X)^2}=\frac{\mu_4(X)}{\sigma^4(X)} = \frac{\operatorname{E}[(X-\mu)^4]}{(\operatorname{E}[(X-\mu)^2])^2}

mit dem Erwartungswert \mu = \operatorname{E}[X].

Als Darstellung mittels der Kumulanten \kappa _{i} ergibt sich

\beta _{2}={\frac  {\kappa _{4}}{\kappa _{2}^{2}}}+3={\frac  {\kappa _{4}}{\operatorname {Var}(X)^{2}}}+3

Schätzung der Wölbung einer Grundgesamtheit

Zur Schätzung der unbekannten Wölbung \omega einer Grundgesamtheit mittels Stichprobendaten x_{1},\ldots ,x_{n} (n der Stichprobenumfang) müssen der Erwartungswert und die Varianz aus der Stichprobe geschätzt werden, d.h. die theoretischen durch die empirischen Momente ersetzt werden:

\hat{\omega} = \frac1n \sum_{i=1}^n \left(\frac{x_i-\bar{x}}{s}\right)^4

mit dem Stichprobenmittel {\bar {x}} und der Stichprobenstandardabweichung s.

Exzess

Steilgipflig.svg
Flachgipflig.svg

Um das Ausmaß der Wölbung besser einschätzen zu können, wird sie mit der Wölbung einer Normalverteilung verglichen, für die \beta_2=3 gilt. Der Exzess (auch: Überkurtosis) ist daher definiert als

 \gamma = \mathrm{Exzess} = \mbox{Wölbung}-3

Mittels der Kumulanten ergibt sich

\gamma ={\frac  {\kappa _{4}}{\operatorname {Var}(X)^{2}}}

Nicht selten wird die Wölbung fälschlicherweise als Exzess bezeichnet.

Arten von Exzess

Verteilungen werden entsprechend ihrem Exzess eingeteilt in:

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 06.12. 2017