Würfel (Geometrie)

Würfel
120px-Hexahedron-slowturn.gif
Art der Seitenflächen Quadrate
Anzahl der Flächen 6
Anzahl der Ecken 8
Anzahl der Kanten 12
Schläfli-Symbol {4,3}
dual zu Oktaeder
Netz Hexahedron flat color.svg
Anzahl verschiedener Netze 11
Anzahl Kanten in einer Ecke 3
Anzahl Ecken einer Fläche 4

Der Würfel (von deutsch werfen, weil er in Würfelspielen geworfen wird; auch regelmäßiges Hexaeder [hɛksaˈeːdər], von griech. hexáedron ‚Sechsflächner‘, oder Kubus, von gr. κύβος kybos bzw. lat. cubus ‚Würfel‘) ist einer der fünf platonischen Körper, genauer ein (dreidimensionales) Polyeder (Vielflächner) mit

Der Würfel ist ein spezielles (dreidimensionales) Parallelepiped, ein spezieller (nämlich gleichseitiger) Quader sowie ein spezielles gerades quadratisches Prisma. Die Größe eines Würfels wird bereits durch die Angabe der Kantenlänge festgelegt.

Symmetrie

Zeichnung eines Würfels

Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Seiten sind untereinander gleichartig – ist der Würfel ein reguläres Polytop. Er hat

und ist

Für eine vierzählige Drehachse gibt es 3 Symmetrieoperationen (Drehung um 90°, 180° und 270°), für eine dreizählige Drehachse dementsprechend 2 Symmetrieoperationen. Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Würfels 48 Elemente. Man bezeichnet sie in der Notation von Schoenflies als O_h, in der Notation von Hermann / Mauguin als 4/m\ \bar{3}\ 2/m oder allgemein aber etwas ungenau als Oktaeder- bzw. Würfelgruppe.

Beziehungen zu anderen Polyedern

Der Würfel ist das zum Oktaeder duale Polyeder (und umgekehrt). Außerdem beschreiben die Eckpunkte des Würfels zwei punktsymmetrische reguläre Tetraeder, welche zusammen das Sterntetraeder als weiteren regulären Körper bilden.

Mithilfe von Würfel und Oktaeder können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Würfelgruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel

als Durchschnitte eines Würfels mit einem Oktaeder (archimedische Körper) und

als konvexe Hülle einer Vereinigung eines Würfels mit einem Oktaeder.

Der Würfel ist Baustein der regulären Würfelparkettierung.

Formeln

Größen eines Würfels mit Kantenlänge a
Volumen \,V = a^3
Oberflächeninhalt A_O = 6 \, a^2
Umkugelradius R = \frac{a}{2} \sqrt{3}
Kantenkugelradius r = \frac{a}{2} \sqrt{2}
Inkugelradius \rho = \frac{a}{2}
Raumdiagonale d = a \sqrt{3} = 2R
Verhältnis von Volumen
zu Umkugelvolumen
\frac{V}{V_{UK}} = \frac{2}{3\pi} \sqrt{3}
Flächenwinkel
= 90°
 \cos \, \alpha = 0
Flächen-Kanten-Winkel
= 90°
 \cos \, \beta = 0
Eckenraumwinkel
= 0,5 π
 \cos \, \Omega = 0

Verallgemeinerung

Auch die Analoga des Würfels in beliebiger Dimension n werden als (n-dimensionale) Würfel (oder Hyperwürfel) bezeichnet und sind ebenfalls reguläre Polytope. Der n-dimensionale Würfel hat  2^{n-k} \tbinom{n}{k} begrenzende Seiten der Dimension k. Spezialfälle:

Ein Modell für den n-dimensionalen Würfel ist der Einheitswürfel In im Vektorraum Rn. Und zwar ist der abgeschlossene Einheitswürfel

Der Einheitswürfel ist ein achsenparalleler Würfel mit der Kantenlänge 1 und einer Ecke im Koordinatenursprung. Eine Verallgemeinerung dieses Konzepts sind Quader im Rn, die in der mehrdimensionalen Analysis eine Rolle spielen.

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Basierend auf einem Artikel in: externer Link Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 01.10. 2019