Logarithmische Normalverteilung

Die logarithmische Normalverteilung (kurz Log-Normalverteilung) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen. Sie beschreibt die Verteilung einer Zufallsvariablen , wenn $\ln(X)$ normalverteilt ist. Umgekehrt, wenn normalverteilt ist, so ist $\operatorname {exp}(Y)$ logarithmisch normalverteilt.

Im Gegensatz zu einer normalverteilten Zufallsvariablen, die nach dem zentralen Grenzwertsatz als Summe vieler verschiedener Zufallsvariablen aufgefasst werden kann, entsteht eine logarithmisch normalverteilte Zufallsvariable durch das Produkt vieler positiver Zufallsvariablen. Somit ist die logarithmische Normalverteilung die einfachste Verteilungsart für multiplikative Modelle.

Definition

Dichtefunktion der Lognormalverteilung (mit $\mu =0$ )

Dichtefunktion

Eine stetige Zufallsvariable unterliegt der logarithmischen Normalverteilung ${\mathcal {LN}}(\mu ,\sigma ^{2})$ mit den Parametern $\mu \in \mathbb{R}$ und $\sigma \in {\mathbb {R}},\sigma >0$ , wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma x}}\,\exp {\Big (}-{\frac {(\ln(x)-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}{\Big )}&x>0\\0&x\leq 0\end{cases}}$

besitzt.

Zweidimensionale Log-Normalverteilung

Sind und zwei log-normalverteilte Zufallsvariable, dann ist mit dem transformierten Korrelationskoeffizienten

$\rho ={\frac {\operatorname {exp} \left(\rho _{N}\sigma _{x}\sigma _{y}\right)-1}{\sqrt {(\operatorname {exp} \left(\sigma _{x}^{2}\right)-1)(\operatorname {exp} \left(\sigma _{y}^{2}\right)-1)}}}$

deren gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte definiert als

$f(x,y)={\frac {\operatorname {exp} \left(-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}}{\Big (}{\Big (}{\frac {\ln(x)-\mu _{x}}{\sigma _{x}}}{\Big )}^{2}-2\rho {\frac {\ln(x)-\mu _{x}}{\sigma _{x}}}{\frac {\ln(y)-\mu _{y}}{\sigma _{y}}}+{\Big (}{\frac {\ln(y)-\mu _{y}}{\sigma _{y}}}{\Big )}^{2}{\Big )}\right)}{2\pi xy\sigma _{x}\sigma _{y}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}$ .

Verteilungsfunktion

Verteilungsfunktion der Lognormalverteilung (mit $\mu =0$ )

Damit hat die logarithmische Normalverteilung für $x \geq 0$ die Verteilungsfunktion

$F(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\int \limits _{0}^{x}{\frac {1}{t}}\mathrm {e} ^{\displaystyle -{\frac {(\ln(t)-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\mathrm {d} t=\Phi \left({\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma }}\right)$ ,

wobei $\Phi$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet.

Die Verteilungsfunktion der logarithmischen Normalverteilung erscheint auf doppelt logarithmisch geteiltem Wahrscheinlichkeitspapier als Gerade.

Eigenschaften

Logarithmus

Der Logarithmus von ist normalverteilt, denn

$P(\ln X\leq y)=P(X\leq e^{y})=\int _{0}^{e^{y}}f_{X}(t){\rm {d}}t=\int _{0}^{e^{y}}{\frac {1}{t\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {(\ln t-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}{\rm {d}}t=$

$=\int _{-\infty }^{y}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {(z-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}{\rm {d}}z=\Phi \left({\frac {y-\mu }{\sigma }}\right)$

mit der Verteilungsfunktion $\Phi$ der Standardnormalverteilung.

Maximum

Die Wahrscheinlichkeitsdichte nimmt ihren maximalen Wert

$f_{{\text{max}}}={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\,{\mathrm {e}}^{{\sigma ^{2}/2-\mu }}$

an der Stelle $x={\mathrm {e}}^{{\mu -\sigma ^{2}}}$ an.

Erwartungswert

Der Erwartungswert der logarithmischen Normalverteilung beträgt

$\operatorname {E} (X)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\int \limits _{0}^{+\infty }x\;{\frac {\mathrm {e} ^{-{\frac {(\ln {x}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}{x}}\;\mathrm {d} x=\mathrm {e} ^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}$

Varianz

Die Varianz ergibt sich analog zu

$\operatorname {Var} (X)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int \limits _{0}^{+\infty }(x-\mathrm {e} ^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}})^{2}\;{\frac {\mathrm {e} ^{-{\frac {(\ln {x}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}{x}}\;\mathrm {d} x=\mathrm {e} ^{2\mu +\sigma ^{2}}(\mathrm {e} ^{\sigma ^{2}}-1)$ .

Standardabweichung

Für die Standardabweichung ergibt sich

${\sqrt {\operatorname {Var}(X)}}={\sqrt {{\mathrm {e}}^{{2\mu +\sigma ^{{2}}}}({\mathrm {e}}^{{\sigma ^{{2}}}}-1)}}={\mathrm {e}}^{{\mu +{\frac {\sigma ^{{2}}}{2}}}}\cdot {\sqrt {{\mathrm {e}}^{{\sigma ^{{2}}}}-1}}$ >.

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten

$\operatorname {VarK}(X)={\sqrt {{\mathrm {e}}^{{\sigma ^{2}}}-1}}$ .

Schiefe

Die Schiefe ergibt sich zu

$\operatorname {v}(X)=({\mathrm {e}}^{{\sigma ^{2}}}+2){\sqrt {{\mathrm {e}}^{{\sigma ^{2}}}-1}}>0$ ,

d.h., die Lognormalverteilung ist rechtsschief.

Quantile

Ist $u_{{(p)}}$ das p-Quantil einer Standardnormalverteilung (d.h. $\Phi (u_{{(p)}})=p$ , wobei $\Phi$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung sei), so ist das p-Quantil der Logarithmischen Normalverteilung gegeben durch

$x_{{(p)}}={\mathrm {e}}^{{\mu +u_{{(p)}}\cdot \sigma }}$ .

Insbesondere ist der Median, d.h. der Wert, bei dem die Verteilungsfunktion den Wert 0,5 annimmt, gegeben durch

$x_{{(0,5)}}={\mathrm {e}}^{\mu }$ .

Je größer die Differenz zwischen Erwartungswert und Median, desto ausgeprägter ist i.a. die Schiefe einer Verteilung. Hier unterscheiden sich diese Parameter um den Faktor ${\mathrm {e}}^{{{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}}$ . Die Wahrscheinlichkeit für extrem große Ausprägungen ist also bei der Lognormalverteilung hoch.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ist für die logarithmische Normalverteilung nicht explizit darstellbar.

Momente

Für die logarithmische Normalverteilung existieren alle Momente und es gilt:

$\operatorname {E}(X^{n})={\mathrm {e}}^{{n\mu +{\frac {n^{2}\sigma ^{2}}{2}}}}$ .

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion existiert nicht für die logarithmische Normalverteilung.

Entropie

Die Entropie der logarithmischen Normalverteilung (ausgedrückt in nats) beträgt

$\mu +{\frac {1}{2}}\ln \left(2\pi {\mathrm {e}}\sigma ^{2}\right)$ .

Beziehungen zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Normalverteilung

Der Logarithmus einer logarithmisch-normalverteilten Zufallsvariablen ist normalverteilt. Genauer: Ist eine ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ -verteilte reelle Zufallsvariable (d.h. normalverteilt mit Erwartungswert $\mu$ und Varianz $\sigma ^{2}$ ), so ist die Zufallsvariable $X={\mathrm {e}}^{Y}$ Log-normalverteilt mit diesen Parametern $\mu$ und $\sigma ^{2}$ , allerdings bilden diese Parameter nicht Erwartungswert und Varianz von . Ist ein bestimmter Erwartungswert und eine bestimmte Varianz gewünscht, so kann man dies leicht durch die folgenden Formeln erreichen:

$\sigma ^{2}=\ln \left({\frac {\operatorname {Var} }{E^{2}}}+1\right)$ und

$\mu =\ln(E)-{\frac {\sigma ^{2}}{2}}$ oder direkt $\mu =\ln \left(E^{2}\ {\sqrt[{}]{\frac {1}{\operatorname {Var} +E^{2}}}}\right)$

Anwendungen

Black-Scholes-Modell

Im Black-Scholes-Modell folgen Aktienkurse einer geometrischen brownschen Bewegung und sind damit logarithmisch normalverteilt. In diesem Modell lassen sich explizit Preise von Finanzoptionen bestimmen.

Einkommensverteilung

Häufig sind Einkommen lognormalverteilt. Ein Grund ist, dass es relativ wenig bestbezahlte Stellen gegenüber sehr vielen Arbeitsstellen mit eher geringem Einkommen gibt, wobei besonders niedrige Einkommen wieder seltener werden. Das entspricht genau dem Verlauf der meisten Lognormalverteilungen. Dieser Umstand kann in jedem operativ funktionierenden Unternehmen überprüft werden.

Schätzung von Umsatzziffern von Unternehmen

Die Logarithmen aller Fakturenbeträge eines Unternehmens folgen annähernd einer Normalverteilung. Der Abstand zwischen dem Logarithmus des kleinsten und dem Logarithmus des größten Fakturenbetrages repräsentiert annähernd die 6-fache Standardabweichung der Normalverteilung der Logarithmen. Dadurch ist es möglich, auf den Mittelwert oder Erwartungswert der Fakturenbeträge (s.o.) der Lognormalverteilung zu schließen. Multiplikation dieses Mittelwertes mit der Anzahl der gültigen Fakturen ergibt in den meisten Fällen einen akzeptablen Schätzwert für die Größenordnung des Umsatzes eines Unternehmens; wertmäßig liegt er tendenziell zu hoch: Da für solche Schätzungen häufig auch das benfordsche Gesetz gelten sollte, sollte in diesen Fällen auch die Benford-Verteilung zu Rate gezogen werden. Dabei ist zu beachten, dass die Größenordnungen (Stellenwerte) der Rechnungsbeträge nicht gleichverteilt, sondern annähernd normalverteilt sind.

Versicherungsmathematik

In der Versicherungsmathematik wird die Verteilung der Schadensanzahl häufig mit Hilfe von Zufallsvariablen modelliert, die der Poisson-Verteilung oder der Negativ-Binomialverteilung genügen. Dagegen eignen sich zur Modellierung der Schadenshöhe insbesondere die Gammaverteilung, die Log-Gammaverteilung oder die Log-Normalverteilung.

Die logarithmische Normalverteilung wird wegen der oben besprochenen Schiefe und der damit verbundenen Großschadenneigung bei der Modellierung von Risiken häufig als Verteilung der Schadenshöhe eingesetzt. Sind der Erwartungswert E und die Standardabweichung stdev vorgegeben, so erhält man die Parameter der logarithmischen Normalverteilung wie folgt:

$\sigma ={\sqrt {\ln \left(1+\left({\frac {{{\rm {stdev}}}}{{{\rm {E}}}}}\right)^{2}\right)}}$

und

$\mu =\ln {{\rm {E}}}-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+\left({\frac {{{\rm {stdev}}}}{{{\rm {E}}}}}\right)^{2}\right)$ .

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de