Schallgeschwindigkeit

Schallgrößen
Schalldruck Schalldruckpegel Schallschnelle Schallauslenkung $\xi$ Schallbeschleunigung Schallintensität Schallleistung $P_{ak}$ Schallenergiedichte Schallenergie Schallfluss Schallimpedanz Schallgeschwindigkeit

Die Schallgeschwindigkeit (für lateinisch celeritas ‚Eile‘, ‚Schnelligkeit‘) ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit, mit der sich Schallwellen in einem Medium fortpflanzen. Ihre SI-Einheit ist Meter pro Sekunde (m/s).

Sie ist nicht zu verwechseln mit der Schallschnelle , d.h. der Momentangeschwindigkeit, mit der sich die einzelnen Teilchen des Mediums bewegen, um die zu der Schallwelle gehörige Deformation auf- und abzubauen.

Die Schallgeschwindigkeit ist allgemein abhängig vom Medium (insbesondere Elastizität und Dichte) und seiner Temperatur, in Fluiden zusätzlich vom Druck und in Festkörpern maßgeblich vom Wellentyp (Longitudinalwelle, Schubwelle, Rayleigh-Welle, Lamb-Welle, etc.) und der Frequenz. In anisotropen Medien ist sie zusätzlich noch richtungsabhängig. In Gasen oder Gasgemischen wie Luft bei Bedingungen um 1 bar und 20 °C spielt einzig die Temperaturabhängigkeit eine nennenswerte Rolle.

Die Schallgeschwindigkeit in trockener Luft von 20 °C ist 343,2 m/s. Das entspricht 1235,5 km/h.

Für den Zusammenhang zwischen Schallgeschwindigkeit und Frequenz einer monochromatischen Schallwelle der Wellenlänge $\lambda \,$ gilt wie für alle solchen Wellen:

$c = \lambda \cdot f$ .

Schallgeschwindigkeit in Flüssigkeiten und Gasen

In Flüssigkeiten und Gasen können sich nur Druck- bzw. Dichtewellen ausbreiten, bei denen sich die einzelnen Teilchen in Richtung der Wellenausbreitung hin und her bewegen (Longitudinalwelle). Die Schallgeschwindigkeit ist eine Funktion der Dichte $\rho \,$ und des (adiabatischen) Kompressionsmoduls und berechnet sich aus

$c_{\text{Flüssigkeit, Gas}} = \sqrt{\frac{K}{\rho}}$ .

Schallgeschwindigkeit in Festkörpern

Schallwellen in Festkörpern können sich sowohl als Longitudinalwelle (hierbei ist die Schwingungsrichtung der Teilchen parallel zur Ausbreitungsrichtung) oder als Transversalwelle (Schwingungsrichtung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung) ausbreiten.

Für Longitudinalwellen hängt im allgemeinen Fall die Schallgeschwindigkeit in Festkörpern von der Dichte $\rho \,$ , der Poissonzahl $\mu \,$ und dem Elastizitätsmodul des Festkörpers ab. Es gilt dabei

$c_\text{Festkörper, longitudinal} = \sqrt{\frac{E \, (1- \mu)}{\rho \, (1 - \mu - 2 \mu^2)}}$

und

$c_\text{Festkörper, transversal}= \sqrt{\frac{E}{2 \, \rho \, (1 + \mu)}}$

sowie für eine Oberflächenwelle auf einem ausgedehnten Festkörper (Rayleigh-Welle)

$c_\text{Festkörper, Oberfläche} \approx 0{,}922 \cdot c_\text{Festkörper, transversal}$

Im Spezialfall eines langen Stabes, wobei der Durchmesser des Stabes deutlich kleiner als die Wellenlänge der Schallwelle sein muss, kann der Einfluss der Querkontraktion vernachlässigt werden (d.h. $\mu\mathord =0$ ) und man erhält

$c_\text{langer Stab, longitudinal} = \sqrt{\frac{E}{\rho}}$ .

Für Transversalwellen muss der Elastizitätsmodul durch den Schubmodul ersetzt werden:

$c_\text{Festkörper, transversal} = \sqrt{\frac{G}{\rho}}$ .

Schallgeschwindigkeit im idealen Gas

Klassisches ideales Gas

Da der Kompressionsmodul eines klassischen, reinen idealen Gases $K = \kappa \,p$ nur vom Adiabatenexponenten $\kappa$ („kappa“) des Gases und dem herrschenden Druck abhängt, ergibt sich für die Schallgeschwindigkeit:

$c_{\text{Ideales Gas}} = \sqrt{\kappa\, \frac{p}{\rho}} = \sqrt{\kappa \, \frac{RT}{M}}$

Darin ist die universelle Gaskonstante, die molare Masse (Masse von 1 Mol des Gases), und die absolute Temperatur. Für feste Werte und $\kappa$ , also für ein gegebenes ideales Gas, hängt die Schallgeschwindigkeit nur von der Temperatur ab, sie ist insbesondere weder vom Druck noch von der Dichte des Gases abhängig.

Der Adiabatenexponent berechnet sich aus $\kappa =\tfrac{f+2}{f}$ , worin die Anzahl der Freiheitsgrade der Bewegung eines Teilchens (Atom oder Molekül) ist. Für einen Massepunkt gilt $f\mathord =3$ , für eine starre Hantel aus zwei Massepunkten $f\mathord =5$ , für einen starren Körper $f\mathord =6$ . Für jede mögliche Grundschwingung erhöht sich um zwei. Der Adiabatenexponent kann also nur folgende Werte annehmen:

$\kappa \mathord =\tfrac{5}{3} \mathord = 1{,}67$ für ein einatomiges Gas (z.B. Edelgas)
$\kappa \mathord =\tfrac{7}{5} \mathord= 1{,}40$ für ein zweiatomiges Gas (ohne Vibration der Moleküle, z.B. Stickstoff N₂, Wasserstoff H₂, Sauerstoff O₂)
$\kappa\mathord \le \tfrac{8}{6} \mathord= 1{,}33$ für alle größeren oder komplizierteren Moleküle

Für Luft misst man $\kappa \mathord = 1{,}402$ und erhält mit einer mittleren Molmasse $M\mathord = 0{,}02896\,\mathrm{kg/mol}$ für Stickstoff und Sauerstoff bei Normaltemperatur $T\mathord=293{,}15\mathrm{K}$ (20°C)

$c_{\text{Luft}} \approx \sqrt{1{,}402\, \frac{ 8{,}3145\,\mathrm{\frac{J}{mol\,K}} 293{,}15\mathrm{K} } { 0{,}02896\,\mathrm{\frac{kg}{mol}}}} = 343\,\mathrm{\frac{m}{s}},$

in sehr guter Übereinstimmung mit dem in trockener Luft gemessenen Wert.

Die Schallgeschwindigkeit $c_{\text{Ideales Gas}} = \sqrt{\kappa \, \tfrac{RT}{M}}$ ist etwas kleiner als die mittlere Translationsgeschwindigkeit $\sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{3\, \tfrac{RT}{M}}$ der im Gas sich bewegenden Teilchen. Das steht im Einklang mit der anschaulichen Interpretation der Schallausbreitung in der kinetischen Gastheorie: Eine kleine lokale Abweichung des Druckes und der Dichte von ihren Durchschnittswerten wird von den durcheinander fliegenden Teilchen in die Umgebung getragen.

Der Faktor $\kappa$ kommt aus der adiabatischen Zustandsgleichung, die Prozesse beschreibt, bei denen die Temperatur nicht konstant bleibt, obwohl keine Wärme ausgetauscht wird. Schallwellen bestehen aus periodischen Schwankungen von Dichte und Druck, die im Vergleich zu ihrer Ausdehnung zu kurz andauern, als dass nennenswert Wärme zu- oder abfließen könnte. Wegen der damit verbundenen Temperaturschwankungen gilt die obige Formel nur im Grenzfall kleiner Amplituden, wobei für die Durchschnittstemperatur einzusetzen ist. Tatsächlich machen sich bei großen Amplituden, z.B. nach einer Detonation, nichtlineare Effekte dadurch bemerkbar, dass die Wellenberge – Wellenfronten mit maximaler Dichte – schneller laufen als die Wellentäler, was zu steileren Wellenformen und Ausbildung von Stoßwellen führt.

Quanteneffekte

Da die Schallgeschwindigkeit einerseits mit dem Kundtschen Rohr schon früh verhältnismäßig leicht präzise zu messen war und andererseits direkt mit einer atomphysikalischen Größe, der Anzahl der Freiheitsgrade, verknüpft ist, führte sie zur frühen Entdeckung wichtiger Effekte, die erst mit der Quantenmechanik erklärt werden konnten.

Atome als Massepunkte

Das erste mit chemischen Methoden als einatomig identifizierte Gas – Quecksilberdampf bei hoher Temperatur – zeigte 1875 auch zum ersten Mal den Wert $\kappa\mathord=1{,}667$ , also $f\mathord=3$ . Dieser Wert ist nach der kinetischen Gastheorie einem Gas aus idealen Massepunkten vorbehalten. Ab 1895 kamen gleiche Befunde an den neu entdeckten Edelgasen Argon, Neon etc. hinzu. Das stützte einerseits die damalige Atomhypothese, nach der alle Materie aus winzigen Kügelchen aufgebaut ist, warf aber andererseits die Frage auf, warum diese Kugeln nicht wie jeder starre Körper drei weitere Freiheitsgrade für Drehbewegungen besitzen. Die Ende der 1920er Jahre gefundene quantenmechanische Erklärung besagt, dass für Drehbewegungen angeregte Energieniveaus besetzt werden müssen, deren Energie so hoch liegt, dass die kinetische Energie der stoßenden Gasteilchen bei weitem nicht ausreicht. Das gilt auch für die Rotation eines zweiatomigen Moleküls um die Verbindungslinie der Atome und erklärt somit, warum es hier für die Rotation nicht drei sondern nur zwei Freiheitsgrade gibt.

Einfrieren der Drehbewegung

Eine markante Temperaturabhängigkeit des Adiabatenkoeffizienten wurde 1912 bei Wasserstoff entdeckt: Bei Abkühlung von Normaltemperatur ( ca. 300 K) auf 100 K steigt $\kappa$ stetig von 1,40 auf 1,667, d.h. vom Wert für eine Hantel zum Wert für einen Massepunkt. Man sagt, die Rotation „friert ein“, bei 100 K verhält sich das ganze Molekül wie ein Massepunkt. Die quantenmechanische Begründung schließt an die obige Erklärung für Einzelatome an: Bei 100 K reicht die Stoßenergie der Gasmoleküle praktisch nie zur Anregung eines Energieniveaus mit höherem Drehimpuls, bei 300 K praktisch immer. Der Effekt ist so deutlich bei anderen Gasen nicht beobachtbar, weil sie in dem jeweils betreffenden Temperaturbereich bereits verflüssigt sind. Jedoch wird auf diese Weise erklärt, warum die gemessenen Abdiabatenkoeffizienten realer Gase von der einfachen Formel $\kappa\mathord=\tfrac{f+2}{f}$ meist etwas abweichen.

Schallgeschwindigkeit im realen Gas

Die für das ideale Gas entwickelten Vorstellungen und Formeln gelten in sehr guter Näherung auch für die meisten realen Gase. Insbesondere variiert deren Adiabatenexponent $\kappa \, = c_\mathrm{p}/c_\mathrm{V}$ über weite Bereiche weder mit der Temperatur noch mit dem Druck. Für die Temperaturabhängigkeit der Schallgeschwindigkeit in Luft im Bereich normaler Umwelttemperaturen wird oft die lineare Näherungsformel

$c_{\mathrm{Luft}} \approx ( 331{,}5 + 0{,}6\,\vartheta/{}^\circ\mathrm{C} ) \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \,$

benutzt. Diese Näherung gilt im Temperaturbereich von −20 °C bis +40 °C mit einer Genauigkeit von besser als 99,8 %. Die absolute Temperatur wurde hier nach $\vartheta/{}^\circ\mathrm{C} = T/\mathrm{K} - 273{,}15\,$ in °C umgerechnet.

Die Luftfeuchtigkeit lässt die Schallgeschwindigkeit geringfügig zunehmen, denn die mittlere molare Masse feuchter Luft nimmt durch die Beimischung der leichteren Wassermoleküle stärker ab als der mittlere Adiabatenkoeffizient $\kappa$ . Beispielsweise ist bei 20 °C und 100 % Luftfeuchtigkeit die Schallgeschwindigkeit um 0,375 % höher als bei 20 °C und 0% Luftfeuchtigkeit. Die gleiche Erhöhung der Schallgeschwindigkeit gegenüber trockener Luft würde sich durch eine Temperaturerhöhung auf gut 22 °C ergeben.

In der normalen Atmosphäre nimmt die Schallgeschwindigkeit daher mit der Höhe ab. Sie erreicht ein Minimum von etwa 295 m/s (ca 1 060 km/h) in der Tropopause (ca. 11 km Höhe). Hingegen nimmt die Schallgeschwindigkeit mit der Höhe zu, wenn bei einer Inversionswetterlage eine wärmere Luftschicht über einer kälteren liegt. Oft geschieht dies am Abend nach einem warmen Sonnentag, weil sich der Boden schneller abkühlt als die höheren Luftschichten. Dann schreiten die Wellen in der Höhe schneller voran als unten, so dass eine Wellenfront, die von einer bodennahen Schallquelle schräg aufwärts strebt, wieder nach unten gelenkt wird. Man sagt, die Schallstrahlen werden zum Boden hin gekrümmt. An Sommerabenden kann man das oft an der größeren Reichweite von Schall bemerken.

Ähnlich lautet die Begründung dafür, dass man mit dem Wind besser hört als gegen den Wind, obwohl die Bewegung des Mediums Luft angesichts der Größe der Schallgeschwindigkeit die Schallausbreitung kaum beeinflusst. Aber der Wind hat fast immer ein Profil mit nach oben zunehmender Geschwindigkeit, was wieder zur Krümmung der Schallstrahlen führt, gegen den Wind nach oben, mit dem Wind nach unten.

Beispiele für Schallgeschwindigkeiten in verschiedenen Medien

In der folgenden Tabelle sind einige Beispiele für Schallgeschwindigkeiten in verschiedenen Medien bei einer Temperatur von 20 °C aufgelistet. Für alle Materialien angegeben ist die Schallgeschwindigkeit für die Druckwelle (Schallgeschwindigkeit longitudinal). In Festkörpern können sich auch Scherwellen ausbreiten, die Ausbreitungsgeschwindigkeit dieser Wellen ist als „Schallgeschwindigkeit transversal“ angegeben.

Medium	Schallgeschwindigkeit longitudinal in m/s bei 20 °C falls nicht anders angegeben	Schallgeschwindigkeit transversal in m/s
Luft (bei 20 °C)	343 ^*
Helium	981
Wasserstoff	1280
Sauerstoff (bei 0 °C)	316
Kohlendioxid (bei 20 °C)	266
Wasser	1 484
Wasser (bei 0 °C)	1 407
Meerwasser	≈ 1 500
Eis (bei −4 °C)	3 250	1 990
Benzol	1 326
2,5 molare Natriumchlorid-Lösung (bei 25 °C)	1 540
Glas	4430 bis 5900
Polyvinylchlorid-P (weich)	80
PVC-U (hart)	2 250	1 060
Beton (C20/25)	3 655	2240
Buchenholz	3 300
Marmor	6 150
Aluminium	6 250-6 350	3 100
Beryllium	12 800, 12 900	8 710, 8880
Stahl	5 850, 5 920	3 230
Messing	3500
Wolfram	5180	2870
Eisen	5170
Diamant	18 000
Graphen	20 000
Quark-Gluon-Plasma (bei $10^{12}$ °C)	173 000 000^** $\approx c/\sqrt{3}$

Anmerkungen:

^* entspricht 1 235 km/h

^** c: Lichtgeschwindigkeit

Diamant besitzt mit etwa 18.000 m/s die höchste Schallgeschwindigkeit aller natürlichen Medien.

Der beim Holz-Musikinstrumentenbau wichtige Parameter „Schallgeschwindigkeit“ beträgt längs zur Faser bei Erle 4400 m/s, Ahorn 4500 m/s, Esche etwa 4700 m/s, Padouk 4800 m/s, Linde 5100 m/s, Fichte 5.500 m/s.

Temperaturabhängigkeit in Luft

Schallgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Lufttemperatur
Temperatur $\vartheta$ in °C	Schallgeschwindigkeit $c_\text{S}$ in m/s
+35	352,17
+30	349,29
+25	346,39
+20	343,46
+15	340,51
+10	337,54
+5	334,53
0	331,50
−5	328,44
−10	325,35
−15	322,23
−20	319,09
−25	315,91

Frequenzabhängigkeit

In einem dispersiven Medium ist die Schallgeschwindigkeit von der Frequenz abhängig. Die räumliche und zeitliche Verteilung einer Fortpflanzungsstörung ändert sich ständig. Jede Frequenzkomponente pflanzt sich jeweils mit ihrer eigenen Phasengeschwindigkeit fort, während die Energie der Störung sich mit der Gruppengeschwindigkeit fortpflanzt. Gummi ist ein Beispiel für ein dispersives Medium: Bei höherer Frequenz ist es steifer, hat also eine höhere Schallgeschwindigkeit.

In einem nicht dispersiven Medium ist die Schallgeschwindigkeit unabhängig von der Frequenz. Daher sind die Geschwindigkeiten des Energietransports und der Schallausbreitung dieselben. Wasser und Luft sind über weite Frequenzbereiche nicht-dispersive Medien.

Sonstiges

In der Luftfahrt wird die Geschwindigkeit eines Flugzeugs auch relativ zur Schallgeschwindigkeit gemessen. Dabei wird die Einheit Mach (benannt nach Ernst Mach) verwendet, wobei Mach 1 gleich der jeweiligen Schallgeschwindigkeit ist. Abweichend von anderen Maßeinheiten wird bei der Messung der Geschwindigkeit in Mach die Einheit vor die Zahl gesetzt.

Die Entfernung eines Blitzes und damit eines Gewitters lässt sich durch Zählen der Sekunden zwischen dem Aufleuchten des Blitzes und dem Donnern abschätzen. Der Schall legt in der Luft einen Kilometer in etwa 3 Sekunden zurück, die Anzahl der gezählten Sekunden durch drei geteilt, ergibt daher die Entfernung des Blitzes in Kilometern.

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de