Fünfeck / Pentagon

Ein Fünfeck, auch Pentagon (von altgriechisch πεντάγωνον pentágōnon „Fünfeck“), ist eine geometrische Figur. Es gehört zur Gruppe der Vielecke (Polygone) und ist durch fünf Punkte definiert.

Einteilung

Fünfecke können, wie alle Polygone, welche keine Dreiecke sind, unterteilt werden in:

Allgemeines Fünfeck

Winkel

Die Summe der Innenwinkel eines regelmäßigen Fünfecks beträgt 540° und ergibt sich aus einer allgemeinen Formel für Polygone, in der für die Variable n die Anzahl der Eckpunkte des Polygons eingesetzt werden muss (in diesem Fall n = 5):

 \sum {\alpha =}(n - 2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ

Fläche

Ein ebenes Fünfeck besitzt einen eindeutig bestimmbaren Flächeninhalt, welcher sich stets durch Zerlegen in Dreiecke berechnen lässt.

Regelmäßiges Fünfeck

Fünfeck.svg
Größen eines regelmäßigen Fünfecks mit Kantenlänge a
Umkreisradius  r_u \, = \, \frac{a}{10} \sqrt{50 + 10\sqrt{5}}
Inkreisradius  r_i \, = \frac{a}{10} \sqrt{25 + 10\sqrt{5}}
Flächeninhalt  A \, = \, \frac{a^2}{4} \sqrt{25 + 10\sqrt{5}}
Diagonale  d \, = \, \frac{a}{2} (1 + \sqrt{5})
Höhe  h \, =  r_u + r_i = \frac{a}{2} \sqrt{5 + 2\sqrt{5}}
Kantenwinkel

 \cos \, \alpha = \frac{1}{4}\left(1-\sqrt{5}\right)
\alpha = 108^\circ

Anschauungshilfe zur Herleitung nebenstehender Aussagen über Winkel

Winkel

Der Winkel, den zwei benachbarte Seitenkanten im ebenen, regelmäßigen Fünfeck miteinander einschließen, beträgt (wiederum nach einer allgemeinen Formel für regelmäßige Polygone):

 \alpha =\frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ = \frac{3}{5} \cdot 180^\circ = 108^\circ

Fläche

Die Fläche A eines regelmäßigen Fünfecks der Seitenlänge a ist das Fünffache der Fläche eines von seinem Mittelpunkt und zwei seiner Eckpunkte aufgespannten Dreiecks.

A=5 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot \tan 54^\circ \cdot \frac{a}{2} = \frac{5}{4} \cdot a^2 \cdot \tan 54^\circ \approx a^2\cdot 1{,}7204774.

Allgemein mit dem Umkreisradius ru

A=\frac{5}{8}\cdot r_u^2 \cdot \sqrt{10+2\sqrt 5}

oder auch

A=\frac{5}{2}\cdot r_u^2 \cdot \sin{72^\circ} \approx r_u^2 \cdot 2{,}3776413.

Seitenlänge

a=2 \cdot r_u \cdot \cos 54^\circ

oder auch:

a=r_u \cdot \sqrt{\frac{5 - \sqrt 5}{2}} \approx r_u \cdot 1{,}1755705

zur Umrechnung siehe den Abschnitt über die als Quadratwurzeln angebbaren Sinus- und Cosinus-Werte.

Der Goldene Schnitt im Fünfeck

Pentagramm

Regelmäßiges Fünfeck und Pentagramm bilden eine Grundfigur, in der das Verhältnis des Goldenen Schnittes wiederholt auftritt. Die Seite des Fünfecks befindet sich im goldenen Verhältnis zu seinen Diagonalen. Die Diagonalen untereinander teilen sich wiederum im goldenen Verhältnis, d.h. AD verhält sich zu BD wie BD zu CD. Der Beweis nutzt die Ähnlichkeit geeignet gewählter Dreiecke.

Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebenem Umkreis

Konstruktion eines Fünfecks in einem umschließenden Kreis

Für das regelmäßige Fünfeck existiert eine mathematisch exakte Konstruktion zur Bestimmung der Seitenlänge. Im Folgenden die Erläuterungen zur nebenstehenden Abbildung (Bild anklicken zeigt Vergrößerung; die Farben dienen zur besseren Veranschaulichung):

  1. Zeichne einen Kreis (späterer Umkreis, blau) mit Radius r um den Mittelpunkt M.
  2. Zeichne zwei zueinander senkrechte Durchmesser (rot) ein.
  3. Halbiere einen Radius (magenta, Punkt D).
  4. Zeichne einen Kreis (grün) mit dem Radius DE um Punkt D. Er schneidet die Gerade AM im Punkt F. Die Strecke EF ist die Länge der Seite.
  5. Zum Abtragen auf dem Umkreis einen weiteren Kreisbogen (orange) mit Radius EF um E zeichnen. Er schneidet den ersten Kreis (blau) in G. Vorgang entsprechend wiederholen.
Pentagon construct.gif

Berechnung zur Konstruktion:

\overline{EM}= r \cdot 1
\overline{DM}= r \cdot \frac{1}{2}
\overline{DE}= r \cdot \sqrt{1+ \left(\frac{1}{2}\right)^2} = r \cdot \frac{ \sqrt{5}}{2}
\overline{MF}= r \cdot \left( \frac{ \sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} \right) =  r \cdot \frac{ \sqrt{5} - 1}{2}
\overline{EF}= r \cdot \sqrt{1 + \left( \frac{ \sqrt{5} - 1}{2} \right) ^2}
Umformen des Faktors:
\frac{\overline{EF}}{r} = \sqrt{1+ \frac{ 5- 2 \cdot \sqrt{5} + 1 }{4}} = \sqrt{ \frac{4}{4} +  \frac{5-2 \cdot \sqrt{5} + 1 }{4}}
\frac{\overline{EF}}{r} = \sqrt{\frac{4+5- 2 \cdot \sqrt{5} +1}{4}} = \sqrt{\frac{10- 2 \cdot \sqrt{5}}{4}}
\frac{\overline{EF}}{r} = \sqrt{ \frac{5 - \sqrt{5}}{2}}

Das entspricht genau dem Faktor in der obigen Formel für die Seitenlänge.

Die Seitenkanten des Dreiecks MEF entsprechen exakt den Seitenlängen des regelmäßigen Sechsecks (ME), des regelmäßigen Fünfecks (EF) und des regelmäßigen Zehnecks (FM) mit dem gegebenen Umkreisradius r.

Mathematisch ausgedrückt:

  1. Einen Kreis mit beliebigem Radius r mit dem Mittelpunkt M zeichnen und auf dem Durchmesser die Mittelsenkrechte konstruieren.
  2. Die Schnittpunkte des Durchmessers mit dem Kreis werden mit A und X bezeichnet, die der Mittelsenkrechten mit E und Y. (X und Y fehlen in der Darstellung)
  3. Zirkel in A einsetzen und AM=r auf dem Kreis abtragen. Die Schnittpunkte werden mit B und C bezeichnet. (magenta Kreis)
  4. BC schneidet AM in D.
  5. Zirkel in D einsetzen und DE auf AX abtragen, womit wir F erhalten.

ME ist die Seitenlänge des regelmäßigen Sechsecks, EF die des regelmäßigen Fünfecks und FM die des regelmäßigen Zehnecks mit dem gegebenen Umkreisradius r.

Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebener Seite

 

Fünfeck, mit gegebener Seite
  1. Zeichne eine Strecke AB deren Länge die vorgegebene Seite des Fünfecks ist.
  2. Verlängere die Strecke ab dem Punkt A um ca. drei Viertel der Strecke AB
  3. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt B mit dem Radius AB.
  4. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt A mit dem Radius AB, es ergibt sich der Schnittpunkt F.
  5. Errichte eine Senkrechte zur Strecke AB durch den Punkt F, es ergibt sich der Punkt G
  6. Zeichne eine Parallele zur Strecke FG ab dem Punkt A bis über den Kreisbogen um Punkt A, es ergibt sich der Schnittpunkt H.
  7. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt G mit dem Radius GH bis zur Verlängerung der Strecke AB, es ergibt sich der Schnittpunkt J.
  8. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt B mit dem Radius BJ bis über die Senkrechte die durch den Punkt F geht, es ergeben sich die Schnittpunkte D auf der Senkrechten und E mit dem Kreisbogen um Punkt A.
  9. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt D mit dem Radius BA bis er den Kreisbogen um Punkt B schneidet, es ergibt sich der Schnittpunkt C.
  10. Verbinde die Punkte B-C-D-E-A, somit ergibt sich das regelmäßige Fünfeck.

Schlussfolgerung

Wie in der Konstruktion mit gegebenem Umkreis, ist auch hier der Goldene Schnitt der maßgebende Baustein.

Für den Vergleich der Konstruktionsvarianten sind die Punktebezeichnungen mit Indizes ergänzt: u für die Konstruktion mit gegebenem Umkreis, s für die Konstruktion mit gegebener Seite.

  1. Seite des Fünfecks:
\overline{E_uF_u} \; \widehat{=} \;\overline{A_sB_s}
  1. Radius für den Goldenen Schnitt:
 \overline{D_uE_u} \; \widehat{=} \;\overline{G_sH_s}
  1. Streckenverhältnisse des Goldenen Schnitts:
 \Phi = \frac{\overline{A_uF_u}}{\overline{A_uM_u}} = \frac{\overline{A_uM_u}}{\overline{M_uF_u}} \;\;\; = \;\;\; \frac{\overline{B_sJ_s}}{\overline{A_sB_s}} = \frac{\overline{A_sB_s}}{\overline{A_sJ_s}} \;\;\; = \;\;\; \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618

Papierfaltung

Verknoteter Papierstreifen

Durch Zusammenziehen eines aus einem Papierstreifen geschlungenen Überhandknotens nimmt dieser die Form eines regulären Fünfecks an.

Vorkommen

Natur

Okrafrüchte

Die Okra-Frucht hat im Querschnitt die Form eines Fünfecks. Die Blüten der Prunkwinde sind ebenfalls fünfeckig ausgebildet. Viele cyclische Verbindungen enthalten eine Fünfringstruktur (etwa Cyclopentan γ-Butyrolacton, Furan, Furanosen etc.).

Architektur und Festungsbau

Der Grundriss einer neuzeitlichen Festung hat häufig die Form eines Fünfecks. Anschauliche Beispiele für regelmäßige Fünfecke sind oder waren u.a. die vollständig wieder aufgebaute Festung Bourtange in den Niederlanden sowie Nyenschantz (heute in St. Petersburg), die Zitadelle von Pamplona, die Festung Dömitz, die Zitadelle von Turin, die Zitadelle von Amiens, die Zitadelle von Lille, die Zitadelle Vechta, die Zitadelle von Münster, das Kastell von Kopenhagen. Den Typ des befestigten Palasts (Palazzo in fortezza) auf regelmäßig fünfeckigem Grundriss verkörpern die Villa Farnese, die Schlösser Krzyżtopór und Nowy Wiśnicz sowie die Befestigungen von Schloss Łańcut in Polen.

Ein Fünfeck liegt auch der Anlage der Wallfahrtskirche Zelená Hora (Tschechische Republik) und der St. Michael (Detmold-Hiddesen) zugrunde.

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: externer Link Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 14.04. 2020