Dodekaeder

Regelmäßiges Pentagondodekaeder
Regelmäßiges Pentagondodekaeder (Animation)
Art der Seitenflächen regelmäßige Fünfecke
Anzahl der Flächen 12
Anzahl der Ecken 20
Anzahl der Kanten 30
Schläfli-Symbol {5,3}
dual zu Ikosaeder
Körpernetz Netz
Anzahl verschiedener Netze 43380
Anzahl Kanten in einer Ecke 3
Anzahl Ecken einer Fläche 5

Das Dodekaeder [ˌdodekaˈʔeːdər] (von griech. Zwölfflächner; dt. auch (das) Zwölfflach) ist ein Körper mit zwölf Flächen. In der Regel ist damit ein platonischer Körper gemeint, nämlich das (regelmäßige) Pentagondodekaeder, ein Körper mit

Es gibt aber auch andere Dodekaeder von hoher Symmetrie.

Das regelmäßige Pentagondodekaeder

Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig – ist das Dodekaeder ein reguläres Polyeder. Es hat:

und ist

Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Dodekaeders – die Dodekaeder- oder Ikosaedergruppe – 120 Elemente. Die 60 orientierungserhaltenden Symmetrien entsprechen der alternierenden Gruppe A_5. Manchmal wird auch diese Untergruppe „Ikosaedergruppe“ genannt. Die volle Symmetriegruppe ist isomorph zu dem direkten Produkt A_5 \times C_2. Dass das Produkt direkt ist, sieht man daran, dass die Punktspiegelung am Mittelpunkt mit den Drehungen kommutiert.

Die Symmetrie des Dodekaeders ist durch die hier auftretenden fünfzähligen Symmetrieachsen mit einer periodischen Raumstruktur nicht verträglich (siehe Parkettierung). Es kann daher kein Kristallgitter mit Ikosaedersymmetrie geben.

Zur Struktur

Dualität von Dodekaeder (rot) und Ikosaeder (grün)

Das Ikosaeder ist das zum Dodekaeder duale Polyeder (und umgekehrt).

Mit Hilfe von Dodekaeder und Ikosaeder können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Dodekaedergruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel

Aus den Kanten des Dodekaeders kann man drei Paare gegenüber liegender (also insgesamt sechs) Kanten so auswählen, dass diese Paare drei kongruente, zueinander paarweise orthogonale Rechtecke aufspannen. Die restlichen acht Ecken bilden dann die Ecken eines (dem Dodekaeder eingeschriebenen) Würfels. Insgesamt gibt es fünf derartige Positionen, wobei jede Kante des Dodekaeders zu genau einer solchen Position gehört, und jede Ecke Eckpunkt von zwei einbeschriebenen Würfeln ist. Die Symmetriegruppe des Dodekaeders bewirkt alle 5!=120 Permutationen dieser fünf Positionen bzw. Würfel.

Da die Kanten des einbeschriebenen Würfels Diagonalen der Fünfecke sind, entspricht das Verhältnis der Längen der Kanten des Dodekaeders und jener eines eingeschriebenen Würfels dem Goldenen Schnitt.

Formeln

Größen eines Dodekaeders mit Kantenlänge a
Volumen V = \frac{a^3}{4} \left( 15+7 \sqrt{5} \right)
Oberflächeninhalt A_O = 3a^2 \sqrt{25+10\sqrt{5}}\, = V\,'(\rho)
Umkugelradius R = \frac{a}{4} \sqrt{3} \left( 1 + \sqrt{5} \right)
Kantenkugelradius r = \frac{a}{4} \left(3 + \sqrt{5} \right)
Inkugelradius \rho = \frac{a}{2} \sqrt{\frac{25 + 11 \sqrt{5}}{10}}
Verhältnis von Volumen
zu Umkugelvolumen
 \frac{V} {V_{UK}} = \frac{\sqrt{15}}{6\pi} \left( 1 + \sqrt{5} \right)
Flächenwinkel
≈ 116° 33′ 54″
 \cos \, \alpha = -\frac{1}{5} \sqrt{5}
Flächen-Kanten-Winkel
≈ 121° 43′ 3″
 \cos\, \beta = -\sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{10}}
Eckenraumwinkel
≈ 0,9428 π
 \cos \, \Omega = -\frac{11}{25}\sqrt{5}

Anwendungen

Ein Dodekaeder als Spielwürfel
Megaminx
(eine Zauberwürfel-Variante)
Römisches Dodekaeder im Landesmuseum Württemberg, Stuttgart

Sonstiges

Das kubische Pentagondodekaeder

Das kubische Pentagondodekaeder kann äußerlich leicht mit dem regelmäßigen Pentagondodekaeder verwechselt werden. Es hat ebenfalls 12 Flächen, 20 Ecken und 30 Kanten. Die Flächen (Fünfecke) sind aber nicht gleichseitig. Jede der 12 Flächen hat vier kürzere und eine längere Kante. Insgesamt besitzt das Polyeder 24 kürzere und 6 längere Kanten. Es besitzt dabei kubische Symmetrie. In der Natur kommt Pyrit (FeS2) manchmal in der Gestalt von kubischen Pentagondodekaedern vor. Deshalb wird das kubische Pentagondodekaeder auch Pyrit-Dodekaeder oder Pyritoeder genannt. Bei Kristallen sind fünfzählige Achsen unmöglich, wie das reguläre Pentagondodekaeder sie besitzt, weil es keine lückenlose periodische Flächenfüllung mit fünfzähliger Symmetrie gibt. Nur bei nicht streng periodischen „Kristallen“, also Quasikristallen, ist ein reguläres Pentagondodekaeder denkbar.

Andere Dodekaeder

Andere regelmäßige Dodekaeder sind z.B.:

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 13.04. 2020