Tetraeder

Regelmäßiges Tetraeder
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Art der Seitenflächen gleichseitige Dreiecke
Anzahl der Flächen 4
Anzahl der Ecken 4
Anzahl der Kanten 6
Schläfli-Symbol {3,3}
dual zu Tetraeder
Netz Tetrahedron flat.svg
Anzahl verschiedener Netze 2
Anzahl Kanten in einer Ecke 3
Anzahl Ecken einer Fläche 3

Das (auch, v.a. österr.: der) Tetraeder [tetraˈeːdər] (v. griech. tetráedron „Vierflächner“), auch Vierflächner oder Vierflach, ist ein Körper mit vier dreieckigen Seitenflächen. Es ist das einzige konvexe (dreidimensionale) Polyeder (Vielflächner) mit vier Flächen.

Das Wort wird jedoch nur selten in dieser allgemeinen Bedeutung gebraucht. Meist ist mit Tetraeder das regelmäßige (oder gleichseitige) Tetraeder gemeint, während das allgemeine Tetraeder je nach Symmetrie als dreiseitige Pyramide, Dreieckpyramide, Disphenoid oder dreidimensionales Simplex bezeichnet wird.

Regelmäßiges Tetraeder

Das regelmäßige Tetraeder (reguläre Tetraeder) ist einer der fünf platonischen Körper, genauer ein Polyeder mit

Das regelmäßige Tetraeder ist auch eine gleichseitige dreiseitige Pyramide (mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche).

Symmetrie

Symmetrieachsen und -ebenen eines regelmäßigen Tetraeders

Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig – ist das regelmäßige Tetraeder ein reguläres Polyeder. Es hat

Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Tetraeders – die Tetraedergruppe – 24 Elemente. Sie ist die symmetrische Gruppe S4 (die Punktgruppe Td nach Schoenflies bzw. 43m nach Hermann-Mauguin) und bewirkt alle 4! = 24 Permutationen der Ecken bzw. der Seitenflächen. Sie ist Untergruppe der Oktaedergruppe (Würfelgruppe).

Im Einzelnen gehören zur Tetraedergruppe

sowie

Die geraden Permutationen bilden eine Untergruppe der Tetraedergruppe, die so genannte alternierende Gruppe A_{4} (die Punktgruppe T bzw. 23). Manchmal wird der Begriff Tetraedergruppe auch nur für diese unter Ausschluss der Spiegelungen verwendet.

Weitere Eigenschaften

Verhältnis zu Oktaeder, Würfel, archimedischen Körpern

Tetraeder in Tetraeder

Durch Verbinden der Flächenmittelpunkte erhält man wieder ein Tetraeder. Man sagt deshalb: Das Tetraeder ist zu sich selbst dual, kurz: selbst-dual. Die Seitenlänge des neuen Tetraeders beträgt ein Drittel der ursprünglichen Seitenlänge.

Mit Hilfe dieser beiden Tetraeder können Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Tetraedergruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel

Siehe dazu auch das Beispiel weiter unten.

Umgebender Würfel

Animation eines Tetraeders
Tetraederwinkel-Berechnung

Das Tetraeder kann in einen Würfel so einbeschrieben werden, dass seine Ecken zugleich Würfelecken und seine sechs Kanten Diagonalen der Würfelflächen sind. (Die acht Ecken des Würfels bilden zwei disjunkte Mengen von je vier Ecken, die den beiden möglichen Lagen des Tetraeders entsprechen.) Das Volumen dieses Würfels ist das Dreifache des Tetraedervolumens.

Dual dazu kann das Tetraeder einem Oktaeder so umbeschrieben werden, dass vier der Oktaederflächen in den Begrenzungsflächen des Tetraeders liegen und die sechs Ecken des Oktaeders die Mittelpunkte der sechs Tetraederkanten sind. (Die acht Flächen des Oktaeders bilden zwei disjunkte Mengen, die den beiden Lagen für das dem Oktaeder umbeschriebene Tetraeder entsprechen.)

Winkel

Aufriss eines Tetraeders

Der Winkel zwischen zwei Begrenzungsflächen des regelmäßigen Tetraeders (in der Zeichnung mit \alpha bezeichnet) beträgt 70,53° (Rundungsgenauigkeit wie bei den nachfolgenden Angaben zwei Nachkommastellen). Jede Kante bildet mit der gegenüberliegenden Fläche einen Winkel (\beta ) von 54,74°. Die Verbindungsstrecken zwischen dem Tetraedermittelpunkt und zwei Ecken schließen jeweils einen Winkel von \textstyle \, \arccos {(-\frac{1}{3})} ein, dies entspricht 109,47°. Der zuletzt genannte Winkel (\tau ) wird als Tetraederwinkel bezeichnet und spielt eine wichtige Rolle in der Chemie, beispielsweise bei der Geometrie des Methan-Moleküls. Die Größen der angegebenen Winkel lassen sich durch Anwendung trigonometrischer Funktionen ermitteln. Man betrachtet dazu die Schnittfigur des Tetraeders mit einer seiner sechs Symmetrieebenen. Daraus ergibt sich exakt: \textstyle \cos\alpha = \frac{1}{3}; \quad \tan\beta= \sqrt{2}; \quad \cos\tau = -\frac{1}{3}.

Zur Berechnung des Tetraederwinkels siehe Artikel Stumpfer Winkel.

Querschnitt

Quadratischer Querschnitt durch einen Tetraeder

Das regelmäßige Tetraeder kann so in zwei Teile geschnitten werden, dass die Schnittfläche ein Quadrat ist. Die Teile sind kongruent zueinander.

Liegt die Schnittebene durch ein regelmäßiges Tetraeder parallel zu einer der vier Seitenflächen, dann ergibt der Querschnitt ein gleichseitiges Dreieck.

Liegt die Schnittebene durch ein regelmäßiges Tetraeder parallel zu zwei gegenüberliegenden Kanten, dann ergibt der Querschnitt ein Rechteck. Hat die Schnittebene zusätzlich noch von diesen beiden Kanten den gleichen Abstand, also teilt sie die übrigen vier Kanten genau zur Hälfte, dann ist das Schnittbild ein Quadrat. Das Quadrat hat eine Kantenlänge, die genau halb so lang ist wie die Länge einer Kante des Tetraeders.

Beispiel

Die Einbettung des Tetraeders in einen Würfel bietet eine einfache Möglichkeit, ein regelmäßiges Tetraeder zu konstruieren. Bezeichnen wir die Eckpunkte des Würfels an der Basis mit A,B,C und D sowie die darüberliegenden Eckpunkte mit {\displaystyle E,F,G} und H, so bilden {\displaystyle A,C,F} und H sowie {\displaystyle B,D,E} und G jeweils die Ecken eines Tetraeders. Betrachtet man z.B. in einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem den Würfel, dessen Ecken die Koordinaten +1 und -1 haben, so erhält man für das erste Tetraeder die Ecken

Die Kanten sind: {\displaystyle AC,AF,AH,CF,CH} und {\displaystyle FH}. Die Seitenflächen sind die Dreiecke {\displaystyle ACF,ACH,AFH} und {\displaystyle CFH}.

Das zweite Tetraeder hat die Ecken

Der Durchschnitt dieser beiden Tetraeder ist das von den Punkten {\displaystyle (1,0,0),(-1,0,0),(0,1,0)(0,-1,0),(0,0,1)} und (0,0,-1) bestimmte Oktaeder. Ihre Vereinigung ist ein Sternkörper mit 8 Spitzen (in jeder Ecke des Würfels eine). Seine konvexe Hülle ist daher der Würfel.

Formeln

Größen eines regulären Tetraeders mit Kantenlänge a
Volumen
≈ 0,12 a3
V = \frac{a^3}{12} \sqrt{2}
Oberflächeninhalt
≈ 1,73 a2
A_O = a^2 \sqrt{3}\, = V\,'(\rho)
Umkugelradius
≈ 0,61 a
R = \frac{a}{4} \sqrt{6} = 3 \,\rho
Kantenkugelradius
≈ 0,35 a
r = \frac{a}{4} \sqrt{2}
Inkugelradius
≈ 0,2 a
\rho = \frac{a}{12}\sqrt{6}
Pyramidenhöhe
≈ 0,82 a
k = \, \frac{a}{3} \sqrt{6} = \rho + R
Verhältnis von Volumen
zu Umkugelvolumen
 \frac{V}{V_{UK}} = \, \frac{2}{9\pi} \sqrt{3}
Flächenwinkel
≈ 70° 31′ 44″
 \cos \, \alpha = \frac{1}{3}
Flächen-Kanten-Winkel
≈ 54° 44′ 8″
 \tan \, \beta = \sqrt{2}
Eckenraumwinkel
≈ 0,1755 π
 \cos \, \Omega = \frac{23}{27}
Tetraederwinkel
≈ 109° 28′ 16″
 \cos \, \tau = -\frac{1}{3}

Anwendungen

Obwohl das Tetraeder nicht Stein einer Parkettierung des Raumes ist, tritt es im kubischen Kristallsystem auf (siehe oben).

Molekül mit Tetraederwinkel

In der Chemie spielt das Tetraeder bei der räumlichen Anordnung von Atomen in Verbindungen eine große Rolle. Einfache Molekülgestalten lassen sich mit dem VSEPR-Modell vorhersagen. So sind die vier Wasserstoffatome im Methanmolekül tetraedrisch um das Kohlenstoffatom angeordnet, da so der Bindungswinkel am größten wird. Auch die Kohlenstoffatome im Diamantgitter sind tetraedrisch angeordnet, jedes Atom ist von vier weiteren Atomen umgeben. Das Kohlenstoff-Atom befindet sich dann nach dem Orbital-Modell in sp3-Hybridisierung.

Das Tetraeder war auch für den Tetra Pak wegen dessen ursprünglicher Form namensgebend.

Alexander Graham Bell hat mit vielzelligen Kastendrachen (Flugdrachen) experimentiert, deren Einzelzellen die Form eines Tetraeders haben. Diese meist imposanten Drachen werden als „Bell-Tetraeder“ bezeichnet. Meistens werden 4 oder 10 oder 20 Einzelzellen zu einem Verbund zusammengefügt, welcher dann auch wieder die Form eines Tetraeders hat. Es sind aber auch andere Verbundformen möglich.

In vielen Pen-&-Paper-Rollenspielen werden Tetraeder als vierseitige Spielwürfel (W4) verwendet.

Weitere technische Anwendungen lehnen sich an die Struktur an, die sich durch die vom Tetraederzentrum in die vier Raumecken weisenden Strecken ergibt:

Allgemeines Tetraeder (dreidimensionales Simplex)

Ein Tetraeder im allgemeinen Sinn, also ein Körper mit vier Seitenflächen, ist immer eine dreiseitige Pyramide, also mit einem Dreieck als Grundfläche und drei Dreiecken als Seitenflächen, und hat daher auch vier Ecken sowie sechs Kanten. Da er die für einen Körper im Raum kleinste mögliche Zahl von Ecken und Seiten hat, wird er in der Fachsprache (dreidimensionales) Simplex oder 3-Simplex genannt. Die zweidimensionalen Simplizes sind die Dreiecke.

Im \mathbb {R} ^{3} kann ein Tetraeder auch durch einen Punkt und den drei Vektoren zu den angrenzenden Punkten beschrieben werden. Bezeichnet man diese Vektoren mit {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}, so berechnet sich das Volumen des Tetraeders mit \textstyle V = \frac{1}{6} \left| \det \left[\begin{smallmatrix}
        \vec{a} \\
        \vec{b} \\
        \vec{c}
 \end{smallmatrix} \right] \right| = \frac{1}{6} \left| (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} \, \right|

Berechnung eines beliebigen Tetraeders

Ein Tetraeder besitzt 6 Kanten. Ein Dreieck ist durch die Angabe dreier Seiten bestimmt. Jede weitere Kante kann (in gewissen Grenzen) frei gewählt werden. Liegen also 6 voneinander unabhängige Angaben zur Größe von Kanten und/oder Winkeln vor, kann man daraus die jeweils fehlenden übrigen Kanten und/oder Winkel berechnen.

Analogien in höheren Dimensionen

Die Analoga des Tetraeders in beliebiger Dimension n werden als (n-dimensionale) Simplizes bezeichnet. Das n-dimensionale Simplex hat n+1 Ecken und wird von n+1 Simplizes der Dimension n-1 (als Facetten) begrenzt. Ein nulldimensionales Simplex ist ein Punkt, ein eindimensionales Simplex ist eine Strecke, ein zweidimensionales Simplex ist ein Dreieck. Das vierdimensionale Äquivalent zum Tetraeder, das Pentachoron, hat 5 Ecken, 10 Kanten, 10 Dreiecke als Seitenflächen und 5 dreidimensionale Tetraeder als Facetten.

Koordinatenbeschreibung eines regulären n-Simplex:

\{x\in\mathbb R^{n+1}\mid \sum_{i=0}^{n}x_i=x_0+x_1+\ldots+x_n=1\ \land \ \forall i:\ x_i\geq0\}

Beispielsweise für n=2 ergibt sich hier ein gleichseitiges Dreieck, das von den Punkten (1,0,0); \, (0,1,0); \, (0,0,1) im dreidimensionalen Raum aufgespannt wird.

Siehe auch

Trenner
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 05.02. 2024