Dichte

Physikalische Größe
Name Massendichte
Formelzeichen der Größe \rho
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI kg/m3 M/L3
Siehe auch: Wichte (spezifisches Gewicht),

relative Dichte (spezifische Dichte),
spezifisches Volumen

Die Dichte ρ (Rho) (genauer: Massendichte) eines Körpers ist das Verhältnis seiner Masse zu seinem Volumen. \rho= \frac{m}{V}\,, Sie wird zum Beispiel in Gramm pro Kubikzentimeter oder Kilogramm pro Liter angegeben.

Die Dichte ist eine für das Material des Körpers charakteristische, von seiner Form und Größe unabhängige Eigenschaft.

Mit -dichte zusammengesetzte Wörter bezeichnen auch andere Größen, die auf das Volumen, manchmal aber auch auf eine Fläche, eine Länge, ein Frequenzintervall oder Anderes bezogen werden.

Messung der Dichte

Dichtebestimmung durch Auftrieb

An einem eingetauchten Körper angreifende Kräfte

Nach dem Prinzip von Archimedes erfährt ein vollständig in einem Fluid (einer Flüssigkeit oder in einem Gas) eingetauchter Körper eine Auftriebskraft, die gleich der Gewichtskraft des Volumens des verdrängten Stoffes ist. Um die zwei Unbekannten Dichte und Volumen zu bestimmen, sind zwei Messungen erforderlich.

Taucht man einen beliebigen Körper mit dem Volumen V_\mathrm K vollständig in zwei Fluide mit bekannten Dichten \rho_1 und \rho_2 ein, so ist die resultierende Kraft F_1 bzw. F_2, welche mittels einer einfachen Waage messbar ist. Die gesuchte Dichte \rho_\mathrm K des Körpers lässt sich wie folgt bestimmen.

Ausgehend von den Formeln für die Gewichtskraft F_\mathrm G des Körpers und die Auftriebskraft F_{\mathrm A i} des Körpers in Fluid i

F_\mathrm G=V_\mathrm K \cdot \rho_\mathrm K \cdot g
F_{\mathrm A i}=V_\mathrm K \cdot \rho_i \cdot g

wobei g die Schwerebeschleunigung ist, misst eine Waage für den in Fluid i eingetauchten Körper die Kraft

F_i=F_\mathrm G-F_{\mathrm A i}.

Nun kann man beide Gleichungen für die Fluide i = 1,2 nach dem Volumen V_\mathrm K umformen und die entsprechenden Ausdrücke gleichsetzen. Nach weiteren Umformungen erhält man die Lösung:

\rho_\mathrm K = \frac{F_1 \cdot \rho_2 - F_2 \cdot \rho_1}{F_1-F_2}

Falls eine Dichte sehr viel kleiner als die andere ist, \rho_1 \ll \rho_2 (etwa bei Luft und Wasser), vereinfacht sich die Formel zu:

\rho_\mathrm K = \frac{F_1}{F_1-F_2}\cdot \rho_2

Falls man nur eine Flüssigkeit, z.B Wasser mit Dichte \rho_1 hat, lässt sich stattdessen das Volumen des Körpers durch das Volumen des Wassers bestimmen, das bei vollständigem Eintauchen verdrängt wird, indem man beispielsweise den Überlauf aus einem vollen Gefäß mit einem Messzylinder misst. Aus obiger Gleichung

F_1=F_\mathrm G-F_{\mathrm A 1}=V_\mathrm K \cdot g \cdot (\rho_\mathrm K -\rho_1)

erhält man durch Umformen

\rho_\mathrm K=\rho_1+\frac{F_1}{V_\mathrm K \cdot g}

Nach dieser Methode bestimmte schon Archimedes die Dichte der Krone eines Königs, der bezweifelte, dass diese wirklich aus reinem Gold bestehe (ρK = 19320 kg/m3).

Auf dieser „Auftriebswägung“ von Flüssigkeiten beruhen das Aräometer (Spindel) und die Mohrsche Waage.

Ortsabhängige Dichte

Mit \mathrm dm werde die Masse in einem gewissen Kontrollvolumen \mathrm dV bezeichnet. Bei stetig verteilter Masse kann man einen Grenzübergang durchführen, d.h. man lässt das Kontrollvolumen immer kleiner werden und kann so die Massendichte \rho(\mathbf x) durch

\mathrm dm = \rho(\mathbf x) \,\mathrm dV

definieren. Die Funktion \rho\colon\R^3 \to \R wird auch als Dichtefeld bezeichnet.

Für einen homogenen Körper, dessen Massendichte in seinem Inneren überall den Wert \rho_0 hat, ist die Gesamtmasse m das Produkt von Dichte und Volumen V, d.h. es gilt:

m = \rho_0\,V

Bei inhomogenen Körpern ist die Gesamtmasse allgemeiner das Volumenintegral

m = \int_V \rho(\mathbf x)\,\mathrm dV

über die Massendichte.

Die Dichte ergibt sich aus den Massen der Atome, aus denen das Material besteht und aus ihren Abständen. In homogenem Material, zum Beispiel in einem Kristall, ist die Dichte überall gleich. Sie ändert sich normalerweise mit der Temperatur und bei kompressiblen Materialien (wie z.B. Gasen) auch mit dem Druck. Daher ist beispielsweise die Dichte der Atmosphäre ortsabhängig und nimmt mit der Höhe ab.

Der Kehrwert der Dichte wird spezifisches Volumen genannt und spielt vor allem in der Thermodynamik der Gase und Dämpfe eine Rolle. Das Verhältnis der Dichte eines Stoffes zur Dichte im Normzustand wird als relative Dichte bezeichnet.

In der ersten Ausgabe der DIN 1306 Dichte und Wichte; Begriffe vom August 1938 wurde die Dichte im heutigen Sinn als mittlere Dichte genormt und die ortsabhängige Dichte in einem Punkt als Dichte schlechthin definiert: „Die Dichte (ohne den Zusatz ‚mittlere‘) in einem Punkte eines Körpers ist der Grenzwert, dem die mittlere Dichte in einem den Punkt enthaltenden Volumen zustrebt, wenn man dieses so weit verkleinert denkt, dass es klein wird gegen die Abmessungen des Körpers, aber noch groß bleibt gegen die Gefügeeinheiten seines Stoffs.“ In der Ausgabe vom August 1958 wurde dann die mittlere Dichte in Dichte umbenannt mit der Erläuterung: „Masse, Gewicht und Volumen werden an einem Körper bestimmt, dessen Abmessungen groß sind gegen seine Gefügebestandteile.“

Relative Dichte

Die Relative Dichte d, auch spezifische Dichte, beschreibt das Verhältnis zweier Dichten.

d = {\rho \over \rho_0}

Bezugsgrößen

Häufige Standard-Bezugsdichten (Normale) sind die Dichte von reinem Wasser im Normzustand bei 3,98 °C und die Dichte von trockener Luft bei Normalbedingung (0 °C und 1013,25 mbar = 1,2931 kg/m³) oder Standardbedingung (20 °C oder 25 °C bei gleichem Luftdruck).

Die relative Dichte d^{T1}_{T2} ist das Verhältnis der Masse eines bestimmten Volumens einer Flüssigkeit bei der Temperatur T1 zur Masse des gleichen Volumens von Wasser bei der Temperatur T2. Eine gängige relative Dichte ist d^{20}_{20}, diese beschreibt also die Dichte einer Flüssigkeit bei 20 °C in (z. B. 2 g/cm³) im Verhältnis zur Dichte von Wasser bei 20 °C (ca. 1 g/cm³). Die relative Dichte wäre dann 2, demnach ist die Flüssigkeit, bei 20 °C, doppelt so dicht wie Wasser bei 20 °C. Ein weiteres Beispiel ist d^{20}_{4}, dieses beschreibt die Dichte einer Flüssigkeit bei 20 °C im Verhältnis zur Dichte von Wasser bei 4 °C.


 
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 18.08. 2018