Kubikzahl

n³ = n⋅n⋅n

Eine Kubikzahl (von lateinisch cubus, „Würfel“) ist eine Zahl, die entsteht, wenn man eine natürliche Zahl zweimal mit sich selbst multipliziert. Beispielsweise ist 27=3\cdot 3\cdot 3 eine Kubikzahl. Die ersten Kubikzahlen sind

0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, … (Folge A000578 in OEIS)

Bei einigen Autoren ist die Null keine Kubikzahl, sodass die Zahlenfolge erst mit der Eins beginnt.

Die Bezeichnung Kubikzahl leitet sich von der geometrischen Figur des Würfels her. Die Anzahl der Steine, die man zum Bauen eines Würfels benötigt, entspricht immer einer Kubikzahl. So lässt sich beispielsweise ein Würfel mit der Seitenlänge 3 mit Hilfe von 27 Steinen legen.

Aufgrund dieser Verwandtschaft mit einer geometrischen Figur zählen die Kubikzahlen zu den figurierten Zahlen, zu denen auch die Quadratzahlen und Tetraederzahlen gehören.

Eigenschaften

Summe der Kehrwerte

Die Summe der Kehrwerte aller Kubikzahlen wird Apéry-Konstante genannt. Sie entspricht dem Wert der riemannschen \zeta -Funktion an der Stelle 3.

\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac  {1}{n^{3}}}=\zeta {(3)}=1{,}2020569\ldots

Erzeugende Funktion

Jeder Folge ganzer (oder reeller) Zahlen (a_{i})_{{i\geq 0}} kann man eine formale Potenzreihe zuordnen, die sogenannte erzeugende Funktion {\displaystyle \textstyle \sum _{i\geq 0}a_{i}x^{i}}. In diesem Kontext ist es allerdings üblich, die Folge der Kubikzahlen mit 0 beginnen zu lassen, also die Folge 0,1,8,27,64,\ldots zu betrachten. Die erzeugende Funktion der Kubikzahlen ist dann

\sum _{{i\geq 0}}i^{3}x^{i}=x+8x^{2}+27x^{3}+64x^{4}+\ldots ={\frac  {x(x^{2}+4x+1)}{(x-1)^{4}}}

Tastatur

Auf der deutschen PC-Tastatur liegt das ³-Zeichen als dritte Belegung auf der 3-Taste und kann mit Hilfe der Alt-Gr-Taste eingegeben werden. Oft kann man auch statt Alt Gr die beiden Tasten Strg und Alt verwenden. Bei einer Apple-Tastatur hingegen gibt es keine definierte Tastenkombination für das ³-Zeichen. Das ³-Zeichen ist mit der Codenummer 179 (hexadezimal B3) Bestandteil der Zeichenkodierung ISO 8859-1 (bzw. ISO 8859-15) und damit auch des Unicodeblock Lateinisch-1, Ergänzung.

Trenner
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 06.06. 2021